INDUKSI MATEMATIKA

Sering kali dalam proses matematis kita perlu menetapkan bahwa suatu proposisi tertentu $P_n$ adalah benar untuk setiap bilangan bulat $n \ge 1$ (atau mungkin setiap bilangan bulat $n \ge N$). Di sini diberikan tiga buah contoh:
$1. \quad P_n: 1^2+2^2+3^2+…+n^2$
$\quad =n(n+1)(2n+1)/6$
$2. \quad Q_n: 2^n>n+20$.
$3. \quad R_n: n^2-n+41$ adalah bilangan prima.
Proporsi $P_n$ adalah benar untuk setiap bilangan bulat positif, dan $Q_n$ adalah benar untuk setiap bilangan bulat yang lebih besar atau sama dengan 5 (seperti akan ditunjukkan kemudian). Tetapi proposisi ketiga, $R_n$ adalah menarik. Perhatikan bahwa untuk $n=1, 2, 3, …$, nilai-nilai $n^2-n+41$ adalah 41, 43, 47, 53, 61, … (merupakan bilangan-bilangan prima). Kenyataannya kita akan mendapatkan suatu bilangan prima untuk semua $n$ sampai 40, tetapi pada $n=41$ rumus tersebut menghasilkan bilangan komposit 1681 = (41)(41). Dengan menunjukkan bahwa suatu proposisi adalah benar untuk 40, masing-masing kasus mungkin akan menghasilkan suatu proposisi, tetapi tentu saja tidak dapat dibuktikan bahwa hal ini benar untuk semua $n$. Perbedaan antara kasus dengan sembarang bilangan terhingga dan semua kasus sangat besar.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Apa yang harus dilakukan? Adakah prosedur untuk menetapkan bahwa suatu proposisi $P_n$ adalah benar untuk semua $n$? Jawaban yang dapat membenarkan ini diberikan oleh Prinsip Induksi Matematis.

(Prinsip Induksi Matematis). Misalkan {$P_n$} adalah suatu deret proposisi yang memenuhi kedua persyaratan di bawah ini:
(i) $P_n$ adalah benar untuk nilai awal.
(ii) $P_{k+1}$ benar jika dan hanya jika $P_k$ benar, dimana $k \subseteq n$

Kita tidak perlu membuktikan prinsip ini, biasanya prinsip ini diambil sebagai suatu aksioma yang wajar.

Contoh 1:
Buktikan bahwa
$P_n: 1^2+2^2+3^2+…+n^2$
$=n(n+1)(2n+1)/6$
adalah benar untuk semua $n \ge 1$.
Penyelesaian:
– Pertama kita cari untuk nilai awal yakni, untuk $n=1$
$P_1=1^2=1(1+1)(2+1)/6=1$ adalah benar.
– Kedua asumsikan benar bahwa untuk $n=k$ maka $P_k=1^2+2^2+3^2+…+k^2$
$=k(k+1)(2k+1)/6$ adalah benar, dengan $k \in N$.
– Ketiga kita untuk $n=k+1$, kita cari $P_{k+1}$ dengan menggunakan dasar asumsi pada langkah kedua,
$P_{k+1}=1^2+2^2+3^2+…+k^2+(k+1)^2$
$=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2$
$=(k+1)(2k^2+k+6k+6)/6$
$=(k+1)(2k^2+7k+6)/6$
$=(k+1)(k+2)(2k+3)/6$
Perhatikan bahwa jika kita substitusikan $n=k+1$ ke dalam $P_n$ ruas kanan maka akan sita peroleh hal yang sama dengan hasil akhir di atas.

Contoh 2:
Buktikan bahwa $P_n: 2^n>n+20$ adalah benar untuk setiap bilangan bulat $n \ge 5$.
Penyelesaian:
Pertama-tama perhatikan bahwa $P_5: 2^5>5+20$ adalah benar. Kedua, asumsikan bahwa $P_k: 2^k>k+20$ adalah benar untuk $k \in n$. Ketiga Cari $P_{k+1}$ berdasarkan asumsi,
$2^{k+1}=2.(2^k)>2.(k+20)$
$2^{k+1}>2k+40$ …(i)
Substitusikan langsung $n=k+1$ ke $P_n$ yakni,
$P_{k+1}: 2^{k+1}>(k+1)+20$
$P_{k+1}: 2^{k+1}>k+21 …(ii)$
Jadi persamaan $(ii)$ adalah benar berdasarkan persamaan $(i)$, sebab $2k+40>k+21$

Contoh 3:
Buktikan bahwa $P_n: \quad (x-y)$ adalah faktor dari $x^n-y^n$, untuk setiap bilangan asli $n$.
Penyelesaian:
– Pertama untuk $n=1$ benar bahwa $(x-y)$ adalah faktor dari $(x-y)$.
– Kedua asumsikan benar untuk $n=k$ maka $(x-y)$ adalah faktor dari $x^k-y^k$, sehingga $x^k-y^k=Q(x,y).(x-y)$.
– Ketiga untuk $n=k+1$ maka:
$x^{k+1}-y^{k+1}=x^{k+1}-x^ky+x^ky-y^{k+1}$
$=x^k(x-y)+y(x^k-y^k)$
$=x^k(x-y)+y.Q(x,y).(x-y)$
$=[x^k+y.Q(x,y)].(x-y)$
Jadi, terbukti bahwa untuk $n=k+1$ maka $(x-y)$ adalah faktor dari $x^{k+1}-y^{k+1}$. MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\\(‘,’\\)’]]} });

PERTUMBUHAN DAN PELULUHAN EKSPONEN

Pada permulaan tahun 1975, penduduk dunia diperkirakan sebanyak 4 milyar. Menjelang tahun 2000, penduduk dunia mencapai 6,6 milyar. Bagaimana orang dapat meramalkannya?.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Untuk menyelesaikan persoalan ini secara matematis, kita andaikan $y=f(t)$ adalah banyaknya penduduk bumi pada saat $t$, dengan $t$ banyaknya tahun setelah tahun 1975. Jelaslah bahwa $f(t)$ bilangan bulat dan grafiknya “meloncat” apabila ada seseorang lahir atau meninggal dunia. Akan tetapi loncatan ini kecil dibandingkan dengan banyaknya penduduk yang besar, oleh karena itu kita dapat menganggap $f$ sebagai suatu fungsi yang dapat didiferensialkan.
Kita dapat pula mengandaikan bahwa penambahan $\Delta y$ populasi (angka kelahiran dikurangi angka kematian) dalam jangka waktu $\Delta t$ sebanding dengan banyaknya penduduk pada awal jangka waktu itu dan sebanding dengan panjangnya jangka waktu itu sendiri. Jadi $\Delta y = ky \Delta t$ atau $\Delta y/\Delta t=ky$. Kondisi $y=y_0$ pada $t=0$ akan menghasilkan $C=$ ln $y_0$. Jadi,

$dy/dt=ky \quad ….(1)$

Apabila $k>0$ maka populasi meningkat, sedangkan apabila <a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=k<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?k<0&quot; title="k maka populasi berkurang. Untuk penduduk dunia, dan menurut pengamatan, $k \approx 0,0198$ ($t$ dihitung dengan tahun), meskipun para pakar statistik menunjukkan jumlah yang lebih rendah.
Pada persamaan (1), dengan memisahkan variabel-variabel dan mengintegralkannya maka kita peroleh:



ln $y=kt+C$

Syarat pada saat $t=0$ dan $y=y_0$ akan menghasilkan $C=$ ln $y_0$. Sehingga

ln $y-$ ln $y_0=kt$
atau:

Dalam bentuk eksponen ini menjadi:

$y=y_0.e^{kt}$

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Kembali kemasalah populasi dunia. Dalam rumus terakhir itu, $t$ adalah banyaknya tahun setelah 1 Januari 1975 dan $y$ dinyatakan dengan satuan milyar. Jadi $y_0=4$, oleh karena $k=0,0198$, maka:
$y=4.e^{0,0198}$. Ditahun 2000 nilai $t=25$, kita dapat meramalkan bahwa $y$ akan bernilai
$y=4.e^{(0,0198)(25)} \approx 6,6$ milyar, perhitungan kita menggunakan kalkulator.

Contoh 1:
Dari masalah populasi dunia di atas, setelah berapa lamakah penduduk dunia akan menjadi dua kali lipat?
Penyelesaian:
Pertanyaan tersebut eqivalen dengan pertanyaan: setelah berapa tahunkah lewat 1975 penduduk dunia mencapai 8 milyar?. Jadi bila dirumuskan, kita harus menentukan $t$ dari persamaan
$8=4.e^{0,0198.t}$
Setelah kedua ruas dibagi dengan 4, kita menarik logaritma
ln 2 = 0,0198.$t$ maka $t=35$ tahun. Jadi populasi dunia akan dua kali lipat dalam 35 tahun pertama setelah tahun 1975.

