TEKNIK MENGHITUNG INTEGRAL

.abc{ font-family: ‘Times New Roman’, sans; line-height: 1.5em; text-align:justify; font-size: medium; } .rumus{ background-color: yellow; border: solid; color: black; font-size: medium; text-align:justify; padding: 5 px; }

Pada pertemuan ini, akan dibahas mengenai teknik pengintegralan. Akan disajikan 4 teknik pengintegralan yaitu teknik substitusi aljabar, teknik substitusi trigonometri, teknik parsial, dan teknik dalam integral fungsi rasional. Sebelum membahas lebih jauh keempat teknik itu, maka pembaca diharuskan mengetahui rumus dasar integral sebagai berikut:

Rumus Dasar Integral

a. Rumus dasar integral fungsi konstanta dan fungsi berpangkat.
$$*~\int~k~du=k.u+C$$ $$*~\int~\frac{du}{u}=ln|u|+C$$
Untuk $~r \ne -1~$ maka: $$*~\int~u^r~du=\frac{u^{r+1}}{r+1}+C$$
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
b. Rumus dasar integral fungsi eksponen $$*~\int~e^u~du=e^u+C$$
Untuk $~a \ne 1~$ dan $~a>0~$ maka:
$$*~\int~a^u~du=\frac{a^u}{ln~a}+C$$
c. Rumus dasar integral fungsi trigonometri
$$*~\int~sin~u~du=-cos~u+C$$ $$*~\int~cos~u~du=sin~u+C$$ $$*~\int~sec^2u~du=tan~u+C$$ $$*~\int~csc^2u~du=-cot~u+C$$ $$*~\int~sec~u.tan~u~du=sec~u+C$$ $$*~\int~csc~u.cot~u~du=-csc~u+C$$ $$*~\int~tan~u~du=-ln|cos~u|+C$$ $$*~\int~cot~u~du=ln|sin~u|+C$$ $$*~\int~sec~u~du=ln|sec~u+tan~u|+C$$ $$*~\int~csc~u~du=-ln|csc~u+cot~u|+C$$
d. Rumus dasar integral anti trigono.
$$*~\int~\frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}}=sin^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C$$ $$*~\int~\frac{du}{a^2+u^2}=\frac{1}{a}~tan^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C$$ $$*~\int~\frac{du}{u.\sqrt{u^2-a^2}}=\frac{1}{a}~sec^{-1}\left(\frac{|u|}{a}\right)+C$$

Berikut ini disajikan 4 teknik integral:

1. Teknik Integral Substitusi Aljabar

Rumus teknik integral substitusi:

(Teknik Substitusi). Untuk menentukan $~\int~f(x)~dx,~$ kita dapat mensubstitusikan $~u=g(x)~$ dengan $~g~$ adalah fungsi yang dapat diintegralkan. Apabila substitusi itu mengubah $~f(x)~dx~$ menjadi $~h(u)~du~$ dan apabila $~H~$ adalah antiturunan $~h~$, maka:
$$\int~f(x)~dx=\int~h(u)~du$$ $$=H(u)+C=H(g(x))+C$$

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Contoh 1:
Tentukan $$\int~\frac{x~dx}{cos^2(x^2)}$$
Penyelesaian:
Kita akan menggunakan rumus dasar bentuk $~\int~sec^2u~du$. Ambil $~u=x^2~$ maka $~du=2x~dx~$ atau $~x~dx=du/2$. Sehingga:
$$\int~\frac{x~dx}{cos^2(x^2)}$$ $$=\frac{1}{2}.\int sec^2u~du$$ $$=\frac{1}{2}.tan~u+C$$ $$=\frac{1}{2}.tan~x^2+C$$
Contoh 2:
Tentukan $$\int \frac{3}{\sqrt{5-9x^2}}~dx$$
Penyelesaian:
Ingatlah rumus dasar $$\int \frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}}$$ Ambil $~u=3x~$ maka $~du=3~dx$. Sehingga kita peroleh:
$$\int \frac{3}{\sqrt{5-9x^2}}~dx$$ $$=\int \frac{du}{\sqrt{5-u^2}}$$ $$=sin^{-1}\left(\frac{u}{\sqrt{5}}\right)+C$$ $$=sin^{-1}\left(\frac{3x}{\sqrt{5}}\right)+C$$
Contoh 3:
Hitunglah $$\int~\frac{6.e^{1/x}}{x^2}~dx$$
Penyelesaian:
ingat rumus dasar $~\int e^u~du$. Ambil $~u=1/x~$ maka $~du=dx/x^2$. Sehingga:
$$\int~\frac{6.e^{1/x}}{x^2}~dx$$ $$=-6.\int e^u~du$$ $$=-6.e^u+C$$ $$=-6.e^{1/x}+C$$
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); Tidak ada hukum yang mengharuskan anda menggunakan substitusi $u$. Berikut ini contoh tanpa menggunakan variabel $u$.
Contoh 4:
Tentukan $$\int~sin^2x.cos~x~dx$$
Penyelesaian:
$$\int~sin^2x.cos~x~dx$$ $$=\int~sin^2x~d(sin~x)$$ ingat! turunan sin itu cos.
$$=\frac{1}{3}.sin^3x+C$$
Kita telah selesai membahas teknik integral dengan substitusi menggunakan variabel $u$ dan juga substitusi langsung. Kemudian kita akan membahas teknik substitusi trigonometri.

