Judul Situs

PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL (PLSV)

Apa kabar semuanya, kali ini akan dijelaskan tentang materi PLSV (Persamaan Linear Satu Variabel).
Baiklah
Berikut ini judul pembahasannya: pengertian sistem persamaan linear satu variabel, sifat-sifat persamaan linear satu variabel serta penyelesaian dan bukan penyelesaian persamaan linier satu variabel.

1. Pengertian Persamaan Linear Satu Variabel
Perhatikan kalimat-kalimat terbuka di bawah ini.
a. $x – 3 = 5$
b. $2p + 4 = 8$
c. $\frac{5n}{6} =15$

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Kalimat-kalimat terbuka di atas menggunakan tanda hubung ” = ” (sama dengan). Kalimat-kalimat seperti ini disebut persamaan.

Persamaan-persamaan tersebut mempunyai satu variabel (peubah), yaitu x, p, dan n di mana derajat dari masing-masing variabel adalah 1, maka persamaan seperti itu disebut persamaan linear satu variabel.

Bentuk umum PLSV adalah ax + b = 0

2. Sifat-Sifat PLSV
Misalkan A = B adalah persamaan linear dengan variabel x dan c adalah konstanta bukan nol. Persamaan A = B ekuivalen dengan persamaan-persamaan berikut:
1. A + C = B + C
2. A – C = B – C
3. A x C = B x C
4. A : C = B : C, C¹=0

3. Penyelesaian dan Bukan Penyelesaian
Misalkan suatu persamaan x + 3 = 7 dengan variabel x adalah 2, 3, dan 4. Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita pilih pengganti x, yaitu:
$x = 3$, maka 2 + 3 = 7 pernyataan salah
$x = 3$, maka 3 + 3 = 7 pernyataan salah
$x = 4$, maka 4 + 3 = 7 pernyataan benar

Untuk $x = 4$, kalimat di atas menjadi benar, maka bilangan 4 disebut penyelesaiannya (jawaban atau akar) dari persamaan tersebut. Jadi, ditulis akarnya = 4.

Bilangan pengganti x yang membuat pernyataan salah, bukan merupakan penyelesaiannya seperti untuk x = 2 dan 3 bukan merupakan akar persamaan tersebut.

Cara menentukan penyelesaian di atas disebut cara substitusi. Untuk menentukan penyelesaian suatu persamaan, selain dengan cara substitusi dapat juga dengan cara menjumlah, mengurangi, mengali, atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama.
a. Penjumlahan atau Pengurangan
Menambah dan mengurangi kedua ruas persamaan

Contoh
1. Tentukan penyelesaian dari $x – 5 = 8$.

Penyelesaian:
$x – 5 = 8$
􀂜 $x – 5 + 5 = 8 + 5$ (kedua ruas ditambahkan 5)
􀂜 x = 13
Jadi, penyelesaian persamaan itu adalah 13.

2. Selesaikanlah persamaan $4x – 3 = 3x + 7$.

Penyelesaian:
$4x – 3 = 3x + 7$
$4x – 3 + 3 = 3x+7 + 3$ (kedua ruas ditambahkan 3)
$4x = 3x + 10$
$4x + (–3x) = 3x + 10 + (–3x)$ (kedua ruas ditambahkan $–3x$)
$x = 10$
Jadi, penyelesaiannya dari $4x – 3 = 3x + 7$ adalah 10.

b. Perkalian atau Pembagian
Mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama.

Contoh 1:
Tentukan penyelesaian dari persamaan berikut.
$-3x+5=-10$
Penyelesaian:
Kedua ruas sama-sama kita kurangkan dengan 5 maka akan menjadi:
$-3x+5-5=-10-5$
$-3x=-15$
Kemudian kedua ruas sama-sama kita bagi dengan $-3$ maka diperoleh:
$\frac{-3x}{-3}=\frac{-15}{-3}$
$x=5$
Selesai, mudah bukan

Contoh 2:
Nilai $x$ dari persamaan $\frac{2x-5}{-6x+1}=8$ adalah ….
Jawab:
Karena 8 tanpa ditulis ada per 1, maksudnya 8 dibagi 1 kan hasilnya tetap 8, maka kita kali silang saja: $2x-5$ dikali dengan 1 dan $-6x+1$ dikali dengan 8, diperoleh:
$(2x-5).1=(-6x+1).8$
$2x-5=-48x+8$
$2x+48x=8+5$
$50x=13$
$x=\frac{13}{50}$
Sangat simpel bukan,,

Demikian pembahasan tentang sistem persamaan linear satu variabel (SPLSV) dilengkapi dengan contoh soal dan pembahasannya.

Salam berbagi..

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\$‘,’\$’]]} });

ANALYTIC METHOD VERSUS NUMERIC METHOD

Hi friends mathematic.my.id,,
On this post, will be explained about analytic method versus numerical method. Well get on with it, this is it his discussion.
Analytic method is also known as a true method because he gives us a true solution (exact solution), that is a solution that has zero error.

$\quad$ Unfortunately analytic method just superior for a number of limited issues that is the issue that has a simple geometry interpretations and are low. In fact the question that appears in the real world is often nirlanjar as well as involving shapes and a complicated process. As a result practical value completion of the analytic method becomes limited.

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
$\quad$ When analytic method can no longer applied, then the question solution is still searchable by using a numerical method. Numerical method is a technique used to formulate the mathematical issue so it can be solved by a regular calculation or arithmetic operations (add, less, times and division). Method does that mean way, while numerical means numbers. So, numerical method literally means how to numeracy by using the numbers.
The main difference between numerical methods with the analytic method lies in the two things. First, the solution by using numerical methods always shaped numbers. Compare it to the analytic method that usually produce solutions in the form of mathematical function which further the mathematical function can be evaluated to generate the value in the form of numbers.

$\quad$ Secondly, with numerical methods, we just get a solution that approached or close to a true solution so that numerical solution is also called approximations solutions, but approximations solutions can be made seteliti we want. Approximations solutions is certainly not exactly the same with true solution, so there is a difference between the two. This is what difference called with error.