Contoh 2:
Banyaknya bakteri dalam sebuah pembiakan pada tengah hari ada 10.000. Setelah 2 jam, banyaknya bakteri ini menjadi 40.000. Berapa banyak bakteri pada pukul 17.00?
Penyelesaian:
Diketahui $y_0=10000$, $y=40000$, dan $t=2$. Sehingga
$40000=10000.e^{k(2)} \quad$ atau $4=e^{2k}$. Jadi $k=$ (ln 4)$/$2 atau $k \approx 0,693$. Jadi,
$y=10000.e^{0,693.t}$ dan untuk $t=5$ kita peroleh $y=10000.e^{(0,693).(5)}=320000$

Model eksponensial untuk pertumbuhan populasi adalah tidak sempurna karena proyek tersebut cepat dan semaki cepat bertumbuh jauh melampaui bayangan semula (Gambar 1 di bawah). Dihampir semua kasus (termasuk kasus populasi dunia), jumlah yang terbatas akan ruang dan sumber daya akhirnya akan memaksa laju pertumbuhan yang lebih lambat. Ini mendorong kita pada model pertumbuhan penduduk yang lain yang disebut model logistik, dimana kita mengasumsikan bahwa laju pertumbuhan tersebut proporsional baik terhadap besarnya populasi $y$ maupun terhadap selisih $L-y$, dimana $L$ adalah populasi maksimum yang dapat ditunjang. Model ini membentuk persamaan diferensial

Perhatikan bahwa untuk nilai $y$ yang kecil, $dy/dt \approx kLy$ yang memberikan pertumbuhan tipe eksponensial. Tetapi bila $y$ mendekati $L$, maka $dy/dt$ akan semakin kecil mengurangi laju pertumbuhan dan menghasilkan kurva pertumbuhan (Gambar 2). Perhatikan gambar berikut:

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Peluluhan Radio Aktif $\quad$ Tidak semua benda akan tumbuh. Khususnya zat-zat radio aktif mengalami peluluhan. Proses ini berjalan dengan laju yang sebanding dengan banyaknya zat yang ada pada suatu saat. Sehingga zat-zat yang meluluh itu juga memenuhi persamaan diferensial,
$dy/dt=ky$
tetapi sekarang nilai $k$ negatif. Walaupun demikian jawabannya tetap $y=y_0.e^{kt}$ (Gambar 3 di atas).
Contoh 3:
Karbon 14, salah satu dari tiga isotop karbon adalah zat radio aktif. Zat ini meluluh dengan laju yang sebanding dengan banyaknya zat itu pada suatu saat. Setengah umurnya adalah 5730 tahun, artinya zat tersebut memerlukan waktu 5730 tahun untuk menyusut menjadi setengahnya. Apabila pada saat awal ada 10 gram, berapakah sisanya setelah 2000 tahun?
Penyelesaian:
Setengah umur 5730, memungkinkan kita untuk menentukan nilai $k$. Sebab,
$1/2=1.e^{k.(5730)}$
$k=-$(ln 2)/5730 atau
$k=-0,000121$.
Jadi, $y=10.e^{-0,000121.(2000)} \approx 7,80$ gram. MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\\(‘,’\\)’]]} });

KALKULUS FUNGSI EKSPONEN UMUM DAN FUNGSI LOGARITMA UMUM

Kalkulus Eksponen Umum
Definisi fungsi eksponen umum yang terkait dengan bilangan $e$ dan logaritma asli (ln), sebagai berikut:

Definisi:
Untuk $a>0$ dan $x$ bilangan riil sebarang, maka $a^x=e^{x.ln(a)}$

Definisi tersebut tentunya akan berguna apabila sifat-sifat tentang pangkat tetap berlaku; hal ini memang akan kita buktikan di bawah ini. Untuk meyakinkan definisi tersebut, kita gunakan dia untuk menghitung $3^2$ (dengan bantuan kalkulator).
$3^2=e^{2.ln(3)} \approx e^{2.(1,0986123)} \approx 9,0000002$
Perbedaan yang kecil ini diakibatkan pembulatan oleh kalkulator itu.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Berikut ini sifat-sifat eksponen umum:

Apabila $a>0$, $b>0$, $x$ dan $y$ bilangan riil, maka:
(i) $\quad a^x.a^y=a^{x+y}$
(ii) $\quad a^x/a^y=a^{x-y}$
(iii) $\quad (a^x)^y=a^{xy}$
(iV) $\quad (ab)^x=a^x.b^x$
(v) $\quad (a/b)^x=a^x/b^x$

Berikut ini rumus turunan dan integral fungsi eksponen umum:

$D_x a^x=a^x$ ln $a$
$\int a^x dx = a^x/$(ln $a$) $+C$

Rumus integral tersebut adalah akibat langsung dari pendiferensialan $D_x a^x$

Contoh 1:
Tentukan $D_x 3^{\sqrt{x}}$
Penyelesaian:
Gunakan aturan rantai dengan memisalkan $u=\sqrt{x}$.
$D_x 3^{\sqrt{x}}=3^{\sqrt{x}}.$ln 3 $.D_x \sqrt{x}$
$=(3^\sqrt{x}$ ln 3$)/(2\sqrt{x})$

Contoh 2:
Tentukan $dy/dx$ jika $y=(x^4+2)^5+5^{x^4+2}$
Penyelesaian:
Soal ini dapat diselesaikan dengandiferensial implisit,
$dy/dx=5(x^4+2)^4.4x^3+5^{x^4+2}.$ln 5 $.4x^3$

Contoh 3:
Tentukan $\int 2^{x^3}.x^2 dx$
Penyelesaian:
Ambil $u=x^3$ maka $du=3x^2dx$ atau $x^2 dx=(1/3)du$. Sehingga
$\int 2^{x^3}.x^2 dx=(1/3).\int 2^u du$
$=(1/3).2^u/($ln 2$)+C=2^{x^3}/($3.ln 2$)+C$.

Kalkulus Logaritma Umum
Logaritma umum dinotasikan sebagai $^a log$ atau $log_a$ dimana $a$ adalah basis logaritmanya.

Definisi:
Andaikan $a$ bilangan positif dan $a \ne 1$. Maka
$y=log_a x \iff x=a^y$

Semula orang menggunakan bilangan 10 sebagai bilangan pokok, logaritma itu dinamakan logaritma biasa. Tetapi dalam kalkulus orang menggunakan bilangan $e$ sebagai bilangan pokok logaritma. Perhatikan bahwa:

$log_e(x) =ln(x)$

Perhatikan bahwa apabila $y=log_a x$ maka $x=a^y$ sehingga

$ln(x)=y.ln(a)$
$y=ln(x)/ln(a)$
$log_a x=ln(x)/ln(a)$

Dari hubungan tersebut dapat kita tarik kesimpulan bahwa fungsi $log_a$ memiliki sifat-sifat yang lazimnya berlaku untuk logaritma. Begitu pula berlaku rumus turunan berikut:

$D_x log_a x= 1/ [x.ln(a)]$

Contoh 1:
Apabila $y=log_{10}(x^4+13)$, tentukanlah $dy/dx$
Penyelesaian:
Ambil $u=x^4+13$ dan gunakan aturan rantai.


Contoh 2:
Tentukan $D_x(x^x)$
Penyelesaian:
$y=x^x$
ln $y=x.$ln $x$
Cari $y’$ dengan teknik turunan implisit
$\frac{1}{y}.y’=x.\frac{1}{x}+$ ln $x$
$y’=y.(1+$ln $x)=x^x.(1+$ ln $x)$.
Jadi, $D_x(x^x)=x^x.(1+$ ln $x)$. MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\\(‘,’\\)’]]} });

ELLIPTICAL PROPERTIES

In this post, we will discuss the properties of elliptical shapes. Previously what is an ellipse, well to understand it, consider the following image:

From the picture above, the properties of elliptical given as follows:
1. Elliptical has major axis (long axis) and minor axis (short fuse). Pay attention to the image above which is a major axis is $AA’$ and minor axis is a $BB’$.
2. Elliptical $\quad$ cut the x-axis at the point $(a, 0)$ and $(-a, 0)$ as well as cut y-axis at the point $(0, b)$ and $(0,-b)$. So that the long axis = $2a$ and the length of minor axis major = $2b$.
3. The axis of the elliptical symmetry is the axis of the major and minor axis intersect in the central point of ellipse.
4. The major axis and the minor axis intersect the ellipse at the vertex of the ellipse. In the image above which is the top of the elliptical is the point $A (a, 0)$, $A'(-a, 0)$, $B(0, b)$, and $B'(0,-b)$.
5. The ellipse has two focuses located on the major axis. For an ellipse horizontal position whose center is (0, 0) then the focus is $F_1(-c, 0)$ and $F_2(c, 0)$, while the ellipse whose center is $(p, q)$ then the focus is $F_1(p-c, q)$ and $F_2(p+c, q)$. And for an ellipse with a vertical position,
$F_1(0, -c)$ and $F_2(0, c)$ {the ellipse is centered at $O(0, 0)$}, and
$F_1(p, q-c)$, $F_2(p, q+c)$ {ellipse centered at $(p, q)$.}
6. Comparison of the distance from a point on elliptical to the focal point with direktriks lines called eccentricity, abbreviated $e$. The magnitude of the eccentricity $(e)$ is an:
with 0 < $e$ < 1.
Because then .
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Example 1:
You know the ellipse with the equation $x^2+4y^2=16$. Tentukan:
a. Major axis
b. Minor axis
c. Focal point coordinates
d. Eccentricity
Answer:
$x^2+4y^2=16$
$\iff$ $x^2/16+y^2/4$ diperoleh $a^2=16$ atau $a=4$ dan $b^2=4$ atau $b=2$ and
$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$.
a. Major axis = $2a=2(4)=8$.
b. Minor axis = $2b=2(2)=4$.
c. Focal point coordinates is $F_1(-2\sqrt{3}, 0)$ dan $F_2(2\sqrt{3}, 0)$.
d. Eccentricity $e=c/a=(2\sqrt{3})/4=\sqrt{3}/2$.