2. Teknik Substitusi Trigonometri

Tidak jauh beda dengan teknik substitusi bentuk al jabar, berikut ini diberikan contoh soal teknik substitusi trigonometri:
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Contoh 1:
Tentukan $$\int \sqrt{4-x^2}~dx$$
Penyelesaian:
Ambil $~x=2.sin~u~$ maka $~dx=2.cos~u~du$. Jadi, $$\int \sqrt{4-x^2}~dx$$ $$=\int \sqrt{4.(1-sin^2u)}.~(2.cos~u)~du$$ $$=4.\int cos^2~u~du$$ ingat rumus sudut setengah cos, maka diperoleh: $$=4.\int \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}.cos2u \right)~du$$ $$=2u+sin2u+C$$ $$=2.sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x}{2}.\sqrt{4-x^2}+C$$
Contoh 2:
Tentukan $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+25}}$$
Penyelesaian:
Ambil $~x=5.tan~t~$ maka $~dx=5.sec^2t~dt$. Sehingga: $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+25}}$$ $$=\int \frac{5.sec^2t~dt}{5.sec~t}$$ $$=\int sec~t~dt$$ $$=ln|sec~t+tan~t|+C$$ Kita tahu identitas trigonometri berasal dari segitiga siku-siku. Karena $~tan~t=x/5~$ maka jelas bahwa $$~sec~t=\frac{1}{5} \sqrt{x^2+25}$$ Jadi, $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+25}}$$ $$=ln \left|\frac{\sqrt{x^2+25}}{5}+\frac{x}{5}\right|+C$$ $$=ln|x+\sqrt{x^2+25}|-ln5+C$$ $$=ln|x+\sqrt{x^2+25}|+K$$

3. Teknik Integral Parsial

Teknik ini berasal dari rumus turunan perkalian dua fungsi. Misalkan bentuk perkalian dua fungsi itu adalah $~u(x).v(x)~$ maka $~[u(x).v(x)]’=u'(x).v(x)+u(x).v'(x)~$ sehingga bila notasi $x$ kita hilangkan dan kedua ruas kita integralkan maka diperoleh:
$$u.v=\int v~du+\int u~dv$$ biasanya teknik parsial ini disebut teknik reduksi, sehingga dituliskan dalam bentuk:

$$\int u~dv=u.v-\int v~du$$

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Contoh 1:
Tentukan $$\int~ln~x~dx$$
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa jika kita ambil $~u=ln~x~$ dan $~dv=dx~$ maka kita peroleh:
$$du=\frac{dx}{x}$$ dan $$v=x$$ kita dapat menghilangkan konstanta $C$. Jadi, $$\int~ln~x~dx$$ $$=x.ln~x-\int x.\frac{dx}{x}$$ $$=x.ln~x-\int~dx$$ $$=x.(ln~x)-x+C$$
Contoh 2:
Tentukan $$\int x.cos~x~dx$$
Penyelesaian:
Ambil $~u=x~$ dan $~dv=cos~x~dx~$ maka $~du=dx~$ dan $~sin~x$. Sehingga: $$\int x.cos~x~dx$$ $$=x.sin~x-\int sin~x~dx$$ $$=x.sin~x+cos~x+C$$
Contoh 3:
Dalam contoh 2 ini akan dijelaskan teknik parsial berulang.
Tentukan $$\int x^2.sin~x~dx$$
Penyelesaian:
Ambil $~u=x^2~$ dan $~dv=sin~x~dx~$ maka diperoleh: $~du=2x~dx~$ dan $~v=-cos~x$. Sehingga: $$\int x^2.sin~x~dx$$ $$=-x^2.cos~x+2.\int x.cos~x~dx$$ Perhatikan bahwa kita telah mereduksi $~x^2~$ menjadi $~x~$ artinya pangkatnya berkurang 1. Kemudian kita akan mencari $~\int x.cos~x~dx$ dengan teknik parsial kembali. Karena $~\int x.cos~x~dx$ sudah kita cari pada contoh 2, jadi: $$\int x^2.sin~x~dx$$ $$=-x^2.cos~x+2.(x.sin~x+cos~x+C)$$ $$=-x^2.cos~x+2x.sin~x+2.cos~x+K$$
Contoh 4:
Dalam contoh 4 ini akan kita bahas teknik parsial berulang yang menghasilkan bentuk awal.
Tentukan $$\int e^x.sin~x~dx$$
Penyelesaian:
Ambil $~u=e^x~$ dan $~dv=sin~x~dx~$ mak kita peroleh $~du=e^x~dx~$ dan $~v=-cos~x$. Sehingga: $$\int e^x.sin~x~dx$$ $$=-e^x.cos~x+\int e^x.cos~x~dx$$ Kemudian kita cari $~\int e^x.cos~x~dx~$ dengan mengambil kembali $~u=e^x~$ dan $~dv=cos~x~dx$ maka $~du=e^x~dx~$ dan $~v=sin~x$. Sehingga, $$~\int e^x.cos~x~dx~$$ $$=e^x.sin~x-\int e^x.sin~x~dx$$ Perhatikan bahwa ia menghasilkan bentuk awal yakni $~\int e^x.sin~x~dx$. Sehingga, $$\int e^x.sin~x~dx$$ $$=-e^x.cos~x+e^x.sin~x-\int e^x.sin~x~dx$$ atau $$2.\int e^x.sin~x~dx$$ $$e^x.(sin~x-cos~x)+C$$ Jadi: $$\int e^x.sin~x~dx$$ $$=\frac{1}{2}.e^x.(sin~x-cos~x)+K$$
Sekarang coba anda cari $~\int sin^nx~dx~$ dengan mengambil $~u=sin^{n-1}x~$ dan $~dv=sin~x~dx~$ yang akan menghasilkan reduksi dari pangkat $~n~$ menjadi pangkat $~n-2~$ pada sinus.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

4. Teknik Penyelesaian Integral Fungsi Rasional

Fungsi rasional adalah pembagian dua fungsi polinomial. Sebagai contoh $$f(x)=\frac{2}{(x+1)^3}$$ $$g(x)=\frac{2x+2}{x^2-4x+8}$$ $$h(x)=\frac{x^5+2x^3-x+1}{x^3+5x}$$ fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ adalah fungsi rasional sejati karena derajat pembilang kurang dari derajat penyebut, sedangkan fungsi $h(x)$ adalah fungsi rasional tak sejati karena derajat pembilang lebih dari derajat penyebut. Fungsi $h(x)$ dapat kita sederhanakan dengan cara pembagian polinomial yang telah kita pelajari pada materi polinomial. Bentuk $h(x)$ yang disederhanakan itu sebagai berikut. $$h(x)=x^2-3+\frac{14x+1}{x^3+5x}$$ Ok, kembali kita pada pengintegralan fungsi rasional. Perhatikan contoh berikut:

Contoh 1:
Tentukan $$\int \frac{2~dx}{(x+1)^3}$$
Penyelesaian:
kita dapat menyelesaikan ini dengan metode substitusi. Maka: $$\int \frac{2~dx}{(x+1)^3}$$ $$=2.\int (x+1)^{-3}~d(x+1)$$ $$=\frac{-1}{(x+1)^2}+C$$
Contoh 2: (faktor linear yang berlainan)
Tentukan $$\int \frac{3x-1}{x^2-x-6}~dx$$ Penyelesaian:
Karena $~x^2-x-6=(x+2)(x-3)$, maka kita dapat mengubah bentuk fungsinya menjadi $$\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-3}$$ sehingga $~3x-1=A(x-3)+B(x+2)~$ atau dengan kesetaraan eqivalensi diperoleh:
$$3x-1=(A+B)x+(-3A+2B)$$ maka diperoleh:
$A+B=3$
$-3A+2B=-1$
jika kita menyelesaikannya akan diperoleh $~A=7/5~$ dan $~B=8/5$. Sehingga: $$\int \frac{3x-1}{x^2-x-6}~dx$$ $$=\frac{7}{5}.\int \frac{dx}{x+2}+\frac{8}{5}.\int \frac{dx}{x-3}$$ $$=\frac{7}{5}.ln|x+2|+\frac{8}{5}.ln|x-3|+C$$
Contoh 3: (faktor linear berbeda)
Tentukan $$\int \frac{5x+3}{x^3-2x^2-3x}~dx$$
Penyelesaian:
Kita tahu uraian penyebutnya adalah $~x(x+1)(x-3)$. Sehingga:
$5x+3=A(x+1)(x-3)+$
$B(x)(x-3)+C(x)(x+1)$
Perhatikan bahwa jika kita substitusikan nilai $~x=0,~x=-1$ dan $x=3$, maka kita peroleh: $$3=A(-3)$$ $$-2=B(4)$$ $$18=C(12)$$ atau $~A=1,~B=-1/2$ dan $C=3/2$. Jadi, $$\int \frac{5x+3}{x^3-2x^2-3x}~dx$$ $$=-\int \frac{dx}{x}-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+1}$$ $$+\frac{3}{2}\int \frac{dx}{x-3}$$ $$=-ln|x|-\frac{1}{2}ln|x+1|$$ $$+\frac{3}{2}ln|x-3|+C$$
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Contoh 4: (faktor linear berulang)
Tentukan $$\int \frac{x~dx}{(x-3)^2}$$
Penyelesaian:
Kita akan mengubah bentuk rasionalnya menjadi: $$\frac{x}{(x-3)^2}$$ $$=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{(x-3)^2}$$ Pengali penyebut pada $(x-3)$ adalah $(x-3)$ dan pengali penyebut pada $(x-3)^2$ adalah 1. Sehingga diperoleh: $~x=A(x-3)+B$ yang jika kita substitusikan $x=3$ maka diperoleh $B=3$ kemudian kita substitusikan $x=0$ diperoleh $A=1$. Jadi, $$\int \frac{x~dx}{(x-3)^2}$$ $$=\int \frac{dx}{x-3}+3.\int \frac{dx}{(x-3)^2}$$ $$=ln|x-3|-\frac{3}{x-1}+C$$

Demikianlah postingan tentang teknik pengintegralan yang sering digunakan. Sekian dan terima kasih, semoga bermanfaat.. MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\$‘,’\$’]]} }); https://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML

SOAL DAN PEMBAHASAN UTBK SAINTEK

Soal dan Pembahasan UTBK Kuantitatif

Pada postingan ini akan dibahas langsung soal beserta pembahasannya mengenai UTBK Saintek khusus tipe kuantitatif. Berikut ini soal dan pembahasannya:

1. Apabila dua buah bilangan $2n$ dan $(1+3n)$ (dimana $n$ adalah bilangan bulat positif) diakhiri dengan digit yang sama, maka digit tersebut adalah ….
A. 6 $\quad \quad$ D. 5
B. 7 $\quad \quad$ E. 3
C. 8
Penyelesaian:
Jawaban C
$2n$ selalu menghasilkan digit akhirnya: 2, 4, 8, 6 begitu seterusnya secara berulang;
$3n$ selalu menghasilkan digit akhirnya: 3, 9, 7, 1, sehingga $3n+1$ selalu menghasilkan digit akhir: 4, 0, 8, 2;
Kita pilih bilangan yang sama yang ada pada opsi adalah 8.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2. Dalam dua keranjang terdapat total 22 buah bola. Bola-bola dalam keranjang pertama masing-masing beratnya 15 gram, sementara bola-bola dalam keranjang kedua masing-masing beratnya 20 gram. Berapa selisih perbedaan berat isi kedua keranjang yang mungkin bila diketahui bahwa berat seluruh bola adalah antara 380 hingga 400 gram?
A. 90 gram $\quad \quad$ D. 105 gram
B. 65 gram $\quad \quad$ E. 85 gram
C. 75 gram
Penyelesaian:
Jawaban A
Kita ambil banyak bola disetiap keranjang hampir sama misalnya 10 dan 12.
Maka berat bola di keranjang pertama adalah 10 x 15 = 150 gram, dan
Berat bola di keranjang kedua adalah 12 x 20 = 240 gram,
Sehingga jumlahnya tepat antara 380 sampai 400 gram.
Jadi, selisihnya dalah $240-150=90$ gram.