$\quad$ For example illustration completion with numerical method, look into an understatement integration-of course follows:
$I= \int \limits^1_{-1} (4-x^2)dx$
With analytical methods, we can find true solutions easily. In the integral calculus-of course we know integration techniques for this simple function, namely:
$\int ax^n dx = \frac {1}{n+1} ax^{n+1} + C$
Then, we can do integration tribes of it, then calculate the result as follows an integral function:
$I=\int \limits^1_{-1} (4-x^2) dx $
$= [4x-x^3/3]^{x=1}_{x=-1}$
$ = [4(1)-(1)/3]-[4(-1)-(-1)/3] = 22/3$

$\quad$ Consider that $4x-x^3/3$ is analytic solution from form mathematic function, while $22/3$ adalah numeric value Integrals – certainly that is obtained by how to evaluate the mathematic function to the limits of integration on the x = 1 and x =-1.

$\quad$ Compare the completion of the above when the integration issues resolved by numerical method as follows. Once again, in calculus we certainly still remember that the interpretation of the integral geometry of integrals $f(x)$, axis-$x$, line $x=a$ and line $x=b$. Area of the area can be approximated in the following way. Divide the area integration of a number of trapezoid on interval $[-1, 1]$ With a width of 0.5, note (that picture) provided. The spacious integration area approached with four broad fruit trapezoid, or
$I \approx p+q+r+s$
$\approx [(f(-1)+f(-1/2)).(0,5/2))$
$ + (f(-1/2)+f(0)).(0,5/2))$
$ + (f(0)+f(1/2)).(0,5/2))$
$+ (f(1/2)+f(1)).(0,5/2))]$
$\approx 0,5/2 .[f(-1)+2.f(-1/2)+2.f(0)$
$+2.f(1/2)+f(1)]$
$\approx 0,5/2 .[3+7,5+8+7,5+3]$
$\approx 7,25$

$\quad$ Which is a approximations solution (sign “$\approx $” meaning “about”) towards a true solution (22/3). Approximations solution error true solution is:
$Error = |7,25-22/3| $
$= |7,25-7,33..| = 0,08333…$

$\quad$ Of course we can minimize this error by making a smaller trapezoid wide (which means the amount of trapezoid more and more, which means the number of computing more and more). This example also shows that even though solutions with a numerical method is approximation, but the results can be made seteliti as possible by changing computing parameters (in the example above, width trapezoid are reduced) Integrals.
MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\$‘,’\$’]]} });

METODE NUMERIK DALAM BIDANG REKAYASA

Hai sahabat mathematic.my.id pada pertemuan kali ini akan dibahas mengenai Metode Numerik dalam Bidang Rekayasa. Dalam bidang rekayasa, kebutuhan untuk menemukan solusi persoalan secara praktis adalah jelas. Dari kacamata rekayasawan, masih tampak banyak cara penyelesaian persoalan matematik yang dirasa terlalu sulit atau dalam bentuk yang kurang konkrit. Penyelesaian analitik yang sering diberikan oleh kaum matematika kurang berguna bagi rekayasawan, karena ia harus dapat mentransmormasikan solusi matematika yang sejati kedalam bentuk yang berwujud yang biasanya meninggalkan kaidah kesejatiannya. Solusi hampiran biasanya sudah memenuhi persyaratan rekayasa dan dapat diterima sebagai solusi. Lagipula, banyak persoalan matematika dalam bidang rekayasa yang hanya dapat dipecahkan secara hampiran. Kadang-kadang dapat pula terjadi bahwa metode analitik hanya menjamin keberadaan (atau hanya mengkarakteristikkan beberapa properti umum) solusi, tetapi tidak memberikan cara menemukan solusi tersebut. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bagi rekayasawan, solusi yang diperoleh secara analitik kurang berguna untuk tujuan numerik. Persoalan rekayasa dalam prakteknya tidak selalu membutuhkan solusi dalam bentuk fungsi matematika. Rekayasawan seringkali menginginkan solusi dalam bentuk numerik, misalnya persoalan integral tentu dan persamaan diferensial. Sebuah contoh dalam termodinamika dikemukakan dibawah ini untuk memperjelas pernyataan ini. Sebuah bola logam dipanaskan sampai pada suhu 100°C. Kemudian pada saat $t=0$, bola itu dimasukkan kedalam air yang bersuhu 30°C. Setelah 3 menit, suhu bola berkurang menjadi 70°C. Tentukan suhu bola setelah 22,78 menit. Diketahui tetapan pendinginan bola logam itu adalah 0,1865. Jawab persoalan fisika diatas ialah dengan menggunakan hukum pendinginan Newton, laju pendinginan bola setiap detiknya adalah $dT/dt = -k.(T-30)$, yang dalam hal ini $k$ adalah tetapan pendinginan bola logam yang harganya 0,1865. Bagi matematikawan, untuk menentukan suhu bola pada $t=22,78$ menit, persamaan diferensial tersebut harus diselesaikan terlebih dahulu agar suhu $T$ sebagai fungsi dari waktu $t$ ditemukan. Persamaan diferensial ini dapat diselesaikan dengan metode kalkulus diferensial. Solusi umumnya adalah: $T(t)=c.e^{-kt}+30$ Nilai awal yang diberikan adalah $T(0)=100$. Dengan menggunakan nilai awal ini, solusi khusus persamaan diferensial adalah: $T(t)=70.e^{-0,1865t}+30$ Dengan menyulihkan $t=22,78$ kedalam persamaan $T$, diperoleh: $T(22,78)=70.e^{-0,1865(22,78)}+30=31°C$. Bagi rekayasawan, solusi persamaan diferensial yang berbentuk fungsi menerus ini tidak terlalu penting (bahkan beberapa persamaan diferensial tidak dapat dicari solusi khususnya karena memang tidak ada teknik yang baku untuk menyelesaikannya). Dalam praktek di lapangan, seringkali para rekayasawan hanya ingin mengetahui berapa suhu bola logam setelah $t$ tertentu misalnya setelah 30 menit tanpa perlu mencari solusi khususnya dalam bentuk fungsi terlebih dahulu. Rekayasawan cukup memodelkan sistem kedalam persamaan diferensial, lalu solusi untuk $t$ tertentu dicari secara numerik. MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\$‘,’\$’]]} });