Example 2:
Find the equation for an ellipse centered at $O(0, 0)$, where one of the foci is on point $(0, \sqrt{5})$ and the axis is 6 units long!
Answer:
in the above problem it is clear that the ellipse formed is an ellipse with a vertical position. From property 5, it is obtained $c=\sqrt{5}$,
The long axis = $2a = 6$ then $a = 3$, and $b = \sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{9-5}=2$.
since the ellipse is vertical, the equation is:

So, the ellipse equation we are looking for is:

Question 1:
Determine the major axis, minor axis, focal point coordinates, and eccentricity of the following ellipse equations:
a.
b.
c.
Question 2:
Find the equation of an ellipse centered at (0, 0), one of its foci on $(\sqrt{3}, 0)$ with a major axis of 4 units!

Thus a brief explanation of the properties of an ellipse, good-bye and hopefully useful. MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\\(‘,’\\)’]]} });

SOAL DAN PEMBAHASAN OLIMPIADE MATEMATIKA SD

Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SD

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Pada pertemuan kali ini akan dibahas mengenai olimpiade matematika SD. Berikut ini beberapa soal dan pembahasan olimpiade matematika tingkat SD.

1. Diketahui bahwa perbandingan banyak kelereng Andi dan Budi adalah 2 : 3. Sedangkan perbandingan banyak kelereng Budi dan Candra adalah 4 : 5. Banyak kelereng mereka bertiga (Andi, Budi, dan Candra) adalah 70 buah. Tentukan banyak kelereng Andi!
Jawab:
misalkan banyak kelereng Andi, Budi, dan Candra adalah $a$, $b$, dan $c$. Maka dari soal yang diketahui dapat kita tulis sebagai:
$a:b=2:3$ dan $b:c=4:5$ kemudian pada kedua persamaan itu kita bisa menulisnya dengan sejajar (sejajarkan unsur yang sama yakni $b$),
$a:b=2:3$
$c:b=5:4$
Lihat pengali unsur $b$ yakni 3 dan 4, kalikan silang (persamaan pertama kali dengan 4 dan persamaan kedua kali dengan 3, maka diperoleh:
$a:b=8:12$ dan $c:b=15:12$. Jadi kita peroleh nilai pembanding yang sudah sesuai yakni $a=8$, $b=12$, dan $c=15$. Karena yang diketahui jumlah ketiga kelereng mereka adalah 70 buah, maka kita jumlahkan ketiga nilai pembanding yakni $a+b+c=8+12+15=35$. Jadi banyak kelereng Andi adalah:

2. Sebuah drum berisi air sebanyak 1/5 bagiannya. Kemudian drum itu diisikan air sebanyak 5 liter, sehingga air di drum itu menjadi 3/10 bagian. Tentukan kapasitas drum itu!
Jawab:
Misalkan kapasitas drum itu adalah $d$, maka kalimat matematika dari soal itu adalah:

dengan menggunakan aljabar diperoleh:

atau $d=50$.

3. Nilai $n$ dari persamaan $-4(n+8)+5=2n$ adalah …
Jawab:
Dengan menggunakan sifat operasi hitung dan aljabar diperoleh:
$-4n-32=2n$
$-4n-2n=32$
$-6n=32$
$n=-16/3$

4. Andi membeli laptop dengan harga Rp3.500.000,-. Kemudian ia ingin menjualnya kembali dengan menginginkan keuntungan 20%. Dengan harga berapa Andi harus menjualnya?
Jawab:
Harga pembelian = Rp3.500.000,-
Untung = 20% .(3.500.000,-)=700.000,-
Harga Penjualan = 3.500.000 + 700.000 = 4.200.000
Jadi Andi harus menjual laptopnya dengan harga Rp4.200.000,-
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
5. Bu Rina membeli 3 lusin botol sirup yang harga per botolnya Rp7.500,- dengan diskon 15%. Harga yang harus dibayar Bu Rina adalah ….
Jawab:
1 lusin = 12 buah, maka 3 lusin = 3.(12) = 36 buah. Harga kotor = 36.(7.500) = 270.000. Harga bersih atau yang harus dibayar Bu Rina adalah:

6. Rani memiliki 82 permen, sedangkan Putri sahabatnya Rani memiliki 32 permen. Berapa banyak permen yang harus Rani berikan kepada putri agar permen yang dimiliki Rani itu 2 kali lebih banyak daripada permen yang dimiliki Putri?
jawab:
Misalkan $x$ adalah banyak permen yang diberikan Rani kepada Putri. Jika Rani memberikan $x$ permen kepada Putri, maka sisa permen Rani adalah $82-x$. Adapun banyak permen Putri menjadi $32+x$. Oleh karena banyak permen Rani menjadi 2 kali banyak permen Putri, maka kalimat matematisnya menjadi:
$2(32+x)=82-x$
$64+2x=82-x$
$2x+x=82-64$
$3x=18$
$x=6$.
Jadi Rani harus memberikan 6 permennya kepada Putri.

7. Seorang pengendara mobil menempuh jarak 120 km dalam waktu 3 jam. Berapakah waktu yang diperlukan oleh pengendara itu untuk menempuh jarak 200 km?
jawab:
ini adalah perbandingan senilai karena pada soal di atas jika jarak tempuh semakin jauh maka waktu yang diperlukan juga akan semakin lama.
Bentuk matematisnya adalah:

Perhatikan bahwa 120 km posisinya sejajar dengan 3 jam, dan 200 km posisinya sejajar dengan $t$ waktu yang ditanya. Dapat kita sederhanakan kalimat matematis di atas menjadi:

Kita kali silang menjadi:
$3t=15$ $\quad$ maka $t=5$
Jadi, 200 km ditempuh dalam waktu 5 jam.

8. Pak Budi mengendarai sepeda motor selama 3 jam dari kota A ke kota B dengan kecepatan rata-rata 40 km/jam. Berapa kecepatan jika ia menghendaki agar dari kota A ke B dapat ditempuh dalam 2 jam?
Jawab:
Perbandingan kecepatan dan waktu tempuh adalah perbandingan berbalik nilai, sebab semakin kencang (nilai yang besar) suatu kendaraan melaju maka semakin cepat (nilai yang kecil) sampai ke tujuan. Bentuk mathematisnya seperti berikut:

Perhatikan bahwa $p$ (kecepatan yang ingin dicari) dan 2 (waktu yang dikehendaki) posisinya saling berbalik (atas dan bawah). Begitu juga 40 dan 3 menjadi berbalik (atas dan bawah). Sehingga diperoleh: $p=60$ km/jam.

9. Suatu mobil memerlukan 36 liter bensin untuk menempuh jarak 324 km. Tentukan jarak maksimal yang dapat ditempuh mobil itu jika dalam tangkinya tersedia 53 liter bensin!
Jawab:
Ini adalah perbandingan senilai, mengapa? (coba tebak alasannya). Kalimat matematisnya menjadi:


Jadi, jarak maksimal yang dapat ditempuh mobil itu jika dalam tangkinya tersedia 53 liter bensin adalah 477 km.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
10. Andi menulis angka 1 sampai dengan 100. Berapa banyak angka 9 dari angka-angka 1 sampai 100?
Jawab:
dari 1 sampai 10 hanya 1 angka 9
dari 11 sampai 20 hanya 1 angka 9
… sebanyak 8 kali (1, 11, 21, 31, …, 71)
dari 81 sampai 90 ada 2 angka 9
dari 91 sampai 100 ada 10 angka 9 (91 s.d 98 ada 8; 99 ada 2).
Jadi, totalnya ada 8 + 12 = 20. Jadi ada sebanyak 20 angka 9.

11. Diketahui bilangan pertama yang jika dibagi 4 akan bersisa 3, dan bilangan kedua jika dibagi 4 akan bersisa 2. Jika bilangan pertama dan kedua dijumlahkan maka akan bersisa …
Jawab:
Kita ambil contoh bilangan pertama 7 dan bilangan kedua 6 maka kita jumlahkan menjadi 13 kemudian dibagi 4 sehingga bersisa 1.

12. Bilangan (7602400 x 4300151 x 43) jika dibagi 3 maka akan bersisa …
Jawab:
Jika kita mencari hasil kalinya maka akan menghabiskan banyak waktu. Kita gunakan cara singkat, caranya kita jumlahkan digit angkanya sampai ke satuan (khusus pembagi 3 dan 9):
7602400 $\iff (7+6+2+4=19 \iff 10 \iff 1)$ (0 jika dijumlahkan tidak berarti),
4300151 $\iff (4+3+1+5+1=14 \iff 5)$
43 $\iff 7$
diperoleh: 1 x 5 x 7 = 1 x 2 x 1 = 2, (5 dibagi 3 sisa 2; 7 dibagi 3 sisa 1. Angka yang lebih besar dari pembagi harus langsung dicari sisa baginya). Jadi Bilangan (7602400 x 4300151 x 43) jika dibagi 3 maka akan bersisa 2.

13. Di sebuah kelas berjumlah 25 siswa. Siswa yang gemar matematika ada 8 orang, siswa yang gemar bahasa inggris ada 12 orang. Sedangkan siswa yang tidak gemar keduanya ada 9 orang. Berapa orang siswa yang gemar matematika dan bahasa inggris?
Jawab:
Ini tentang 2 himpunan yang beririsan. Ingat diagram venn, yang tidak suka keduanya ada 9 artinya ada 16 (dalam 2 himpunan yang beririsan). Maka banyak anggota dalam irisan = 12 + 8 $-$ 16 = 4. Jadi ada 4 siswa yang suka matematika dan bahasa inggris.

14. Sebuah segitiga sama kaki ABC. Diketahui AB = AC dan sudut A = 20 derajat, maka sudut B = …
Jawab:
Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180 derajat. Karena segitinga sama kaki dan AB = AC maka sudut B = C. Jadi sudut A + B + C = A + B + B = A + 2B = 20 + 2B = 180.
2B = 180 – 20 = 160
B = 80 derajat.