3. Nilai dari $26^2-25^2+24^2-…+2^2-1^2$ adalah ….
A. 432 $\quad \quad$ D. 351
B. 472 $\quad \quad$ E. 451
C. 371
Penyelesaian:
Jawaban D
Ingat bahwa $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$. Sehingga,
$=(26+25)(26-25)+…$
$\quad +(2+1)(2-1)$
$=(26+25).1+(24+23).1$
$\quad +…+(2+1).1$
$=26+25+24+…+2+1$
$=1+2+3+…+26$
Bentuk akhir mengingatkan kita dengan rumus deret aritmatika, yakni:
$S_n=n(a+U_n)/2=26(1+26)/2$ = 351.

4. Diberikan operasi faktorial, $n!=n(n-1)(n-2)…1$ dengan $n$ adalah bilangan asli, serta $1!=1$. Digit atau angka terakhir dari hasil $1!+2!+….+9999!$ adalah ….
A. 1 $\quad \quad$ D. 7
B. 3 $\quad \quad$ E. 9
C. 5
Penyelesaian:
Jawaban B
Perhatikan digit terakhir untuk bilangan $5!=120$ yakni digit terakhirnya 0. Kemudian bilangan faktorial yang lebih besar pasti digit terakhirnya 0, karena terdapat pengali 0 pada $5!$. Sehingga kita hanya perlu mencari digit terakhir dari $1!+2!+3!+4!$, yang menghasilkan 33 atau digit terakhirnya 3. Jadi, digit terakhir dari hasil $1!+2!+….+9999!$ adalah 3.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
5. Berapa persen bilangan antara 1 hingga 50 yang jika dikuadratkan, digit terakhirnya adalah 1?
A. 1% $\quad \quad$ D. 11%
B. 5% $\quad \quad$ E. 20%
C. 10%
Penyelesaian:
Jawaban E
Perhatikan bahwa bilangan yang berakhiran 1 dan 9 jika dikuadratkan pasti digit terakhirnya 1. Maka bilangan yang memenuhi ada sebanyak 10 buah yakni 1, 9, 11, 19, 21, 29, 31, 39, 41, dan 49. Jadi persentase banyaknya adalah $(10/50)$ x 100% = 20%.

6. Jika $a$, $b$, $c$, dan $d$ adalah bilangan bulat yang tidak nol dan tidak negatif serta tidak ada yang sama. Diketahui $a+b+c+d=18$. Berapa hasil terbesar yang mungkin dari $(ab-cd)$?
A. 32 $\quad \quad$ D. 18
B. 25 $\quad \quad$ E. 54
C. 28
Penyelesaian:
Jawaban E
Hanya ada satu kemungkinan yaitu: $8+7+2+1=18$. Jadi, hasil $(ab-cd)$ yang terbesar adalah:
$8(7)-2(1)=54$.

7. Si Ableh dan si Bento adalah dua orang tukang cat yang bekerja mencat sebuah ruangan. Suatu ketika saat mereka telah melalui 6 jam bekerja sama disebuah ruangan, si Ableh minta pulang karena jatuh sakit. Si Bento terpaknya meneruskannya sendiri hingga akhirnya selesai dalam 12 jam berikutnya. Biasanya mereka berdua dapat menyelesaikan pekerjaan itu dalam 10 jam saja. Bila si Bento mengerjakan sendirian dari awal, berapa lama waktu yang diperlukan hingga selesai?
A. 15 jam $\quad \quad$ D. 24 jam
B. 36 jam $\quad \quad$ E. 20 jam
C. 30 jam
Penyelesaian:
Jawaban C
Karena biasanya mereka berdua dapat menyelesaikan pekerjaan itu dalam 10 jam saja, maka sisa pekerjaan setelah Ableh pulang adalah 4 jam (6 jam sudah dikerjakan bersama). Jadi, jika sibento mengerjakan dari awal sampai selesai maka menghabiskan waktu $(10/4).12=30$ jam.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
8. Terdapat 3 buah bilangan yang berbeda. Jika setiap dua bilangan dari tiga bilangan itu dijumlahkan, maka menghasilkan 25, 37, dan 40. Beda antara dua bilangan terbesar adalah ….
A. 3 $\quad \quad$ D. 12
B. 8 $\quad \quad$ E. 15
C. 10
Penyelesaian:
Jawaban D
Misalkan bilangan pertama $x$, bilangan kedua $y$, dan bilangan ketiga $z$. Diketahui:
$x+y=25…..(i)$
$x+z=37…..(ii)$
$y+z=40…..(iii)$
Kerangkan $(i)$ ke $(ii)$ diperoleh $y-z=-12$ kemudian tambahkan ke $(iii)$ maka diperoleh: $y=14$ sehingga kita peroleh nilai yang lain yakni $x$ dan $z$. Jadi, $x=11$, $y=14$, dan $z=26$, selisih dua bilangan terbesarnya adalah $26-14=12$.