TRANSFORMASI GEOMETRI

Pada kesempatan kali ini, akan dijelaskan tentang Transformasi Geometri.
Jika seorang matematikawan ingin mengubah bentuk lingkaran menjadi bentuk bulatan lonjong yang dikenal dengan elips. Dia berpikir bahwa idenya ini akan menjadi kenyataan apabila lingkaran digambar diatas karet yang elastis, kemudian karet ini akan diregangkan ke arah horizontal atau vertikal.
Adakah alat yang berupa operasi matematika untuk melakukan hal ini?. Bagaimana kedudukan objek pertama terhadap objek kedua (hasil pembahasan)?. Apa hubungan luas objek pertama terhadap luas objek kedua?. Bagaimana perubahan ini dapat terjadi?. Hal-hal ini yang dipelajari dalam Transformasi Geometri.
Mengenal Transformasi Geometri
$\quad$ Transformasi geometri adalah perubahan pada objek dalam geometri. Hal-hal yang dapat diubah adalah ukuran, kedudukan dan bentuk, serta objek yang diubah dapat berupa titik, garis, benda-benda datar, benda-benda ruang (tidak dipelajari dalam pertemuan ini) dan juga persamaan fungsi.
Adapun jenis-jenis transformasi yang akan dipelajari pada pertemuan kali ini adalah:
1. Translasi (Pergeseran)
2. Refleksi (Pencerminan)
3. Rotasi (Perputaran)
4. Dilatasi (perkalian)

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
1. Memahami Translasi
$\quad$ Translasi adalah transformasi yang mengubah kedudukan suatu objek dengan jarak dan arah tertentu. Translasi tidak mengubah bentuk dan ukuran suatu objek.
Perhatikan gambar berikut:

Tepat pada gambar diatas bahwa segitiga A’B’C’ adalah hasil translasi segitiga ABC.
Pada bidang datar translasi terurai memuat dua arah (arah vertikal dan arah horizontal).
Perhatikan gambar berikut:

Tampak pada gambar tersebut bahwa translasi dari A ke A’ dapat diurai. Dalam arah horizontal adalah a dan arah vertikal adalah b. Taranslasi ini ditulis T = ${a \choose b} : A \to A’$.
Perhatikan proses terjadinya translasi apabila dideteksi secara aljabar dalam gambar berikut:

Translasi T = $a \choose b$ pada gambar diatas mentranslasikan titik P$(x, y)$ menjadi P’$(x+a, y+b)$. Dapat disimpulkan bahwa jika hasil translasi T = $a \choose b$ terhadap P$(x, y)$ adalah P’$(x’, y’)$ maka $x’=x+a$ dan $y’=y+b$ ditulis dengan:
T = ${a \choose b }:$P$(x, y) \to$ P’$(x+a, y+b)$.
Contoh 1:
Tentukan hasil translasi titik-titik A(2, 3) dan B($-5$, 6) terhadap translasi T$5 \choose {-1}$ !
Jawab:
Untuk titik A(2, 3) maka:
T${5 \choose {-1}} :$ A(2, 3) $\to$ A'(2+5, $3-1$) = A'(7, 2).
Untuk titik B($-5$, 6) maka:
T${5 \choose {-1} }:$ B($-5$, 6) $\to$ B'($-5+5$, $6-1$) = B'(0, 5).
Catatan:
Hasil dari suatu transformasi sering juga disebut sebagai bayangan.
Contoh 2:
Jika diketahui bayangan dari titik A($-3$, 5) oleh suatu translasi adalah A(7, $-1$) tentukan translasi tersebut.
Jawab:
Diketahui:
$-3$ + a = 7 $\quad$ 5 + b = $-1$
a = 3 + 7 = 10 $\quad$ b = $-6$.
Diperoleh translasi T$10 \choose {-6}$.
2. Memahami Refleksi
$\quad$ Refleksi atau pencerminan adalah transformasi yang memindahkan objek dengan menggunakan sifat bayangan cermin. Perhatikan gambar berikut:

Tampak pada gambar diatas bahwa objek segitiga ABC dicerminkan ke cermin X menghasilkan bayangan segitiga A’B’C’ yang tetap kongruen dengan segitiga ABC hanya kedudukannya yang berubah.
Dapat ditaksir kesimpulan dalam pencerminan sebagai berikut:
1) Berkas-berkas sinar dari objek tegak lurus ke cermin (CR, BQ, dan AP tegak lurus cermin X)
2) Berkas-berkas sinar tegak lurus dari cermin ke bayangan (X tegak lurus ke sinar RC’, QB’ dan PA’)
3) Jarak objek ke cermin sama dengan jarak cermin ke bayangan.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Contoh 3:
Tentukan bayangan $\triangle$ PQR dengan P(1, 1), Q(4, 2) dan R(2, 3) jika dicerminkan ke sumbu $y$
Jawab:
Pencerminan dalam contoh ditunjukkan dalam gambar berikut:

Tampak pada gambar itu bahwa bayangan $\triangle$ PQR oleh pencerminan terhadap sumbu $y$ adalah $\triangle$ P’Q’R’ dengan P'($-1$, 1), Q'($-4$, 2) dan R'($-2$, 3).
3. Memahami Rotasi
$\quad$ Rotasi atau perputaran adalah transformasi yang memindahkan suatu objek dengan cara memutar pada pusat tertentu. Dalam rotasi ukuran objek dan bentuk objek tidak berubah. Perhatikan gambar berikut:

Tampak pada gambar tersebut bahwa $\triangle$ PQR diputar sejauh $\theta$ dengan pusat perputaran A dan hasil perputaran $\triangle$ P’Q’R’. Dengan ini diketahui bahwa suatu rotasi ditentukan oleh:
1) Titik pusat rotasi,
2) Besar sudut rotasi, dan
3) Arah sudut rotasi.
Dalam matematika telah ditetapkan bahwa perputaran yang berlawanan arah dengan arah perputaran jarum jam adalah arah positif dan perputaran arah yang searah dengan perputaran jarum jam adalah arah negatif.
3a. Memahami Rotasi terhadap titik pusat $O(0, 0)$.
Perhatikan gambar berikut:

Tampak pada gambar tersebut titik $P(x,y)$ dirotasikan sejauh $\theta$ terhadap titik $O(0,0)$ dengan bayangan $P’(x’, y’)$. Sudut ruas $OP$ dengan sumbu $x$ positif adalah $\alpha$ dan besar sudut perputaran adalah $\theta$. Maka $OP=OP’+$ jari-jari perputaran $r$. $PA$ dan $P’B$ masing-masing tegak lurus sumbu $x$ positif.
Sahabat mathematic.my.id perhatikan bahwa pada $\triangle OAP$ diketahui bahwa:
$cos \alpha = \frac {x}{r}\quad \to x = r.cos \alpha$.
$sin \alpha = \frac {y}{r}\quad \to y= r.sin \alpha$.
Pada $\triangle OBP’$ diketahui:
$cos (\alpha + \theta) = \frac {x’}{r}$
$\to x’=r.cos(\alpha + \theta)$
$x’=r.cos \alpha .cos \theta – r.sin \alpha.sin \theta$
$x’=x.cos \theta – y.sin \theta$.
Untuk sinusnya:
$sin(\alpha + \theta) = \frac{y’}{r}$
$\to y’=r.sin(\alpha + \theta)$
$y’=r.sin \alpha .cos \theta + r.cos \alpha.sin\theta$
$y’=y.cos \theta + x.sin \theta$
$y’ = x.sin \theta + y.cos \theta$.
Dapat disimpulkan bahwa:
Jika $P(x, y)$ diputar sejauh $\theta$ terhadap titik $O(0, 0)$ diperoleh hasil perputaran $P’(x’, y’)$ dengan:
$x’=x.cos \theta – y.sin \theta$
$y’=x.sin \theta + y.cos \theta$.
Contoh 4:
Diketahui titik $P(2, -3)$. Tentukan bayangan titik $P$ jika diputar sejauh $45°$ jika:
a. Berlawanan arah dengan arah perputaran jarum jam
b. Searah dengan arah perputaran jarum jam.
Jawab:
a. Oleh karena perputaran sejauh 45° berlawanan arah dengan arah perputaran jarum jam maka $\theta$ = 45° sehingga:
$x’=x.cos \theta – y.sin \theta = 2.cos 45°-(-3).sin 45°$
$x’=2.\frac{\sqrt {2}}{2}+3.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5}{2}.\sqrt{2}$.
$y’=x.sin \theta +y.cos \theta$
$y’=2.sin 45° +(-3).cos 45°$
$y’=- \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Diperoleh hasil perputaran titik (2, $-3$) sejauh 45° terhadap titik pusat $O(0,0)$ berlawanan arah dengan arah perputaran jarum jam yaitu: $P’(\frac{5}{2}\sqrt{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$.
b. Oleh karena perputaran sejauh 45° searah dengan arah perputaran jarum jam maka $\theta=-45°$. Dapat dilihat dalam gambar berikut:

Sehingga diperoleh:
$x’=x.cos \theta – y.sin \theta$
$x’=2.cos (-45°) –(-3).sin (-45°)$
$x’=2.\frac{1}{\sqrt{2}}+3(-\frac{1}{\sqrt{2}}$
$x’=- \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$y’=x.sin \theta + y.cos \theta$
$y’=2.sin (-45°) + (-3).cos(-45°)$
$y’=- \frac{5}{2}.\sqrt{2}$.
Jadi bayangannya adalah $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, – \frac{5}{2}\sqrt{2})$
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Contoh 5:
Titik $P(1, 2)$ dirotasikan sehingga diperoleh bayangan $P’(-2, 1)$. Tentukan jenis rotasinya!
Jawab:
Misalkan sudut perputaran $P$ ke $P’$ adalah $\theta$ maka:
$x’=x.cos \theta – y.sin \theta$
$-2=1.cos \theta -2.sin \theta$
$cos \theta – 2.sin \theta = -2$ …..(1).
$y’=x.sin \theta + y.cos \theta$
$1=1.sin \theta + 2.cos \theta$
$2.cos \theta + sin \theta =1$ ……(2).
Dari persamaan (1) dan (2) kita peroleh:
$sin \theta =1$ dan $cos \theta =0$ sehingga diperoleh $\theta = 90°$.
Jadi jenis rotasinya adalah perputaran positif sebesar 90°.
3b. Memahami rotasi terhadap titik pusat $A(a, b)$.
Perhatikan gambar berikut:

Tampak pada gambar tersebut titik $P(x,y)$ dirotasikan sejauh $\theta$ terhadap titik $A(a, b)$ dengan hasil rotasi $P’(x’, y’)$ adapun sudut antara $AP$ dengan sumbu datar adalah \alpha dengan jari-jari perputaran $r$.
Dapat disimpulkan bahwa:
Jika $P(x,y)$ diputar sejauh $\theta$ terhadap titik pusat $A(a, b)$ maka diperoleh hasil perputaran $P’(x’, y’)$ dengan:
$x’=(x-a).cos (\theta) – (y-b).sin (\theta) + a$.
$y’=(x-a).sin (\theta) + (y-b).cos(\theta) + b$.
Contoh 6:
Tentukan hasil perputaran titik $P(2, -3)$ sejauh 30° terhadap titik pusat $A(5, 2)$ jika perputaran dilakukan dengan:
a. Searah perputaran jarum jam.
b. Berlawanan arah perputaran jarum jam.
Jawab:
a. Oleh karena perputaran searah perputaran jarum jam, maka $\alpha=-30°$, $x=2$, $y=-3$, $a=5$ dan $b=2$. Sudut $-30°$ dapat dilihat dalam gambar berikut:

$x’=(2-5).cos(-30°)-(-3-2).sin(-30) +5$
$x’=-3.(\frac{\sqrt{3}}{2})+5.(- \frac{\sqrt{3}}{2})+5$
$x’=\frac{5-3.\sqrt{3}}{2}$.
$y’=(2-5).sin(-30°)+(-3-2).cos(-30°) +2$
$y’=\frac{7+5.\sqrt{3}}{2}$.
b. Sama halnya seperti pada bagian a hanya mengganti sudut $\alpha=30$ sehingga diperoleh:
$x’=\frac{15-3.\sqrt{3}}{2}$ dan
$y’=\frac{1-5 \sqrt{3}}{2}$.
4. Memahami Dilatasi
$\quad$ Dilatasi atau perkalian adalah transformasi yang mengubah ukuran suatu objek. Perhatikan contoh dilatasi pada gambar berikut:

$\triangle$ A’B’C’ pada gambar tersebut adalah hasil dilatasi $\triangle$ ABC terhadap pusat O.
Suatu dilatasi ditentukan oleh:
a. Pusat Dilatasi dan
b. Faktor Dilatasi atau Faktor Skala.