15. Jumlah seluruh sudut dalam bangun datar segi-lima adalah … derajat
Jawab:
Jika bangun datar segi-lima dipotong menjadi 3 bagian (pemotongan melalui titik sudut) maka 3 bagian itu adalah bangun segitiga. Jadi jumlah seluruh sudut dalam segi-lima adalah 3 x 180 = 540 derajat

16. Sebuah agen jual beli sepeda motor mendapat keuntungan 15% dari penjualan sepeda motor A dan 20% dari sepeda motor B. Dari penjualan kedua sepeda motor itu, ia memperoleh keuntungan sebesar Rp1.825.000,-. Jika harga beli kedua sepeda motor itu Rp11.000.000,- maka berapakah harga beli setiap sepeda motor itu?
Jawab:
Misalkan harga beli sepeda motor A adalah $x$ dan motor B adalah $y$, Maka kalimat matematikanya dapat dibuat sebagai berikut:
$x+y=11.000.000$
15% $x+$ 20% $y=1.825.000$
Pada persamaan pertama kita kali dengan 20% maka diperoleh:
20% $x+$ 20% $y=2.200.000$
15% $x+$ 20% $y=1.825.000$
Kemudian kita kurangkan maka diperoleh:
5% $x=375.000$ atau $x=7.500.000$
Kemudian nilai $x$ kita substitusikan ke persamaan $x+y=11.000.000$, maka diperoleh:
$y=11.000.000-7.500.000$
$y=3.500.000$
Jadi, harga beli motor A adalah Rp7.500.000 dan
harga beli motor B adalah Rp3.500.000.

17. Diagonal persegi panjang $ABCD$ adalah $(x+9)$ cm. Jika panjang dan lebar persegi panjang itu berturut-turut adalah $(x+7)$ cm dan $x$ cm, maka nilai $x$ adalah …
Jawab:
Berdasarkan dalil pythagoras maka:
$AC^2=AB^2+BC^2$
$(x+9)^2=(x+7)^2+x^2$
$x^2+18x+81=x^2+14x+49+x^2$
$x^2-4x-32=0$
$(x+4)(x-8)=0$
$x=-4$ (tidak dipakai karena negatif) dan $x=8$. Jadi nilai $x=8$.

18. Diketahui barisan bilangan dengan selisih 2 sebagai berikut:

3, 5, 7, 9, …., 71.

Berapakah hasil penjumlahan seluruh bilangan itu?
Jawab:
Misalkan banyak bilangan-bilangan itu $n$, maka:
Pertama kita cari banyak bilangan-bilangan itu dengan rumus:
$n=[(71-3)/2]+1$ dimana 2 adalah selisih antar bilangan dan $+1$ konstanta wajib.
Maka diperoleh $n=35$. Misalkan hasil jumlah seluruh bilangan itu $x$ maka:
$x=n.(3+71)/2$
dimana 2 adalah pembagi tetap, 3 adalah bilangan pertama, dan 71 adalah bilangan terakhir.
$x=35(74)/2=1295$. Jadi, jumlah seluruh bilangan itu adalah 1295.

19. Diberikan sebuah lingkaran $O$. Diketahui ada dua tali busur (bukan diameter). Kedua tali busur itu adalah $PQ$ dan $RS$. Tali busur itu berpotongan di titik $T$. Jika $\angle POR = 50$ derajat dan $\angle QOS = 45$ derajat, maka $\angle PTR = ….$ derajat.
Jawab:
Kita gunakan rumus sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran, sebagai berikut:
$\angle PTR =(\angle POR + \angle QOS)/2$
$\angle PTR =(50 + 45)/2$
$\angle PTR =47,5$ derajat.

20. Dua lingkaran yang saling lepas masing-masing berjari-jari 13 cm dan 4 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah 12 cm, maka jarak kedua titik pusat lingkaran itu adalah …
Jawab:
Perhatikan gambar berikut:

Ingat bahwa garis singgung lingkaran itu tegak lurus dengan jari-jari lingkaran.
Garis $NT$ adalah garis bantu, dimana $NT // PQ$. Dari gambar itu diperoleh:
$PQ=\sqrt{MN^2-(MP-NQ)^2}$
$12=\sqrt{MN^2-(13-4)^2}$
$144=MN^2-81$
$MN=15$
Jadi, jarak kedua titik pusat lingkaran adalah 15 cm.

Mungkin sekian postingan kali ini semoga bermanfaat.. MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\\(‘,’\\)’]]} });

FUNGSI EKSPONEN ASLI

Pada pokok bahasan ini kita harus mengetahui terlebih dahulu tentang fungsi logaritma asli (ln), jika belum mengetahui tentang fungsi ln, kamu bisa membacanya di link berikut:Fungsi Logaritma Asli (ln).

Kembali kita ke pembahasan fungsi eksponen asli. Perhatikan definisi fungsi eksponen asli berikut:

Definisi:
Invers ln disebut fungsi eksponen asli dan ditulis sebagai exp, yaitu:
$x=$ exp $y$ $\iff$ $y=$ ln $x$

Dari definisi di atas kita peroleh:
(i) exp(ln $x$) $= x$, untuk $x >0$.
(ii) ln(exp $y$) $=y$, untuk semua $y$.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Perhatikan gambar berikut:

Oleh karena exp dan ln adalah fungsi-fungsi invers, grafik $y=$ exp $x$ adalah grafik $y=$ ln $x$ yang dicerminkan pada garis $y=x$. Tetapi mengapa disebut fungsi eksponen?. Penjelasannya sebagai berikut:

Sifat Fungsi Eksponen $\quad$ Kita mulai dengan memperkenalkan bilangan baru, seperti bilangan $\pi$, tetapi ini bilangan yang dilambangkan dengan huruf $e$. Bilangan $e$ ini amat penting di dalam matematika. Bilangan $e$ ini pertama kali digunakan oleh ahli matematika Leonhard Euler.

Definisi:
Bilangan $e$ adalah bilangan riil positif yang bersifat ln $e=1$.

Oleh karena ln $e=1$, maka exp 1 $=e$. Bilangan $e$ adalah bilangan irrasional. Orang telah menghitungnya sampai seribu angka di belakang koma, yaitu: $e \approx 2,718281828459045..$.
Sekarang kita melakukan pengamatan penting yang hanya bergantung pada fakta-fakta yang telah diperlihatkan. Perhatikan bahwa (i) dan (ii) pada awal bagian ini dapat ditulis dalam bentuk:

(i) $e^{ln(x)}=x$, untuk $x>0$.
(ii) ln($e^y$)$=y$, untuk semua $y$.

Kemudian berlaku rumusan berikut:

Andaikan $a$ dan $b$ bilangan rasional, maka $e^ae^b=e^{a+b}$ dan $e^a/e^b=e^{a-b}$

Turunan $e^x$ $\quad$ Karena exp dan ln adalah fungsi-fungsi yang saling berkebalikan, maka fungsi exp $x=e^x$ dapat diturunkan. Untuk menemukan sebuah rumus $D_x(e^x)$ kita dapat menggunakan rumus berikut:

$D_x(e^x)=e^x$

Bukti: definisikan $e^x=y$ maka $x=$ ln $y$ ruas kiri dan kanan kita turunkan terhadap $x$ yang bersimbol $dy/dx$ dengan menggunakan teknik Turunan Implisit. Jika belum mengetahui teknik turunan implisit, kamu bisa membacanya melalui link berikut: Teknik Turunan Implisit.
Sehingga diperoleh:
$1=\frac{1}{y}D_x(y)$
$D_x(y)=D_x(e^x)=y=e^x$ (terbukti)

Apabila $u=f(x)$, maka menurut aturan rantai diperoleh:

$D_x(e^u)=e^u.D_x(u)$

Rumus diatas dapat menghasilkan rumus:

atau

Contoh 1:
Tentukan $D_xe^{\sqrt{x}}$.
Penyelesaian:
Ambil $u=\sqrt{x}$, maka:
$D_xe^{\sqrt{x}}=e^{\sqrt{x}}.D_x \sqrt{x}$

$=$

$=$

Contoh 2: Tentukan
Jawab:
ambil $u=-4x$ sehingga $du=-4dx$, maka diperoleh:


MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\\(‘,’\\)’]]} });

KALKULUS FUNGSI INVERS DAN TURUNANNYA

Pada pertemuan kali ini kita akan membahas materi perkuliahan mengenai fungsi invers dan turunannya. Suatu fungsi $f$ memadankan suatu nilai $x$ dalam daerah asalnya $D$ dengan nilai tunggal $y$ dalam daerah hasilnya $R$.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Perhatikan gambar 1 dan 2 berikut:

Pada gambar 1 dan 2 di atas itu $f$ dapat dibalik. Yaitu untuk suatu nilai $y$ dalam $R$, kita peroleh kembali nilai $x$ yang oleh $f$ itu dipadankan dengan $y$. Fungsi yang baru ini, yang memadankan nilai $y$ dengan $x$, kita lambangkan dengan $f^{-1}$. Perhatikan bahwa daerah asal $f^{-1}$ adalah $R$ dan daerah hasilnya adalah $D$, fungsi ini dinamakan invers $f$. Lambang $f^{-1}$ bukan berarti $1/f$. Ada kalanya kita dapat menemukan sebuah rumus untuk $f^{-1}$. Apabila $y=f(x)=2x$, maka $x=f^{-1}(y)=\frac{1}{2}y$ (Gambar 1). Begitu pula apabila $y=f(x)=x^3-1$, maka $x=f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y+1}$ (Gambar 2). Dalam tiap hal tersebut kita menyatakan $x$ dengan variabel $y$. Hasilnya adalah $x=f^{-1}(y)$.
Tetapi kehidupan jauh lebih rumit dari yang ditunjukkan kedua contoh di atas. Tidak semua fungsi dapat dibalik secara jelas. Perhatikan gambar 3 dan 4 berikut:

Pada gambar 3 di atas, untuk nilai $y$ tertentu terdapat dua nilai $x$ yang memenuhinya. Pada gambar 4 fungsi $y=g(x)=$ sin $x$ lebih buruk lagi. Untuk setiap nilai $y$, akan tak terhingga banyaknya nilai $x$ yang memenuhi. Fungsi semacam ini tidak memiliki invers; paling tidak, fungsi-fungsi tidak memiliki invers kecuali kalau kita membatasi nilai $x$ nya sedemikian rupa, pokok bahasan ini akan dibahas kemudian.

