Pada pertemuan kali ini, akan dijelaskan mengenai persamaan diophentine, berikut penjelasannya:

Persamaan diophantine adalah persamaan bersuku banyak ax+by = c, di mana a, b, dan c adalah bilangan-bilangan integer (bulat).

Persamaan linear diophantine $ax+by= c$ mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika gcd(a,b) membagi c.

Contoh soal 1:
Apakah persamaan 15x+6y=190 memiliki penyelesaian di bilangan bulat?
Jawab:
Mungkin bagi kalian yang penasaran untuk menyelesaikan kasus ini, bisa dengan coba-coba.. Misalnya, jika x = 1, y-nya berapa, dan seterusnya.. Tapi itu tidak memungkinkan karena menghabiskan waktu.

Nah, untuk mendapatkan solusi, kita dari gcdnya dulu: gcd (15,6) = 3.
Namun, ternyata 190 tidak habis dibagi 3. Nah,artinya, persamaan di atas tidak punya solusi untuk semua bilangan bulat x dan y.

Contoh soal 2:
Tentukan semua pasangan $(x,~y)$ anggota bilangan bulat non-negatif yang memenuhi persamaan $7x + 5y = 100$.
jawab:
Kita tahu bahwa bilangan bulat non-negarif itu adalah bilangan cacah.
karena gcd (7, 5)=1, maka mempunyai solusi, maka
7=1.5+2
2=7-5 lalu kedua ruas kita kali 50 maka
100=7(50)+5(-50) sehingga diperoleh x = 50 (mod 5) atau x = 0 (mod 5) dan y= -50 (mod 7) atau
y=6 (mod 7).
jika x=0 maka y=20, jika x=5 maka y=13. Perlu kita ketahui bahwa x dan y itu berlawanan arah.
Jadi batas x = floor (100/7)= 14 artinya karena x = 5k maka k yang memenuhi hanya k=0, 1, dan 2.
Jadi semua pasangan (x, y)={(0, 20), (5, 13), (10, 6)}

Pada perjumpaan kali ini mathematic.my.id akan membagikan tutorial tentang $Persamaan Kuadrat$.
Mula-mula kita harus tau apa itu persamaan kuadrat.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
____________________________________________
Persamaan kuadrat adalah untuk mencari nilai $x$ dari bentuk umum persamaan:
$ax^2+bx+c=0$.
dimana $a \ne 0$.
________________________________________
Cara penyelesaian Persamaan Kuadrat (PK)
** 1. Pemfaktoran **
————————————-
Contoh 1:
Akar-akar penyelesaian $\quad x^2+2x=3$ adalah …
$\quad$ Jawab:
Bentuk umum PK tersebut adalah:
$x^2+2x-3=0$. Cara memfaktorkan itu kita mencari 2 bilangan yg hasil kalinya $a.c=(1)(-3)=-3$ dan hasil jumlahnya $b=2$ maka diperoleh:
$-1$ dan 3 kemudian kedua bilangan itu dibagi dengan nilai $a=1$, maka diperoleh bentuk faktornya: $(x-1)(x+3)=0$.
Jadi akar-akarnya adalah $x=1$ dan $x=-3$.
_____________________
Contoh 2:
Akar-akar penyelesaian PK $-6x^2+x=-2$ adalah …
Jawab:
Bentuk umumnya menjadi:
$-6x^2+x+2=0$, maka kita mencari dua bilangan yg hasil kalinya $(-6)(2)=-12$ dan hasil jumlahnya 1, sehingga diperoleh dua bilangan itu 4 dan $-3$ lalu jangan lupa kedua bilangan itu dibagi dengan nilai $a$ maka menjadi $-\frac {2}{3}$ dan $\frac {1}{2}$. Jadi bentuk faktornya $(x-\frac {2}{3})(x+\frac {1}{2})=0$ jadi, akar-akarnya adalah $x=\frac {2}{3}$ dan $x=-\frac {1}{2}$.