Untuk mengetahui hubungan faktor dilatasi dengan ukuran hasil dilatasi, maka perhatikan gambar berikut:

Dari gambar diatas diketahui bahwa:
Gambar a: Jika $k>1$ maka objek diperbesar dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan objek semula.
Gambar b: Diperkecil dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan objek semula.
Gambar c: Diperkecil dan terletak berlainan pihak terhadap pusat dilatasi dan objek semula.
Gambar d: Diperbesar dan terletak berlainan pihak terhadap pusat dilatasi dan objek semula.

Dilatasi terhadap titik pusat $O(0, 0)$ dan faktor $k$ ditulis $[O, k]$.
a. Memahami Dilatasi terhadap Titik Pusat $O(0, 0)$.
Perhatikan gambar berikut:

Tampak pada gambar diatas titik $P$ didilatasikan ke titik pusat dengan hasil dilatasi $P’$. Segitiga $OPP_1$ menjadi segitiga $OP’P’_1$. Dengan demikian:
$Op’_1=k.OP_1 \quad \to \quad x’=k.x$.
$PP’_1=k.PP_1 \quad \to \quad y’=k.y$.
Contoh 8:
Tentukan bayangan titik $P(-3, 1)$ oleh dilatasi $[O, \frac{1}{2}]$.
Jawab:
Misalkan bayangannya adalah $P’$ maka $P’=(\frac{1}{2}.(-3), \frac{1}{2}.(1))$
$P’=(- \frac{3}{2}, \frac{1}{2})$.
Demikianlah pertemuan kita kali ini semoga materi ini bermanfaat bagi para pembaca sekalian…
Salam berbagi..

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\$‘,’\$’]]} });

INTEGRAL DASAR

Pada pertemuan kali ini, mathematic.my.id akan menjelaskan tentang integral dasar yang disertai dengan contoh.
Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya, diferensiasi, adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi.

Sejarah Singkat
Sejarah dari integral tidak lain merupakan bagian dari sejarah kalkulus. Dan Sejarah perkembangan kalkulus bisa dilihat dari beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern.
Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskow Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume dari frustrum piramid. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar.Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari “Teorema Rolle”. Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari Mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor[, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.

Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668. Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah. Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang. Dan Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society.Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya “The science of fluxions”.Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus.

Macam-macam Integral

1. Integral Tak Tentu
Integral tak tentu yang seperti sebelumnya dijelaskan adalah merupakan sebuah invers atau kebalikan dari turunan. Yang mana, apabila sebuah turunan dari suatu fungsi, jika diintegralkan akan menghasilkan sebuah fungsi itu sendiri.

Integral tak tentu menghasilkan fungsi dengan konstanta tak tentu C.

Rumus mencari integral tak tentu adalah:
$\int ax^{n}dx=\frac{a}{n+1} x^{n+1}+c$
dengan C adalah konstanta yang belum diketahui.
Integral tak tentu itu menghasilkan sebuah fungsi baru. Untuk lebih memahami marilah kita lihat contoh berikut:
Contoh 1:
$\int (4x^3+6x-8) dx=….$
Jawab:
$\int (4x^3+6x-8)dx=x^4+3x^2-8x+C$

Contoh 2:
$\int (-5x^{3/2}+2.\sqrt{x}-8x^{-3})dx=….$
Jawab:
$=\frac{-5}{\frac{3}{2}+1}.x^{(3/2)+1}+\frac{2}{(1/2)+1}.x^{(1/2)+1}$
$-\frac{8}{-3+1}.x^{-3+1}+C$
$=-2x^{5/2}+\frac{4}{3}.x^{3/2}+4.x^{-2}+C$

2. Integral Tertentu
Integral tertentu atau ada yang menyebutnya integral tentu merupakan pencarian luas daerah yang dibatasi oleh batas atas, batas bawah, dan batas horizontal.
Contoh gambar:

Integral tentu menghasilkan nilai suatu bilangan.

Rumus integral tentu adalah:
$\int_{b}^{a}f(x)dx=F(b)-F(a)$
dengan $F(x)$ adalah fungsi dari hasil pengintegralan tak tentu.
Contoh:
$\int \limits^3_1 3x^2 dx=….$
Jawab:
$=x^3 \bigr | ^3_1=27-1=26$

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\$‘,’\$’]]} });

#searchbox { background: url(http://4.bp.blogspot.com/-u0fEq-zSTYI/VD1gGDLy3aI/AAAAAAAAAhw/im3bcQd5wBM/s1600/search-box.png) no-repeat; height: 27px; width: 202px; } input:focus::-webkit-input-placeholder { color: transparent; } input:focus:-moz-placeholder { color: transparent; } input:focus::-moz-placeholder { color: transparent; } #searchbox input { outline: none; } #searchbox input[type=”text”] { background: transparent; margin: 0px 0px 0px 12px; padding: 5px 0px 5px 0px; border-width: 0px; font-family: “Arial Narrow”, Arial, sans-serif; font-size: 12px; font-style: italic; width: 77%; color: #828282; display: inline-table; vertical-align: top; } #button-submit { background: url(http://2.bp.blogspot.com/-4OxjMRukhCM/VD1gBscpzII/AAAAAAAAAhk/TUxMSv7bCzA/s1600/search-button.png) no-repeat; border-width: 0px; cursor: pointer; width: 30px; height: 25px; } #button-submit:hover { background: url(http://4.bp.blogspot.com/-GgNBTS_3FEA/VD1gBgm7RFI/AAAAAAAAAhg/flg6VijzW8E/s1600/search-button-hover.png) no-repeat; } #button-submit::-moz-focus-inner { border: 0; }