Eksistensi Fungsi Invers Kita sekarang hendak mencari persyaratan bila suatu fungsi $f$ memiliki balikan. Salah satu ciri adalah bahwa fungsi itu adalah satu-satu, yakni $x_1 \ne x_2$ mengakibatkan $f(x_1 \ne f(x_2)$. Ini eqivalen dengan persyaratan geometri bahwa tiap garis datar memotong grafik $y=f(x)$ pada paling banyak satu titik. Akan tetapi dalam suatu keadaan tertentu, ciri tersebut agak sulit dipakai, sebab kita harus mengetahui “jalan” grafik fungsi tersebut dengan lengkap. Suatu ciri atau sifat yang agak mudah dipakai ialah bahwa fungsi tersebut pada daerah definisinya adalah fungsi yang naik atau fungsi yang turun.

Teorema A:
Apabila $f$ monoton murni pada daerah asalnya, maka $f$ memiliki invers.

Teorema A tersebut mudah digunakan, sebab untuk menentukan apakah $f$ monoton, kita cukup menyelidiki tanda dari $f’$.
Contoh 1:
Buktikan bahwa $f(x)=x^5+2x+1$ memiliki invers.
Penyelesaian:
$f'(x)=5x^4+2>0$ untuk semua $x$. Jadi $f$ naik pada seluruh himpunan bilangan riil, ini berarti $f$ memiliki invers.

Dalam hal ini kita tidak mengatakan bahwa kita dapat memberikan rumus untuk $f^{-1}$. Sebab ini akan berarti bahwa kita harus dapat menyatakan $x$ dengan $y$ dalam persamaan $y=x^5+2x+1$, yang tak mungkin dapat kita lakukan di sini.

Ada cara untuk menemukan balikan suatu fungsi, yang tidak memilikinya dalam daerah definisi yang asli. Untuk menemukan balikannya kita membatasi daerah asalnya sehingga fungsi itu di daerah yang baru akan turun atau naik saja. Perhatikan gambar 5 dibawah ini:

Untuk $y=f(x)=x^2$ kita dapat membatasi daerah asalnya pada $x \ge 0$. Untuk $y=g(x)=$ sin $x$ kita dapat membatasi daerah asalnya pada selang $[-\pi /2, \pi /2]$. Maka pada selang-selang baru ini $f$ dan $g$ memiliki invers. Bahkan untuk $f^{-1}$ ada rumusnya yaitu $f^{-1}(y)=\sqrt{y}$.

Apabila $f$ memiliki invers $f^{-1}$ maka $f^{-1}$ juga memiliki invers yaitu $f$. Jadi dapat dikatakan bahwa $f$ dan $f^{-1}$ merupakan pasangan fungsi invers. Dirumuskan:

$f^{-1}(f(x))=x$ dan $f^{-1}(f(y))=y$

Contoh 2:
Buktikan bahwa $f(x)=2x+6$ memiliki invers; tentukan rumus untuk $f^{-1}(y)$ dan cocokkanlah dengan rumus dalam kotak di atas.
Penyelesaian:
Oleh karena $f$ fungsi naik, maka $f^{-1}(y)$ kita cari $x$ dari $y=2x+6$ yang menghasilkan $x=(y-6)/2=f^{-1}(y)$. Sedangkan
$f^{-1}(f(x))=f^{-1}(2x+6)$
$=\frac{(2x+6)-6}{2}=x$. Sedangkan
$f(f^{-1}(y))=f((y-6)/2)$
$=2. \frac{y-6}{2}+6=y$.

Grafik $y=f^{-1}(x)$ Andaikan $f$ memiliki invers. Maka

$x=f^{-1}(y) \iff y=f(x)$

Jadi $y=f(x)$ dan $x=f^{-1}(y)$ menentukan pasangan bilangan $(x, y)$ yang sama, sehingga grafik dua hubungan itu identik. Akan tetapi kita biasanya menggunakan $x$ sebagai variabel bebas dan $y$ sebagai variabel tak bebas. Timbul pertanyaan, bagaimanakah bentuk grafik $y=f^{-1}(x)$ (perhatikan bahwa kita telah menukar peranan $x$ dan $y$). Apabila kita perhatikan, penukaran peranan ini mengakibatkan pencerminan grafik pada garis $y=x$. Ini berarti bahwa grafik $y=f^{-1}(x)$ adalah gambar cermin grafik $y=f(x)$ (Perhatikan gambar 6).

Cara yang sama dapat pula digunakan untuk menentukan suatu rumus $f^{-1}(x)$. Untuk hal ini kita tentukan terlebih dahulu $f^{-1}(y)$ kemudian kita tukar $x$ dan $y$ dalam rumus $x=f^{-1}(y)$. Jadi kita dapat menentukan $g=f^{-1}(x)$ dengan langkah-langkah berikut:
Langkah 1: Nyatakanlah $x$ dengan $y$ dari persamaan $y=f(x)$.
Langkah 2: Nyatakan bentuk dalam $y$ yang telah ditentukan itu sebagai $f^{-1}(y)=x$.
Langkah 3: Gantilah, kemudian $y$ dengan $x$ dan $x$ dengan $y$ dalam bentuk $x=f^{-1}(y)$ sehingga diperoleh $y=f^{-1}(x)$.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Contoh 3:
Tentukan rumus untuk $f^{-1}(x)$ apabila $y=f(x)=\frac{x}{1-x}$.
Penyelesaian:
Kita buktikan terlebih dahulu bahwa $f$ memiliki invers. Akan tetapi, apabila dalam langkah pertama kita memperoleh satu nilai $x$ untuk tiap $y$, maka $f^{-1}$ ada. (Perhatikan bahwa untuk $y=g(x)=x^2$, kita peroleh $x=\pm \sqrt{y}$ yang menyatakan bahwa $g^{-1}$ tidak ada). Kembali ke contoh 3, perhatikan langkah-langkah penyelesaian berikut:
Langkah 1: $y=\frac{x}{1-x}$
$(1-x)y=x$
$y-xy=x$
$x+xy=y$
$x(1+y)=y$
$x=\frac{y}{1+y}$
Langkah 2: $f^{-1}(y)=\frac{y}{1+y}$
Langkah 3: $f^{-1}(x)=\frac{x}{1+x}$

Turunan Fungsi Invers Pasal ini kita akhiri dengan menyelidiki hubungan antara turunan fungsi dan turunan inversnya. Perhatikan terlebih dahulu apa yang akan terjadi apabila sebuah garis $l_1$ dicerminkan terhadap garis $y=x$. Pada gambar 7 dibawah, pada gambar sebelah kiri tampak gambar cermin $l_2$dari garis $l_1$ apabila dicerminkan. Sedangkan terhadap garis $y=x$ kemiringan $m_1$ dan $m_2$ masing-masing dari $l_1$ dan $l_2$ dihubungkan dengan $m_2= 1/m_1$ apabila $m_1 \ne 0$. Apabila $l_1$ adalah garis singgung grafik $f$ di titik $(c, d)$ maka $l_2$ adalah garis singgung grafik $f^{-1}$ di titik $(d, c)$, perhatikan gambar 7 berikut:

Dengan demikian dapat ditarik kesimpulan bahwa:
$(f^{-1})'(d)=m_2=\frac{1}{m_1}=\frac{1}{f'(c)}$.
Uraian di atas sesungguhnya bukanlah bukti yang secara matematika dapat dipertanggungjawabkan sebab didasarkan pada sebuah gambar. Walaupun demikian dapatlah masuk akal teorema berikut:

Teorema B
(Teorema fungsi invers). Andaikan $f$ dapat diturunkan dan monoton murni pada selang $I$. Apabila $f'(x) \ne 0$ pada suatu $x$ dalam $I$, maka $f^{-1}$ dapat diturunkan dititik $y=f(x)$ pada daerah hasil $f$ dan berlakulah:
$(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)}$

Contoh 4
Andaikan $y=f(x)=x^5+2x+1$ (lihat contoh 1). Tentukan $(f^{-1})'(4)$.
Penyelesaian:
Walaupun kita tidak dapat menentukan rumus untuk $f^{-1}$, kita gunakan teorema B, bahwa $y=4$ itu berasal dari $x=1$ (jika kita substitusikan ke $y$). Oleh karena $f'(x)=5x^4+2$ maka kita peroleh:
$(f^{-1})'(4)=1/f'(1)==1/7$.