9. Andi memiliki 6 kelinci putih, 7 kelinci biru, dan 8 kelinci hijau. Ada berapa cara ia mengambil 2 kelinci dengan warna berbeda?
A. 146 $\quad \quad$ D. 176
B. 156 $\quad \quad$ E. 186
C. 166
Penyelesaian:
Jawaban A
Terdapat 3 kemungkinan, yaitu:
* Pertama, kelinci yang terambil berwarna putih dan biru. Karena terdapat 6 kelinci putih dan 7 kelinci biru, maka banyak kemungkinannya dalah 6 x 7 = 42.
* Kedua, kelinci yang terambil berwarna putih dan hijau. Karena terdapat 6 kelinci putih dan 8 kelinci hijau, maka banyak kemungkinannya dalah 6 x 8 = 48.
* Ketiga, kelinci yang terambil berwarna biru dan hijau. Karena terdapat 7 kelinci biru dan 8 kelinci hijau, maka banyak kemungkinannya dalah 7 x 8 = 56.
Sehingga total kemungkinannya adalah $42+48+56=146$.

10. Sebuah kepanitiaan yang terdiri dari 4 orang dipilih dari 8 pria dan 12 wanita. Ada berapa cara memilih kepanitiaan tersebut jika minimal harus terdapat 1 orang pria?
A. 32 $\quad \quad$ D. 4250
B. 48 $\quad \quad$ E. 4350
C. 120
Penyelesaian:
Jawaban E
Cara termudah adalah dengan menghitung dahulu komplemennya.
Banyaknya cara memilih kepanitiaan dengan semua anggotanya adalah wanita = $C_4^{12} = 495$.
Banyaknya cara memilih kepanitiaan tanpa membedakan lawan jenis = $C_4{20} = 4845$.
Sehingga banyaknya cara memilih kepanitiaan yang terdapat minimal 1 pria adalah:
$4845-495=4350$.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
11. Di desa Konoha terdapat 4 orang ninja ninjutsu, 4 ninja taijutsu, dan 4 ninja genjutsu. Jika kepala desa ingin mengirim tim berisi 9 orang dimana di dalam tim tersebut harus terdapat ketiga jenis ninja yang disebutkan tadi. Ada berapa kombinasi tim yang dapat dibentuk?
A. 200 $\quad \quad$ D. 220
B. 210 $\quad \quad$ E. 225
C. 215
Penyelesaian:
Jawaban D
Perhatikan bahwa kita tidak mungkin memilih 9 ninja sehingga ada 1 jenis ninja yang tidak terpilih. Sehingga siapapun ke-9 ninja yang terpilih, maka setiap jenis pasti terpilih minimal 1 orang. Jadi,
banyaknya cara memilih 9 dari 12 ninja adalah $C_9^{12}=220$.

12. Jika $0,1818…=x/y$ dengan $x$ dan $y$ adalah bilangan asli terkecil, maka nilai $x+y=…$
A. 13 $\quad \quad$ D. 42
B. 17 $\quad \quad$ E. 117
C. 39
Penyelesaian:
Jawaban A
Kalikan $x$ dengan 100 kemudian kurangkan kedua persamaan maka diperoleh:
$100x/y=18,1818…$
$x/y=0,1818…$
—————— $\quad -$
$99x/y=18$. Sehingga $x/y=2/11$, jadi $x+y=13$.

13. Jika $x=2p^2-5$ dan $y=4p^2+1$ dengan $p$ adalah bilangan asli, maka ….
A. $x$ < $y$
B. $x=y$
C. $x=\frac{1}{2}y$
D. $x>y$
E. hubungan $x$ dan $y$ tidak dapat ditentukan.
Penyelesaian:
Jawaban A
Perhatikan bahwa bentuk suku dari $x$ dan $y$ sama, serta Karena koefisien $p^2$ dan konstanta milik $x$ itu lebih kecil dari pada $y$ maka jelas bahwa $x$ < $y$.