TURUNAN FUNGSI KOMPOSISI

Pada perjumpaan kita ini, saya akan menjelaskan tentang turunan fungsi komposisi,

Sebelumnya kita harus sudah mengerti tentang rumus dasar turunan dan juga fungsi komposisi, sehingga tidak kebingungan,,
Berikut ini rumus dasar turunan yang sangat mudah dipahami bentuknya:
Suatu fungsi $y=ax^n$ dengan $a$ dan $n$ bilangan real, maka $y’=a.n.x^{n-1}$
Dimana $y’$ merupakan hasil turunan yang juga merupakan suatu fungsi.
Kemudian untuk memahami komposisi fungsi itu juga sangat mudah, perhatikan rumus komposisi fungsi berikut:
$(f$ o $g)(x)=f(g(x))$
Dimana Lambang “o” pada contoh diatas itu adalah lambang komposisi fungsi.
Pada rumus komposisi fungsi diatas, jelas bahwa $g(x)$ masuk kedalam $f(x)$ artinya variabel $x$ yang berada pada $f(x)$ itu diganti seluruhnya dengan $g(x)$. Kemudian barulah kita akan menggunakan rumus berikut:
Rumus turunan fungsi komposisi:
$(f$ o $g)’=(f’$ o $g).g’$
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Contoh:
Turunan fungsi $f(x)=\sqrt{3x+7}$ adalah …
Jawab:
Misalkan $a(x)=\sqrt {x} =x^{1/2}$ dan $b(x)=3x+7$ maka:
$(a$ o $b)’=(a’$ o $b).b’$
$=([\frac{1}{2}.x^{-1/2}]$ o $ [3x+7]).3$
$=(\frac{1}{2}.{(3x+7)}^{-1/2}).3$
$=\frac{3}{2.\sqrt{3x+7}}$

Soal-soal Latihan
1. Turunan fungsi $f(x)=3.\sqrt{2x^3+5}$ adalah ….
2. Turunan fungsi $f(x)=(x^4+4x-6)^5$ adalah ….
3. Turunan fungsi $g(x)=(5x^4-7)^5+(5x^4-7)^8$ adalah ….
4. Turunan fungsi $g(x)=-(6.\sqrt{x} +x^{3/2})^3$ adalah ….
5. Turunan fungsi $h(x)=\frac{1}{3x^7+8x^3-10}$ adalah ….

Sampai disini postingan kali ini, semoga bermanfaat,,

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\$‘,’\$’]]} });

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA BERTINGKAT

Pada pertemuan kali ini, mathematic.my.id akan menjelaskan tentang Barisan dan Deret Aritmatika Bertingkat.
Perhatikan bahwa rumus kombinasi dapat digunakan dalam barisan dan deret aritmatika bertingkat.

Berikut ini formula untuk mencari suku ke-n dari barisan aritmatika bertingkat:
$ U_n = k_1.C(n-1,0) + k_2.C(n-1,1) $
$\quad + k_3.C(n-1,2) + …$

Dan, berikut ini untuk mencari jumlah suku ke-n:
$S_n = k_1.C(n,1) + k_2.C(n,2) + … $

Dimana $k_1, k_2, … $ adalah koefisien utama.

Rumus diatas juga berlaku untuk barisan dan deret aritmatika biasa (tingkat 1).
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Perhatikan contoh berikut:
Hasil dari penjumlahan bilangan:
$3+4+7+12+19+…+2404=…$

Jawab:
Perhatikan pola yang terbentuk:
$3+4+7+12+19+…+2404$
$\quad 1 \quad 3 \quad 5 \quad 7 \quad …$
$\quad \quad 2 \quad 2 \quad 2 \quad …$
Kita harus mencari selisih antar suku sampai semuanya sama (lihat bariasan angka 2 yang paling bawah).
Sehingga kita peroleh:
$k_1=3$
$k_2=1$
$k_3=2$
Kemudian untuk mencari berapa banyak suku yang terbentuk ($n$) pada soal tersebut, maka kita gunakan rumus $U_n$ seperti berikut:
$U_n = 3.C^{(n-1)}_0+1.C^{(n-1)}_1+2.C^{(n-1)}_2$
$2404=3+(n-1)+2.\frac{(n-1)(n-2)}{2}$
$2404=n^2-2n+4$
$n^2-2n-2400=0$
$n=50$
Kemudian kita mencari $S_n$ sebagai berikut:
$S_{50}=3.C^{50}_1+1.C^{50}_2+2.C^{50}_3$
$S_{50}=40575$

Mungkin sekian dulu postingan kali ini. Terima kasih atas kunjungannya, salam berbagi.

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\$‘,’\$’]]} });

KUMPULAN SOAL DAN KUNCI OSK MATEMATIKA SMA

Mungkin sekian postingan ini. Terima kasih atas kunjungannya.
Salam berbagi..

OPERASI PENJUMLAHAN, PENGURANGAN, PERKALIAN, DAN PEMBAGIAN

Hai sahabat mathematic.my.id apa kabar..
Pada pertemuan kali ini akan dijelaskan mengenai Bilangan Bulat. Penjelasan singkatnya sebagai berikut:

Konsep Bilangan Bulat
Bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang memuat bilangan bulat positif, 0 (nol), dan bilangan bulat negatif. Jelas bahwa bilangan bulat tidak memuat bilangan pecahan ataupun bentuk akar.
Bilangan Bulat dapat dituliskan seperti berikut.
…., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …..

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Perbandingan bilangan bulat
Pada garis bilangan bulat, bilangan yang berada di sebelah kiri pasti lebih kecil (nilainya kurang dari) bilangan yang ada di kanan. Hal ini menjadikan bahwa setiap bilangan negatif kurang dari 0 atau dapat dikatakan bahwa bilangan negatif pasti kurang dari bilangan positif.

Contoh:
-8 -9 (-4 berada di sebelah kanan -9)
7 > -10 (7 berada di sebelah kanan -10)

Berikut kami berikan trik cara mudah mengingat operasi penjumlahan bilangan bulat.
Lihat dan perhatikan pola berikut.