Demikian materi kali ini tentang Kalkulus Fungsi Invers dan Turunannya, sampai jumpa dan semoga bermanfaat. MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\\(‘,’\\)’]]} });

ALJABAR DAN ARITMETIKA SOSIAL

Pada pertemuan kali ini kita akan membahas aljabar dan aritmetika sosial. Perhatikan contoh ilustrasi berikut:
Ratih adalah anak yang rajin. Sepulang sekolah, ia senantiasa membantu ibunya membuat kue bolu untuk dijual ke warung-warung di sekitar rumahnya. Untuk membuat sebuah kue bolu diperlukan biaya Rp.20.000,-. Kue bolu tersebut akan dijual Rp.1.000,- setiap potongnya. Jika ibu ingin memperoleh untung Rp.10.000,- dari setiap kue bolu yang dibuatnya, harus dibagi menjadi berapa potongkah setiap kue bolu tersebut?. Ratih ingin membantu ibunya memecahkan masalah ini.
Oleh karena ia belum mengetahui banyak potongan kue bolu itu, ia memisalkan ada $x$ potongan. Untuk menentukan nilai $x$ ia melakukan perhitungan seperti berikut:
$20.000+10.000=1.000.x$
$30.000=1.000x$
$x=30$.
Setelah melakukan perhitungan tersebut, ia menyarankan ibunya membagi setiap kue bolu yang dibuatnya menjadi 30 potong agar dari setiap kue bolu diperoleh untung Rp.10.000,-.
Uraian tersebut merupakan contoh penggunaan aljabar dalam memecahkan masalah sehari-hari.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

A. Bentuk Aljabar

Bangsa Yunani kuno telah menggunakan simbol-simbol untuk mencatat data dalam bentuk bilangan. Seiring dengan perkembangan zaman, para ahli matematika menggunakan simbol untuk menyatakan bilangan atau mencari penyelesaian terhadap masalah secara matematis. Cara ini dinamakan aljabar.
Aljabar merupakan kajian matematika untuk menyelesaikan masalah secara matematis menggunakan huruf atau simbol. Sekarang aljabar tidak hanya digunakan dalam matematika, tetapi juga dalam ekonomi, keuangan, dan teknik.

1. Pengertian Bentuk Aljabar

Perhatikan bentuk-bentuk berikut:

$-\frac{1}{3} p$ $\quad \quad \quad 2q+6$
$3p^2q$ $\quad \quad \quad pq^3-2r$
$4r^2-3r+1$ $\quad \quad p^5+2pq^2r-5$

Pada bentuk-bentuk tersebut, huruf $p$, $q$, dan $r$ mewakili sebarang bilangan yang belum diketahui. Huruf-huruf tersebut dinamakan variabel atau peubah. Bentuk-bentuk yang mengandung satu atau lebih variabel dinamakan bentuk aljabar. Dalam mempelajari bentuk aljabar, ada beberapa hal yang harus kamu ketahui yaitu sebagai berikut:

a. Suku Bentuk Aljabar

Suku bentuk aljabar adalah perkalian dari bilangan-bilangan dan atau variabel-variabel. Perkalian tersebut biasa ditulis secara singkat tanpa melibatkan tanda “x”. Misalnya 3x$p$ cukup ditulis $3p$, kemudian $p$ x $q$ cukup ditulis $pq$, dan $p$ x $q$ x $r$ cukup ditulis $pqr$. Penyingkatan penulisan seperti ini hanya berlaku untuk perkalian yang melibatkan paling sedikit satu variabel.
Amatilah bentuk-bentuk aljabar pada awal pembahasan bagian ini.

-Bentuk aljabar $-\frac{1}{3}p$ hanya terdiri atas satu suku sehingga disebut bentuk aljabar suku tunggal. Sama halnya dengan $3p^2q$

-Bentuk aljabar $2q+6$ terdiri atas dua suku, yaitu $2q$ dan $6$ sehingga dinamakan bentuk aljabar suku dua (binomial). Sama halnya dengan $pq^3-2r$. Dapatkah kamu menyebutkan kedua suku dari bentuk aljabar ini?

-Bentuk aljabar $4r^2-3r+1$ terdiri atas 3 suku, yaitu $4r^2$, $-3r$, dan 1 sehingga dinamakan bentuk aljabar suku tiga (trinomial). Sama halnya dengan $p^5+2pq^2r-5$. Dapatkah kamu menyebutkan ketiga suku dari bentuk aljabar ini?

Uraian tersebut menggambarkan bahwa suku-suku pada suatu bentuk aljabar ada yang memuat variabel dan ada yang tidak. Sekarang perhatikan bentuk aljabar $2r^3-2r+1$. Suku yang memuat $r$ adalah $2r^3$ dan $-2r$.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

b. Suku-Suku Sejenis

Suku-suku bentuk aljabar dikatakan sejenis apabila memuat variabel atau peubah dengan pangkat yang sama. Misalnya, suku-suku sejenis dari bentuk aljabar $11x^2+3xy-10xy+y^2-x^2-5xy^2$ adalah $11x^2$ dengan $-x^2$, dan $3xy$ dengan $-10xy$, sedangkan $y^2$ dan $-5xy^2$ bukan merupakan suku-suku sejenis karena tidak memuat variabel yang sama.

c. Faktor dan Koefisien

Perhatikan uraian berikut:
1. Bentuk aljabar $3x^2-18x$ terdiri dari 2 suku, yaitu suku yang memuat $x^2$ dan suku yang memuat $x$. Suku yang memuat $x^2$ adalah $3x^2$, selanjutnya 3 disebut koefisien dari suku ini. Demikian juga $-18$ merupakan koefisien dari suku $-18x$.
2. Bentuk $3x^2-18x$ dapat ditulis sebagai suatu perkalian, yaitu $3x(x-6)$. Terdapat beberapa faktor pada $3x(x-6)$, misalnya 3, $x$, dan $(x-6)$. Dapatkah kalian menemukan faktor lainnya dari $3x^2-18x$?.
3. Jika $3x^2$ dipandang sebagai suatu bentuk aljabar bersuku tunggal, maka 3 adalah koefisien dari satu-satunya suku yang ada. Tetapi 3 adalah juga faktor dari $3x^2$. Dapatkah kalian menentukan faktor-faktor lain dari $3x^2$?.
Dari uraian tersebut, dapatkah kamu menjelaskan pengertian faktor dan koefisien?

d. Konstanta

Perhatikan bentuk aljabar $x^5+3x^3-8x^2+4x+9$. Nilai dari suku-suku yang mengandung variabel yaitu $x^5$, $3x^3$, $-8x^2$, dan $4x$ karena akan berubah jika nilai $x$ berubah. Suku yang tidak memuat variabel yaitu 9 yang dinamakan konstanta.

2. Operasi Hitung Pada Bentuk Aljabar

a. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk ALjabar

Perhatikan contoh berikut:
Pak Mardi memiliki 4 ayam dan 3 kelinci, sedangkan Pak Robi memiliki 2 ayam dan 5 kelinci. Jumlah seluruh binatang pliharaan mereka sesuai dengan jenisnya adalah:
4 ayam dan 3 kelinci
2 ayam dan 5 kelinci
————————— +
6 ayam dan 8 kelinci
Dapatkah kamu menjumlahkan binatang yang berbeda?, tentu saja tidak ya. Demikian juga pada bentuk aljabar, suku-suku yang dapat dijumlahkan dan dikurangkan hanyalah suku-suku yang sejenis. Suku-suku yang tidak sejenis tidak dapat dijumlahkan dan dikurangkan.
Contoh:
Sederhanakan bentuk bentuk aljabar berikut:
a. $5x^2+x+2x^2-x$
b. $(-3x^2-2x+5)-(x^2+3x-4)$
c. $x-\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}x$
Jawab:
a. $5x^2+x+2x^2-x$
$=(5x^2+2x^2)+(x-x)$
$=7x^2+0=7x^2$.
b. $(-3x^2-2x+5)-(x^2+3x-4)$
$=-3x^2-2x+5-x^2-3x+4$
$=(-3x^2-x^2)+(-2x-3x)+(5+4)$
$=-4x^2-5x+9$.
c. $x-\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}x$
$=\frac{12}{12}x-\frac{8}{12}x+\frac{3}{12}x$
$=\frac{12-8+3}{12}x=\frac{7}{12}x$.

b. Perkalian Bentuk Aljabar

Setelah mempelajari penjumlahan dan pengurangan suku-suku bentuk aljabar, pada bagian ini kamu akan mempelajari perkalian bentuk aljabar. Pengetahuanmu tentang sifat-sifat operasi hitung pada bilangan sangat berguna untuk memahami pada bagian ini. Ingat kembali sifat-sifat distributif berikut:

$a(b+c)=(b+c)a=ab+ac$
$a(b-c)=(b-c)a=ab-ac$

Sifat distributif ini dapat kamu gunakan untuk mengalikan bentuk-bentuk aljabar.
Contoh:
Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut:
a. $2(x+5)$
b. $-3(-x-8)$
c. $(2x+5)(x-4)$
Jawab:
Untuk menentukan hasil perkalian-perkalian tersebut, dapat digunakan sifat distributif.
a. $2(x+5)=2(x)+2(5)=2x+10$
b. $-3(-x-8)=(-3)(-x)+(-3)(-8)$
$=3x+24$
c. $(2x+5)(x-4)$
$=(2x)(x)+(2x)(-4)+(5)(x)+(5)(-4)$
$=2x^2-8x+5x-20=2x^2-3x-20$

c. Pembagian Bentuk Aljabar

Pada prinsipnya, pembagian bentuk aljabar sama dengan pembagian bilangan. Agar memahami lebih lanjut, perhatikan contoh berikut:
Tentukan hasil dari setiap pembagian bentuk aljabar berikut:
a. $36p:9$
b. $(8x-4y):4$
c. $(16x^2y-4y):4y$ dimana $y \ne 0$
Jawab:
a. $36p:9=\frac{36p}{9}$
$=\frac{36}{9}p=4p$
b. $(8x-4y):4=\frac{4(2x-y)}{4}$
$=\frac {4}{4} (2x-y)=2x-y$ c. $(16x^2y-4y):4y$
$=\frac{4y(4x^2-1)}{4y}$
$=4x^2-1$

d. Perpangkatan Bentuk Aljabar

Ingat kembali bahwa:

$a^n=\underbrace {a.a.a….a}_{\mbox{n kali}}$ $\quad$ dan

$(a^bc^d)^f=a^{bf}c^{df}$

Pengertian pangkat suatu bilangan dan sifat-sifat operasi pada bilangan berpangkat tersebut juga dapat diterapkan dalam perpangkatan bentuk aljabar dan operasinya. Contoh tentukan hasil dari: $(x^2y)^3$
jawab: $(x^2y)^3=x^6y^3$.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

B. Aritmetika Sosial

Pada bagian ini kamu akan mempelajari penerapan bentuk aljabar yang sering ditemui dalam kehidupan sehari-hari.