** 2. Bentuk kuadrat sempurnya **
————————————–
Dalam hal ini kita melihat nilai $b$. Jika bentuk umum PK kita bagi dengan $a$ maka menjadi
$x^2+\frac {b}{a}x+\frac {c}{a}=0$……..(1) nilai $a$ harus 1.
Karena bentuk $(x+\frac {b}{2a})^2=x^2+\frac {b}{a}x+\frac {b^2}{4a^2}$…….(2) dan dari (1) diperoleh $x^2+\frac {b}{a}.x=-\frac {c}{a}$, kemudian kita substitusikan ke (2) diperoleh $(x+\frac {b}{2a})^2=-\frac {c}{a}+\frac {b^2}{4a^2}$ atau
$(x+\frac {b}{2a})^2=\frac {b^2-4ac}{4a^2}$, yang mana $b^2-4ac$ dikenal sebagai $D$.
bentuk terakhir ini adalah bentuk kuadrat sempurna.
contoh:
Tentukan akar dari $3x^2+6x-24=0$ dengan cara kuadrat sempurna!
Jawab:
Dari bentuk yg kita peroleh maka bentuk kuadrat sempurna dari soal ini adalah:
$(x+1)^2=\frac {6^2-4.(3).(-24)}{4.(3^2)}$ maka $(x+1)^2=\frac {6^2-4.(3).(-24)}{4.(3^2)}=9$, maka
$x=-1 \pm 3$. Jadi, $x_1 =2$ dan $x_2=-4$.
_____________________________
** Menggunakan rumus abc **
Rumus abc diperoleh dari bentuk kuadrat sempurna. Rumus umumnya adalah:
$\frac {-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$ atau $\frac {-b \pm \sqrt {D}}{2a}$
contoh:
Tentukan akar-akar $x^2+3x+2=0$ dengan rumus abc!
Jawab:
$x_{1,2} = \frac {-3 \pm \sqrt {3^2-4(1)(2)} }{2(1) }$
$=\frac {-3 \pm 1}{2}$.
$x_1=-1$ dan $x_2=-2$.
_____________________________
Sifat-sifat Diskriminan
____________________________
1. Jika $D=0$ maka akar-akarnya kembar $\quad$ atau $x_1=x_2$.
2. Jika $D>0$ maka akar-akarnya real berbeda $\quad$atau $x_1 \ne x_2$.
3. Jika $D \ge 0$ maka akar-akarnya real.
3. Jika $D<0$ maka akar-akarnya imajiner.
______________________________________
Contoh 1:
Tentukan nilai $m$ agar $3x^2-2x=-m$ memiliki akar-akar kembar!
Jawab:
Syarat akar kembar itu $D=0$, maka $(-2)^2-4(3)(m)=4-12m=0$ , sehingga diperoleh:
$m=\frac {1}{3}$
Contoh 2: Tentukan nilai $k$ agar persamaan $kx^2-kx+4=0$ memiliki akar-akar real!
Jawab:
$D=(-k)^2-4(k)(4)=k^2-16k=k(k-16) \ge 0$ sehingga diperoleh $k \le 0$ atau $k \ge 16$.
————————–
Sampai disini tutorial bersama mathematic.my.id, salam berbagi…
————————–
#searchbox { background: url(http://4.bp.blogspot.com/-u0fEq-zSTYI/VD1gGDLy3aI/AAAAAAAAAhw/im3bcQd5wBM/s1600/search-box.png) no-repeat; height: 27px; width: 202px; } input:focus::-webkit-input-placeholder { color: transparent; } input:focus:-moz-placeholder { color: transparent; } input:focus::-moz-placeholder { color: transparent; } #searchbox input { outline: none; } #searchbox input[type=”text”] { background: transparent; margin: 0px 0px 0px 12px; padding: 5px 0px 5px 0px; border-width: 0px; font-family: “Arial Narrow”, Arial, sans-serif; font-size: 12px; font-style: italic; width: 77%; color: #828282; display: inline-table; vertical-align: top; } #button-submit { background: url(http://2.bp.blogspot.com/-4OxjMRukhCM/VD1gBscpzII/AAAAAAAAAhk/TUxMSv7bCzA/s1600/search-button.png) no-repeat; border-width: 0px; cursor: pointer; width: 30px; height: 25px; } #button-submit:hover { background: url(http://4.bp.blogspot.com/-GgNBTS_3FEA/VD1gBgm7RFI/AAAAAAAAAhg/flg6VijzW8E/s1600/search-button-hover.png) no-repeat; } #button-submit::-moz-focus-inner { border: 0; } MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\\(‘,’\\)’]]} });