2 + 3 = 5 kalau semua negatif menjadi -2 + (-3) = -5

4 + 7 = 11 kalau semua negatif menjadi -4 + (-7) = -11

Kalimat Kunci :
Bilangan negatif ditambah bilangan negatif menjadi bilangan negatif yang lebih besar.

6 + (– 2) = 6 – 2 = 4 kalau posisi dibalik menjadi 2 – 6 = -4

12 + (– 5) = 12 – 5 = 7 kalau posisi dibalik menjadi 5 – 12 = -7

Kalimat kunci:
Penjumlahan dua bilangan bertanda tidak sama.
Tanda bilangan hasil mengikuti tanda bilangan yang besar.
Bilangan kecil dikurangi bilangan besar berupa bilangan negatif.

Cara mudah mengingat perkalian bilangan bulat
2 x 3 = 6
2 x (-3) = -6
-2 x 3 = -6
-2 x (-3) = 6

Tanda hasil perkalian dua bilangan bulat
(+) x atau ÷ (+) = (+)
(+) x atau ÷ (-) = (-)
(-) x atau ÷ (+) = (-)
(-) x atau ÷ (-) = (+)

Kalimat kunci:
Perkalian atau pembagian dua bilangan bertanda sama hasilnya bilangan positif.
Perkalian atau pembagian dua bilangan berbeda tanda hasilnya bilangan negatif.

Sifat-sifat bilangan bulat.
* Komutatif
1. a + b = b + a
2. a x b = b x a
contoh :
2 + (-6) = -6 + 2
-3 x 5 = 5 x (-3)

* Asosiatif
1. (a + b) + c = a + (b + c)
2. (a x b) x c = a x (b x c)
contoh :
(2 + (-6)) + 8 = 2 + ((-6) + 8)
(-3 x 5) x 2 = (-3) x ( 5 x 2 )

* Distributif perkalian terhadap penjumlahan atau perkalian
1. a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
2. a x (b – c) = (a x b) – (a x c)
Contoh:
Perhatikan kesamaan hasil hitungan berikut
2 x ((-3) + 7) = (2 x (-3)) + (2 x 7)
2 x 4 = -6 + 14
8 = 8 (terbukti sama)

* Mempunyai bilangan identitas penjumlahan 0 (nol) dan identitas perkalian 1 (satu).
1. a + (-a) = -a + a = 0
2. a x 1= 1 x a = a
Contoh:
-6 + 6 = 6 + (-6) = 0
-12 + 12 = 12 + (-12) = 0
-9 x 1 = 1 x (-9) = -9
1 x 25 = 25 x 1 = 25

SOAL-SOAL LATIHAN
Penjumlahan dan Pengurangan (No. 8, 9, 10 untuk Contoh)
1. 9 + 7
2. 12 + (-3)
3. 19 – 8 – 7
4. 21 + (-8) – 6
5. -12 + 9 – (-10)
6. -15 – 8 + (-4)
7. -6 – 9 – (-7)
8. 10 + (-12) – (-15)
= 10 – 12 + 15
= -2 + 15
= 13
9. -14 – (-23) + 19 + (-7)
= -14 + 23 + 19 – 7
= -1 + 19 – 7
= 18 – 7
= 11
10. -24 + (-12) – 9 – (-16)
= -24 -12 – 9 + 16
= -45 + 16
= -29

Perkalian dan Pembagian (No. 8, 9, 10 untuk Contoh)
1. 3 x 9
2. 12 x (-3)
3. 36 : (-12)
4. -5 x (-8)
5. -48 : 6 x (-5)
6. -6 x (-3) x 2
7. 4 x 12 : (-6)
8. -24 : 8 x (-5)
= – 3 x (-5)
= 15
9. -60 : (-4) : (-3)
= 15 : (-3)
= -5
10. -72 : (-8) x 3
= 9 x 3
= 27

Operasi Hitung Campuran (No. 8, 9, 10 untuk Contoh)
1. -2 + 3 x (-5)
2. 5 – (-4) : 2
3. -12 : (-4) + 3 x (-6)
4. -10 + 6 x (-3) – (-4)
5. -24 + 36 : (-9) – 15
6. 24 + (-6) x 2 – (-20)
7. 30 + (-24) x 5 : (-6)
8. -75 – (-25) + 20 : 5
= -75 + 25 + 4
= -50 + 4
= -46
9. 60 – (-8) x 5 – 24
= 60 – (-40) – 24
= 60 + 40 – 24
= 100 – 24
= 76
10. (8 x (-7) – 4) : (-5)
= (-56 – 4) : (-5)
= -60 : (-5)
= 12

TIPS DAN TRIK MENJAWAB SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA

Sebelum kita mempelajari trik menjawab soal olimpiade matematika, terlebih dulu kita mempelajari perbedaan antara soal matematika di sekolah dan soal matematika olimpiade. Soal matematika di sekolah bersifat rutin (biasa), sehingga cara pengerjaannya relatif mudah dan banyak ditemukan dalam buku-buku teks sekolah. Sementara itu, soal olimpiade matematika bersifat tidak rutin (tidak biasa) sehingga cara pengerjaannya relatif sulit dan tidak banyak ditemukan dalam buku-buku teks sekolah. Untuk lebih jelasnya mari kita perhatikan contoh berikut ini:

Terkadang kita sangat susah menentukan modifikasi bentuk aljabar yg sesuai karena memang begitulah soal olimpiade. Memodifikasi bentuk-bentuk aljabar untuk soal olimpiade tidaklah bersifat umum, maka dari itu perlu ketelitian dan kesabaran dalam pengerjaannya.

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Strategi Mengerjakan Soal Olimpiade Matematika | Matematrick.com
Salah satu kompetensi yang diharapkan dapat tercapai dalam belajar matematika yang terkait dengan keterampilan matematika adalah kompetensi mengkomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, grafik atau diagram untuk memperjelas masalah serta pemecahannya.

Dalam pemecahan masalah, terutama masalah matematika ada satu kemampuan yang harus dimiliki dan selalu dilatih, yakni menalar. Kemampuan dan keterampilan bernalar tidak hanya dibutuhkan para siswa ketika mereka mempelajari matematika atau pelajaran lain, tetapi juga sangat dibutuhkan ketika mereka harus terjun langsung dalam kehidupan.