1. Nilai Keseluruhan dan Nilai per Unit

Untuk memahami pengertian dari nilai keseluruhan dan nilai per unit, perhatikan uraian berikut:

Arman membeli 1 lusin pensil dengan harga Rp.8.400,-

Dari pernyataan tersebut dapat diketahui bahwa banyak pensil adalah 1 lusin (12 pensil) yang disebut banyak unit. Dari pernyataan tersebut juga dapat diketahui hal-hal berikut:

– Harga 1 lusin pensil = Rp.8.400,- yang disebut harga keseluruhan atau nilai keseluruhan

– Harga 1 pensil = 8400 : 12 = 700 atau Rp.700,- yang disebut harga per unit atau nilai per unit.

Berdasarkan uraian tersebut, dapat dibuat kesimpulan berikut:

Nilai per unit = (nilai keseluruhan) : (banyak unit)

Contoh: Bu Ida membeli 10 buah panci dengan harga Rp.300.000,-
a. Tentukan harga 1 panci
b. Berapa harga 15 panci
jawab:
a. Harga 1 panci = nilai per unit
$=\frac{300.000}{10}=30.000$ atau Rp.30.000,-
b. Harga 15 panci = 15 x harga per unit
= 15 x Rp.30.000,- = Rp.450.000,-

2. Harga Pembelian dan Penjualan Serta Untung dan Rugi

Berdagang merupakan kegiatan untuk mendapatkan penghasilan dengan cara membeli suatu barang, kemudian menjualnya kepada orang lain . Oleh karena itu, berdagang sering disebut sebagai kegiatan jual beli.
Sekarang perhatikan contoh kegiatan jual beli berikut:
a. Ayah membeli motor bekas dengan harga Rp.7.500.000,-. Kemudian motor bekas tersebut dijual dengan harga Rp.7.000.000,-
b. Pak Budi membeli 100 kaleng susu kental dengan harga Rp.5.500,- per kaleng. Kemudian susu kaleng itu dijualnya dengan harga Rp.6.000,- per kaleng.
Pada contoh (a) diatas, Rp.7.500.000,- disebut sebagai harga pembelian motor bekas. Adapun Rp.7.000.000,- disebut harga penjualan motor bekas. Sekarang pada contoh (b), coba kamu cari berapakah harga pembelian dan penjualan setiap kg kaleng susu kental?
Perhatikan kembali contoh (a) tersebut. Manakah yang lebih tinggi, harga pembelian atau harga penjualan?. Oleh karena motor bekas itu dijual dengan harga yang lebih rendah dari harga pembeliannya, maka ayah mengalami kerugian. Besar kerugian ayah adalah Rp.7.500.000,- – Rp.7.000.000,- = Rp.500.000,-. Bagaimana dengan contoh (b)? ternyata harga penjualannya lebih tinggi dari pada harga pembelian. Dengan demikian Pak Budi mendapatkan keuntungan. Coba kamu hitung berapa keuntungan yang diperoleh Pak Budi?. Uraian tersebut menggambarkan bahwa Untung dan rugi merupakan selisih dari harga pembelian dan harga penjualan. Maka dapat ditentukan rumus sebagai berikut:

Untung = harga penjualan $-$ harga pembelian
Rugi = harga pembelian $-$ harga penjualan

Contoh: Seorang pedagang buah-buahan membeli 2 kuintal jeruk seharga Rp.2.500,- per kg. Sebagian jeruk tersebut busuk sehingga hanya terjual sebanyak 130 kg dengan harga jual Rp.3.000,- per kg
a. Apakah pedagang itu mengalami keuntungan atau kerugian?
b. Berapakah keuntungan dan kerugiannya?
Jawab:
a. Harga pembelian = 200 x Rp.2.500 = Rp.500.000,- (ingat 1 kuintal = 100 kg). Harga penjualan = 130 x Rp.3.000,- = Rp.390.000,-, oleh karena harga penjualan lebih rendah daripada harga pembelian, maka pedagang itu mengalami kerugian.
b. Rugi = harga pembelian – harga penjualan
= Rp.500.000,- – Rp.390.000,-
= Rp.110.000,-
Jadi pedagang itu mengalami kerugian sebesar Rp.110.000,-

3. Persentase Untung dan Rugi terhadap Harga Pembelian

Untuk menentukan persentase keuntungan atau kerugian terhadap harga pembelian, kamu dapat menggunakan rumus berikut:

Persentase Untung = $\frac{untung}{harga \quad pembelian}$.100%

Persentase rugi = $\frac{rugi}{harga \quad pembelian}$.100%

Contoh: Rudi membeli Laptop dengan harga Rp.3.500.000,-. Ia ingin menjualnya kembali dengan memperoleh untung 20%. Dengan harga berapa Rudi harus menjualnya?
Jawab: Harga pembelian = Rp.3.500.000,-
Untung = 20% x 3.500.000 = 700.000
Harga Penjualan = 3.500.000 + 700.000 = 4.200.000
Jadi, Rudi harus menjual Laptopnya dengan harga Rp.4.200.000,-

5. Diskon (Rabat), Bruto, Tara, dan Netto

a. Diskon (Rabat)

Diskon (Rabat) adalah potongan harga. Harga setelah mendapat diskon disebut harga bersih. Sedangkan harga sebelum mendapat diskon disebut harga kotor. Biasanya diskon berbentuk persen dari harga kotor.
Contoh:
Menjelang hari raya, gilang membeli sebuah kemeja dengan harga Rp.65.000,- dan mendapat diskon 10%. Berapakah uang yang harus dibayar oleh gilang?
Jawab:
Harga Kotor = Rp.65.000,-
Diskon 10% = $\frac{10}{100}$ x Rp65.000,- = Rp6.500,-
Harga bersih = Rp65.000,- $-$ Rp6.500,- = Rp58.500,-

b. Bruto, Netto, dan Tara

Jika kamu membeli barang yang dikemas dalam karung atau kotak pada kemasan barang tersebut biasanya tertulis bruto, netto, dan tara.

Bruto adalah berat kotor suatu barang, artinya berat barang bersama kemasannya.
Netto adalah berat bersih suatu barang, artinya berat isi atau berat barang tanpa kemasannya.
Tara adalah berat kemasan.
Bruto = Netto + Tara

6. Pajak dan Bunga Tunggal

Pajak dan bunga tunggal adalah bunga yang dikenakan pada modalnya saja, sedangkan bunganya tidak berbunga lagi.

Contoh: Rudi menyimpan uang sebesar Rp500.000,- dan mendapat bunga tunggal sebesar 18% per tahun. Berapa besar uang rudi setelah 1 tahun?.
Jawab:
Bunga 1 tahun = $\frac{18}{100}$ x Rp500.000,- = Rp90.000,-. Jumlah uang Rudi setelah disimpan selama 1 tahun adalah Rp500.000,- + Rp90.000,- = Rp590.000,-
Demikianlah materi kali ini tentang Aljabar dan Aritmetika Sosial dasar. Materi ini adalah materi kelas VII. Sampai jumpa dan semoga bermanfaat. MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\\(‘,’\\)’]]} });

ALJABAR OPERASI BILANGAN

Pada pertemuan kali ini akan kita bahas mengenai dasar-dasar aljabar pada operasi bilangan. Sebelumnya, apa itu aljabar?. Aljabar merupakan konsep penyederhanaan suatu kalimat matematika untuk memperoleh kesimpulan.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh 1: Diberikan suatu kalimat matematika, $3+4=7$
perhatikan bahwa ruas sebelah kiri adalah $3+4$ dan ruas sebelah kanan adalah 7. Kemudian coba kedua ruas kita kurangkan dengan 4, apa yang terjadi?, maka kalimat itu menjadi $3+4-4=7-4$, karena $4-4=0$ maka kalimat itu menjadi $3=7-4$. Tanpa kita sadari bahwa $+4$ pada kalimat itu berpindah menjadi $-4$. Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa:

operasi $+$ berpindah menjadi $-$ (atau sebaliknya), juga
operasi bagi berpindah menjadi kali (atau sebaliknya)

Pada pernyataan ke dua yakni operasi bagi berpindah menjadi operasi kali itu harus kita pahami, contoh 2: $20:5=4$
karena $20:5$ itu tidak sama dengan $5:20$ (semua sih juga tau he he he), maka bilangan yang bisa dipindah adalah bilangan 5 pada contoh itu. Kalau kita pindah bilangan 5 maka kalimat $20:5=4$ menjadi $20=(4).(5)$. Nah sekarang bagaimana jika kalimatnya kompleks,