Kali ini mathematic.my.id membagikan tutorial mengenai Pertidaksamaan Kuadrat .
Sebelumnya kita harus tau tentang materi persamaan kuadrat.
Baiklah, langsung saja kita ke inti materinya, pertama-tama kita harus tau bentuk umum pertidaksamaan kuadrat berikut:
$ax^2+bx+c (notasi) 0$.
Maksud dari notasi itu adalah lambang pertidaksamaan yakni: $, \quad \le, \quad$ dan $ \ge$.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
————-**————-
Contoh 1:
Himpunan penyelesaian real pertidaksamaan $2x^2-x < 3$ adalah …
Jawab:
Pertama kita pastikan apakah bentuknya sudah umum atau belum. Soal diatas bentuknya belum umum, maka kita ubah dengan menggunakan konsep aljabar kedua ruas kita kurang 3 diperoleh:
$\quad 2x^2-x-3<0 \quad$ kemudian kita uji nilai diskriminannya $D=b^2-4ac=(-1)^2-4(2)(-3)\ge 0$ jika hasil $D \ge 0$ maka penyelesaiannya real. Kemudian kita faktorkan, karena pada contoh ini bisa kita faktorkan.
Cara memfaktorkan: Nilai $a.c$ dan nilai $b$ kedua nilai ini sangat berpengaruh. Pada contoh ini diperoleh nilai $a.c=(2)(-3)=-6$ dan nilai $b=-1$, kemudian kita mencari dua bilangan yang hasil kalinya $-6$ dan hasil jumlahnya $-1$ maka kita peroleh dua bilangan itu yakni $-3$ dan 2. Setelah itu kita bagi dengan nilai $a$ sehingga diperoleh bentuk faktornya yakni:
$(x-\frac {3}{2})(x+\frac {2}{2})$ $=(x-\frac {3}{2})(x+1)$
ternyata kita peroleh batas-batas nilainya yakni $x=\frac {3}{2}$ dan $x=-1$. Karena notasi pertidaksamaannya < maka bentuk himpunan penyelesaiannya adalah:
$\quad -1 < x < \frac {3}{2}$.
————-**—————-
Contoh 2:
Himpunan penyelesaian real dari $5x^2-4x+1>0$ adalah …
Jawab:
Perhatikan bahwa nilai $D=(-4)^2-4(5)(1)=-4<0$ maka tidak punya penyelesaian di himpunan bilangan real.
———**———-
Contoh 3:
Himpunan penyelesaian real dari $12x \ge 3x^2+12$ adalah …
Jawab:
Kita lihat nilai $D \ge 0$ maka memiliki penyelesaian real. Kita ubah ke bentuk umum diperoleh:
$-3x^2+12x-12\ge 0$ karena nilai $a$ negatif, maka perlu kita positifkan dengan cara mengalikan negatif ke kedua ruas. Pada contoh ini kita kalikan kedua ruas dengan $-\frac {1}{3}$ maka kita peroleh bentuk baru yang tidak berpengaruh dengan hasil akhirnya, yakni:
$x^2-4x+4 \le 0$, kenapa berubah arah? karena pengalinya negatif. Maka kita peroleh bentuk faktornya: $(x-2)(x-2)=(x-2)^2 \le 0$. Karena bentuk faktornya kuadrat sempurna yang mengakibatkan untuk semua nilai yang dikuadratkan itu hasilnya $\ge 0$ maka himpunan penyelesaian yang memenuhi soal ini hanya ada satu yakni $x=2$, tepatnya karena ada tanda =.
————–**————–
Contoh 4:
Himpunan penyelesaian real $2x^2+5x+2 \ge 0$ adalah …
Jawab:
Kita faktorkan menjadi: $(2x+1)(x+2) \ge 0$ maka batas-batasnya $x=-\frac{1}{2}$ dan $x=-2$.
$\quad$ karena pertidaksamaannya memakai $\ge $ maka:
$\quad$ bentuk penyelesaiannya adalah: $-2 \ge x \ge -\frac{1}{2}$
—————-**——————
Mungkin sampai disini dulu tutorial kita, Salam sukses… —————-**—————— #searchbox { background: url(http://4.bp.blogspot.com/-u0fEq-zSTYI/VD1gGDLy3aI/AAAAAAAAAhw/im3bcQd5wBM/s1600/search-box.png) no-repeat; height: 27px; width: 202px; } input:focus::-webkit-input-placeholder { color: transparent; } input:focus:-moz-placeholder { color: transparent; } input:focus::-moz-placeholder { color: transparent; } #searchbox input { outline: none; } #searchbox input[type=”text”] { background: transparent; margin: 0px 0px 0px 12px; padding: 5px 0px 5px 0px; border-width: 0px; font-family: “Arial Narrow”, Arial, sans-serif; font-size: 12px; font-style: italic; width: 77%; color: #828282; display: inline-table; vertical-align: top; } #button-submit { background: url(http://2.bp.blogspot.com/-4OxjMRukhCM/VD1gBscpzII/AAAAAAAAAhk/TUxMSv7bCzA/s1600/search-button.png) no-repeat; border-width: 0px; cursor: pointer; width: 30px; height: 25px; } #button-submit:hover { background: url(http://4.bp.blogspot.com/-GgNBTS_3FEA/VD1gBgm7RFI/AAAAAAAAAhg/flg6VijzW8E/s1600/search-button-hover.png) no-repeat; } #button-submit::-moz-focus-inner { border: 0; } MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\\(‘,’\\)’]]} });