14. Sisa pembagian $3^{21}$ oleh 10 adalah ….
A. 1 $\quad \quad$ D. 7
B. 3 $\quad \quad$ E. 9
C. 5
Penyelesaian:
Jawaban B
Karena $3^4$ dibagi 10 itu bersisa 1, maka $21=5(4)+1$
$3^{21}=(3^4)^5.3^1$ dan ingat bahwa sisa pembagian dapat masuk kesemua operasi maka diperoleh sisanya:
$1^5.3=3$

15. Bilangan $n$ terbesar sehingga $8^n$ membagi $22^{22}$ adalah ….
A. 8 $\quad \quad$ D. 5
B. 7 $\quad \quad$ E. 4
C. 6
Penyelesaian:
Jawaban B
Karena $8^n=(2^3)^n=2^{3n}$ dan $22^{22}=2^{22}.11^{22}$, maka:
dari bentuk $\frac{2^{22}.11^{22}}{2^{3n}}$ kita dapat melihat jelas bahwa nilai $n$ terbesarnya adalah 7. Sebab kalau lebih dari 7 maka penyebutnya tidak akan habis.

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\$‘,’\$’]]} }); https://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML

TAUTOLOGI, KONTRADIKSI, KONTINGENSI, KONVERS, KONTRAPOSISI, DAN INVERS

Tautologi, Kontradiksi, Kontingensi, Konvers, Kontraposisi, dan Invers. .table1 { font-family: sans-serif; color: #444; text-align: center; border-collapse: collapse; width: 30%; border: 1px solid #f2f5f7; } .table1 tr th{ background: #35A9DB; text-align: center; color: #fff; font-weight: normal; } .table1, th, td { padding: 8px 10px; text-align: center; text-align: center; } .table1 tr:hover { background-color: #f5f5f5; text-align: center; } .table1 tr:nth-child(even) { text-align: center; background-color: #f2f2f2; }

Postingan ini membahas lingkup materi logika matematika tentang tautologi, kontradiksi, kontingensi, konvers, kontraposisi, dan invers. Sebuah tautologi ialah sebuah pernyataan majemuk yang benar dalam segala hal, tanpa memperhatikan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan penyusunnya. Sebaliknya, sebuah pernyataan yang selalu salah tanpa memperhatikan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan penyusunnya dinamakan kontradiksi. Sedangkan pernyataan yang bukan tautologi dan bukan kontradiksi disebut kontingensi. Sebuah kontingensi akan bernilai benar untuk beberapa nilai kebenaran pernyataan-pernyataan penyusunnya dan bernilai salah untuk yang lain. Tautologi juga sering disebut benar secara logika. Konvers, kontraposisi, dan invers akan dijelaskan sekaligus pada bagian ke 4.

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

1. Tautologi

Definisi Tautologi:
Sebuah pernyataan majemuk disebut tautologi jika pernyataan tersebut selalu bernilai benar untuk semua nilai yang mungkin dari pernyataan-pernyataan komponennya.

Contoh:
Menggunakan tabel kebenaran, tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut adalah tautologi.
(a) $p \vee (\sim p)$
(b) $(p \wedge q) \to p$
(c) $ ((p \vee q) \wedge \sim p) \to q $
Penyelesaian:
(a) Berikut ini tabel kebenaran untuk pernyataan majemuk $p \vee (\sim p)$

$p$	$\sim p$	$p \vee (\sim p)$
T	F	T
T	T	T

Karena semua baris dalam kolom 3 bernilai T, maka $p \vee (\sim p)$ merupakan tautologi.

(b) Jika $p \wedge q = a$ dan $(p \wedge q) \to p=b$, maka:

$p$	$q$	$a$	$b$
T	T	T	T
T	F	F	T
F	T	F	T
F	F	F	T

Karena semua baris dalam kolom 4 bernilai T, maka $(p \wedge q) \to p$ merupakan tautologi.

$p$	$q$	$p \vee q$	$\sim p$	$a$	$a \to q$
T	T	T	F	F	T
T	F	T	F	F	T
F	T	T	T	T	T
F	F	F	T	F	T

Karena semua baris dalam kolom 6 bernilai T, maka $ ((p \vee q) \wedge \sim p) \to q$ merupakan tautologi.

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

2. Kontradiksi

Definisi Kontradiksi:
Sebuah pernyataan majemuk disebut kontradiksi jika pernyataan tersebut selalu bernilai salah untuk semua nilai yang mungkin dari pernyataan-pernyataan komponennya. Istilah lain dari kontradiksi adalah mustahil (absurdity).