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
contoh 3: kalimat $7.(-3+9):2=21$,
pada kalimat contoh 3 ini karena perkalian bisa dibalik maka kalimat di ruas kiri $7.(-3+9):2$ sama halnya dengan kalimat $(-3+9).7:2$ tetapi tidak sama dengan $2:7.(-3+9)$ (saya hanya mengingatkan lagi bahwa pembagian tidak bisa dibalik). Sekarang kembali ke kalimat $7.(-3+9):2=21$, bagaimana bentuk kalimat jika angka $-3$, $+9$, dan $+2$ dipindahkan yang menjadi $7=…$?. Nah karena $-3$ dan $+9$ berada dalam satu kesatuan yang ditandai dengan tanda kurung, maka mereka tetap dalam posisi seperti itu, untuk mudahnya kita pindahkan dulu $:2$ sehingga kalimat itu menjadi $7.(-3+9)=(21).(2)$ setelah itu baru $.(-3+9)$ kita pindahkan maka menjadi $7=(21).(2):(-3+9)$, nah sekarang dari kalimat itu juga (contoh 3) bagaimana jika kalimat yang diminta seperti ini: $-3=…?$, yap caranya pindahkan dulu $:2$ kemudian pindahkan $.7$ dan terakhir pindahkan $+9$ maka kita peroleh kalimatnya: $-3=((21).(2):7)-9$, mengapa $(21).(2):7$ diberi tanda kurung?, ya karena operasi kali dan bagi lebih kuat daripada operasi kurang. Sangat mudah bukan,

Nah setelah kita mengetahui aljabar dasar persamaan (ruas kiri dan kanan disatukan oleh tanda =) untuk operasi $+$, $-$, kali, dan bagi maka selanjutnya kita membahas aljabar operasi pangkat dan akar. Tentu sebelumnya kita harus tau apa itu pangkat dan akar. Pangkat adalah operasi yang menyederhanakan penulisan berulang dari perkalian.

Contoh 4: Pernyataan $(3)(3)(3)(3)$ jika ditulis dalam persamaan itu menjadi: $(3)(3)(3)(3)=3^4=81$. nah dalam contoh 4 ini bilangan 3 adalah posisi bilangan basis, bilangan 4 adalah posisi bilangan pangkat, dan bilangan 81 adalah posisi hasil. Coba kedua ruas kita kurang 4, pasti ruas sebelah kiri tidak berubah menjadi $3=..$, sama juga kedua ruas kita bagi 4 pasti ruas sebelah kiri tidak berubah menjadi $3=..$ karena perpangkatan lebih kuat dari tambah, kurang, kali, dan bagi. Oleh karena itu maka kedua ruas harus kita akar pangkat 4, mengapa bukan akar 4?, karena penulisan akar harus disertai dengan pangkatnya, ecuali untuk akar pangkat 2 sudah disetujui oleh semua ilmuan untuk hanya menulisnya menjadi akar saja. Sehingga kalimat $3^4=81$ jika kedua ruas sama-sama dioperasikan dengan akar pangkat 4 maka menjadi: $\sqrt[4]{3^4}=\sqrt[4]{81}$ sehingga menjadi $3=\sqrt[4]{81}$,
perhatikan bahwa angka 3 tidak bisa dipindah menjadi seperti $4=\sqrt[3]{81}$ mengapa seperti ini tidak bisa?, karena perpangkatan penulisannya tidak bisa dibalik artinya $3^4 \ne 4^3$, bisa saja dibalik asal bilangannya sama ha ha ha..

Jadi dapat dirumuskan bahwa:

pangkat dipindah menjadi akar pangkat (atau sebaliknya)

Selanjutnya kita akan membahas contoh yang menggabungkan seluruh operasi.
Contoh 5: Diberikan kalimat $-20:4+3^3.\sqrt{8+1}=22$, dari kalimat itu isilah titik-titik berikut: $8=…$
penyelesaian:
mudah untuk kita selesaikan, perhatikan bahwa kalimat itu sama jika kita tulis seperti ini $3^3.\sqrt{8+1}-20:4=22$ mengapa hasilnya bisa sama? karena kalimat itu terdiri dari dua suku kesatuan yakni $-20:4$ dan $+3^2.\sqrt{8+1}$, perhatikan bahwa kali dan bagi menyatukan suatu unsur, tambah dan kurang memisahkan atau memberi identitas (positif atau negatif), sedangkan akar dan pangkat bisa menyatukan dan bisa berdiri sendiri. Jadi untuk menjawab persoalan contoh 5 ini mula-mula kita pindah suku $-20:4$ menjadi $+20:4$, lalu pindahkan $.3^2$, kemudian pindahkan akar, dan terakhir pindahkan $+1$, sehingga diperoleh: $8=((22+20:4):3^2)^2-1$, perhatikan bahwa setiap pemindahan itu menjadi satu kesatuan yang kita beri langsung dengan kurungan.
Mungkin sampai disini saja penjelasan dasar aljabar operasi bilangan, sampai jumpa dan semoga bermanfaat.. MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\\(‘,’\\)’]]} });

KALKULUS FUNGSI LOGARITMA ASLI

Keampuhan kalkulus, baik berupa turunan maupun integral harus dikuasai materi dasarnya dalam memahami pertemuan ini. Coba perhatikan pernyataan turunan fungsi berikut:
$D_x (x^3/3) = x^2$
$D_x (x^2/2) = x^1$
$D_x (x) = 1=x^0$
$D_x (???) = x^{-1}$
$D_x (-x^{-1}) = x^{-2}$
$D_x (\frac{-x^{-2}}{2}) = x^{-3}$
Apakah tidak terdapat fungsi yang memiliki turunan $1/x$?. Sebaliknya, apakah tidak terdapat anti-turunan $(1/x)dx$?. Kita akan mendekati kesimpulan ini, jika kita membatasi perhatian terhadap berbagai fungsi yang telah dipelajari. Akan tetapi, kita sedang berusaha untuk menciptakan fungsi baru sesuai aturan dasar kalkulus utama yakni turunan dan integral. Fungsi pertama yang kita bahas adalah fungsi logaritma asli. Berikut ini definisi fungsi logaritma asli.

Definisi
Fungsi logaritma asli ditulis sebagai ln, didefinisikan dengan:
$ln (x)=\int^x_1 1/t dt;$ $\quad x>0$
Daerah definisinya adalah himpunan bilangan riil positif.

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Perhatikan gambar berikut:

Pada gambar di atas menunjukkan arti geometri dari $ln(x)$. Diagram ini mengukur luas dibawah kurva $y=1/t$ antara 1 dan $x$ jika $x>-1$ dan nilai negatif dari luas ini jika 0 < $x$ < 1.
Tidak seorangpun akan ragu bahwa $ln(x)$ terdefinisi dengan baik untuk $x>0$. Dan apakah turunan dari fungsi baru ini? Benar-benar apa yang kita inginkan. Kemudian kita akan membahas turunan logaritma asli.
Turunan Fungsi Logaritma Asli Kita mengetahui bahwa turunan suatu integral terhadap batas atasnya adalah pengevaluasian integral tersebut di batas atas. Jadi,

$D_x$ ln $x=1/x \quad$, dimana $x>0$.

Dengan menggunakan aturan rantai, andaikan $u=f(x)>0$ maka apabila $f$ dapat dideferensialkan, kita peroleh:
$D_x$ ln $u=\frac{1}{u} D_x u$.

Contoh 1: Tentukan $D_x$ ln $\sqrt{x}$
Penyelesaian:
Andaikan $u=\sqrt{x}=x^{1/2}$, maka
$D_x$ ln $\sqrt{x}=\frac{1}{x^{1/2}}.\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2x}$.

Contoh 2: Tentukan $D_x$ ln $(x^2-x-2)$.
Penyelesaian:
Karena fungsi didalam ln harus > 0, maka $x^2-x-2>0$, diperoleh $x2$., pada daerah ini berlakulah:
$D_x$ ln $(x^2-x-2)=\frac{1}{x^2-x-2} D_x(x^2-x-2)$
$=\frac{2x-1}{x^2-x-2}$.

Contoh 3: Perlihatkan bahwa $D_x$ ln $|x|=1/x$, $\quad x \ne 0$.
Penyelesaian:
Ada dua kasus, pertama apabila $x>0$, $|x|=x$ maka $D_x$ ln $|x|=D_x$ ln $x=1/x$.
Kedua apabila $x$ < 0, maka $|x|=-x$, sehingga $D_x$ ln $|x|=D_x$ ln $(-x)=\frac{1}{-x}.(-1)=1/x$. Dari hasil ini kita peroleh bahwa:
$\int \frac{1}{x} dx =$ ln $|x|+C, \quad x \ne 0$.
Kalau $x$ diganti dengan variabel $u$, kita peroleh rumus:

$\int \frac{1}{u} du =$ ln $|u|+C, \quad u \ne 0$.

Contoh 4: Hitunglah $\int \frac{5}{2x+7} dx$.
Penyelesaian:
Andaikan $u=2x+7$ jadi $du=2dx$ atau $dx=\frac{1}{2} du$, maka bentuk integral menjadi:
$\int \frac{5}{2x+7} dx=\frac{5}{2}. \int \frac{1}{u} du$. sehingga
$= \frac{5}{2}$ ln $|2x+7|+C$.

Contoh 5: Hitunglah $\int \frac{x}{10-x^2} dx$.
Penyelesaian:
Andaikan $u=10-x^2$, maka $du=-2x dx$ atau $x dx = -\frac{1}{2} du$. maka bentuk integral menjadi:
$\int \frac{x}{10-x^2} dx=\int \frac{x dx}{10-x^2}=-\frac{1}{2}.\int \frac{1}{u} du$, sehingga diperoleh:
$=-\frac{1}{2}.$ ln $|10-x^2|+C$.

Sekian postingan kalkulus fungsi logaritma asli, sampai jumpa dan semoga bermanfaat.. MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\\(‘,’\\)’]]} });

Rancang situs seperti ini dengan WordPress.com
Mulai