Proses pembelajaran matematika di kelas sudah seharusnya dimulai dari masalah nyata, dilanjutkan dengan kegiatan bereksplorasi, lalu para siswa akan belajar matematika secara informal dan diakhiri dengan belajar matematika secara formal. Pengetahuan matematika yang diberikan atau ditransformasikan langsung kepada para siswa akan kurang meningkatkan kemampuan bernalar mereka, tetapi hanya meningkatkan kemampuan untuk mengingat saja.

Salah satu teknik yang dapat digunakan dalam pembelajaran matematika adalah pembelajaran berbasis pemecahan masalah; yaitu suatu tindakan yang dilakukan guru agar para siswanya termotivasi untuk menerima tantangan yang ada pada pertanyaan dan mengarahkan para siswa dalam proses pemecahannya. Para siswa dituntun untuk belajar sehingga dapat menemukan kembali atau mengkonstruksi kembali pengetahuannya.

Proses Pemecahan Masalah Matematika
1. Memahami masalah
2. Merencanakan cara/strategi penyelesaian
3. Melaksanakan rencana, dan
4. Menafsirkan hasil.

Strategi Pemecahan Masalah Matematika
-Mencoba-coba
-Membuat daftar yang teratur
-Membuat diagram
-Membuat tabel
-Memisalkan dengan Suatu Variabel
-Menemukan pola
-Memecah tujuan
-Memperhitungkan setiap kemungkinan
-Berpikir logis
-Bergerak dari belakang
-Membuat model matematika

Berikut ini beberapa contoh penggunaan strategi dalam menyelesaikan masalah matematika:

Strategi Membuat Daftar yang Teratur
Contoh 1 :
Tiga dadu berwarna hitam, merah, dan putih dilempar bersama-sama. Macam hasil lemparan sehingga jumlah ketiga mata dadu adalah 8 sebanyak ….(OSP 2009)
Solusi :
Misalkan (a, b, c) menyatakan mata dadu hitam adalah a, mata dadu merah adalah b dan mata dadu c adalah c.
Semua kemungkinan yang muncul adalah (1,1,6), (1,2,5), (1,3,4), (1,4,3), (1,5,2), (1,6,1), (2,1,5), (2,2,4), (2,3,3), (2,4,2), (2,5,1), (3,1,4), (3,2,3), (3,3,2), (3,4,1), (4,1,3), (4,2,2), (4,3,1), (5,1,2,), (5,2,1), (6,1,1).
Macam lemparan ada sebanyak 21.

Contoh 2 :
Banyak bilangan tiga digit yang semua digit-digitnya berbeda dan digit terakhirnya merupakan hasil penjumlahan dari dua digit yang lainnya adalah …. (OSP 2011)
Solusi :
(1,2,3), (1,3,4), (1,4,5), (1,5,6), (1,6,7), (1,7,8), (1,8,9), (2,1,3), (2,3,5), (2,4,6), (2,5,7), (2,6,8), (2,7,9), (3,1,4), (3,2,5), (3,4,7), (3,5,8), (3,6,9), (4,1,5), (4,2,6), (4,3,7), (4,5,9), (5,1,6), (5,2,7), (5,3,8), (5,4,9), (6,1,7), (6,2,8), (6,3,9), (7,1,8), (7,2,9), (8,1,9).
Banyaknya bilangan ada sebanyak 32.

Strategi Memisalkan dengan Suatu Variabel
Contoh 4 :
Hari ini usiaku 1/3 kali usia ayahku. Lima tahun yang lalu, usiaku 1/4 kali usia ayahku pada waktu itu. Berapakah usiaku sekarang ? (OSK 2003)
Solusi :
Misal usiaku saat ini = X dan usia ayahku saat ini = Y, maka : X = Y/3 dan X – 5 = (Y – 5)/4.
X – 5 = (3X – 5)/4
4X – 20 = 3X – 5
X = 15
Jadi usiaku saat ini 15 tahun.

Contoh 5 :
Ada berapa banyak bilangan bulat positif berlambang “abcde” dengan a < b <= c < d < e ? (OSK 2011) Solusi : Jelas bahwa syarat yang harus dipenuhi adalah: 1 <= a < b <= c < d < e <= 9 Misalkan k = c + 1 dan m = d + 1 serta n = e + 1 maka ketaksamaan akan berlaku: 1 <= a < b < k < m < n <= 10 Maka persoalannya akan menjadi setara dengan memilih 5 kemungkinan dari 10 kemungkinan yang ada. Banyaknya cara = 10C5 = 252. Demikianlah beberapa contoh strategi mengerjakan soal olimpiade matematika yang bisa saya bagikan. Jika ada beberapa hal yang perlu untuk didiskusikan, silakan memanfaatkan kolom komentar di bawah postingan ini. Terima kasih sudah berkunjung dan membaca sampai tuntas. Semoga ada manfaatnya. #searchbox { background: url(https://4.bp.blogspot.com/-u0fEq-zSTYI/VD1gGDLy3aI/AAAAAAAAAhw/im3bcQd5wBM/s1600/search-box.png) no-repeat; height: 27px; width: 202px; } input:focus::-webkit-input-placeholder { color: transparent; } input:focus:-moz-placeholder { color: transparent; } input:focus::-moz-placeholder { color: transparent; } #searchbox input { outline: none; } #searchbox input[type=”text”] { background: transparent; margin: 0px 0px 0px 12px; padding: 5px 0px 5px 0px; border-width: 0px; font-family: “Arial Narrow”, Arial, sans-serif; font-size: 12px; font-style: italic; width: 77%; color: #828282; display: inline-table; vertical-align: top; } #button-submit { background: url(https://2.bp.blogspot.com/-4OxjMRukhCM/VD1gBscpzII/AAAAAAAAAhk/TUxMSv7bCzA/s1600/search-button.png) no-repeat; border-width: 0px; cursor: pointer; width: 30px; height: 25px; } #button-submit:hover { background: url(https://4.bp.blogspot.com/-GgNBTS_3FEA/VD1gBgm7RFI/AAAAAAAAAhg/flg6VijzW8E/s1600/search-button-hover.png) no-repeat; } #button-submit::-moz-focus-inner { border: 0; }