Contoh:
Menggunakan tabel kebenaran, tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut adalah kontradiksi.
(a) $p \wedge \sim p$
(b) $(p \wedge q) \wedge \sim p$
Penyelesaian:
(a) Berikut ini tabel kebenaran $p \wedge \sim p$:

$p$	$\sim p$	$p \wedge \sim p$
T	F	F
T	F	F
F	T	F
F	T	F

(b) Berikut ini tabel kebenaran untuk pernyataan $(p \wedge q) \wedge \sim p$

$p$	$q$	$p \wedge q$	$\sim p$	$(p \wedge q) \wedge \sim p$
T	T	T	F	F
T	F	F	F	F
F	T	F	T	F
F	F	F	T	F

Karena semua elemen dalam kolom 5 bernilai F, maka $(p \wedge q) \wedge \sim p$ merupakan kontradiksi.

Catatan:
Negasi dari sebuah tautologi adalah kontradiksi, dan sebaliknya.

3. Kontingensi

Definisi Kontingensi:
Kontingensi (contingency) adalah sebuah pernyataan majemuk yang dapat bernilai benar atau salah, bergantung pada nilai-nilai kebenaran dari variabel-variabel pernyataannya.

Contoh:
Menggunakan tabel kebenaran, tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut adalah kontingensi.
(a) $p \to (q \wedge p)$
(b) $(p \to q) \wedge (p \vee q)$
Penyelesaian:
(a) Tabel kebenaran untuk pernyataan $p \to (q \wedge p)$ adalah:

$p$	$q$	$q \wedge p$	$p \to (q \wedge p)$
T	T	T	T
T	F	F	F
F	T	F	T
F	F	F	T

Karena semua baris dalam kolom 4 tidak semua bernilai T atau F, maka $p \to (q \wedge p)$ merupakan kontingensi

(b) Jika $p \to q = a$, $p \vee q =b$, dan $(p \to q) \wedge (p \vee q)=c$ maka tabel kebenaran untuk pernyataan $(p \to q) \wedge (p \vee q)$ adalah:

$p$	$q$	$a$	$b$	$c$
T	T	T	T	T
T	F	F	T	F
F	T	T	T	T
F	F	T	F	F

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

4. Konvers, Kontraposisi, dan Invers

Jika $p \to q$ adalah sebuah implikasi, maka terdapat beberapa pernyataan yang berhubungan dengan $p \to q$, yaitu: konvers, kontraposisi, dan invers.

Definisi Konvers, Kontraposisi, dan Invers:
1. Konvers (converse) dari pernyataan $p \to q$ adalah $q \to p$.
2. Kontraposisi/Kontrapositif (contrapositive) dari $p \to q$ adalah $(\sim q) \to (\sim p)$.
3. Invers (inverse) dari $p \to q$ adalah $(\sim p) \to (\sim q)$.

Contoh:
Tulislah konvers, kontrapositif, dan invers dari implikasi-implikasi berikut:
(a) Jika $x$ positif, maka $x^2$ positif.
(b) Jika hari hujan, maka saya basah kuyup.
(c) Jika $x=3$ maka $x$ adalah bilangan bulat ganjil.
Penyelesaian:
(a) Konvers: Jika $x^2$ positif, maka $x$ positif.
$\quad$ Kontraposisi: Jika $x^2$ tidak positif, maka $x$ tidak positif.
$\quad$ Invers: Jika $x$ tidak positif, maka $x^2$ tidak positif.

(b) Konvers: Jika saya basah kuyup, maka hari hujan.
$\quad$ Kontrapositif: Jika saya tidak basah kuyup, maka hari tidak hujan.
$\quad$ Invers: Jika hari tidak hujan, maka saya tidak basah kuyup.

(c) Konvers: Jika $x$ adalah bilangan bulat ganjil, maka $x=3$.
$\quad$ Kontraposisi: Jika $x$ bukan bilangan bulat ganjil, maka $x \ne 3$.
$\quad$ Invers: Jika $x \ne 3$, maka $x$ bukan bilangan bulat ganjil.

Selesailah pembahasan tentang tautologi, kontradiksi, kontingensi, konvers, kontraposisi, dan invers. Jika ada yang bertanya dipersilahkan di kolom komentar. Sekian dan terima kasih. MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\$‘,’\$’]]} }); https://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML

PENGGUNAAN TURUNAN FUNGSI

Penggunaan Turunan Fungsibody {font-family: ‘Times New Roman’, Times, serif; font-size: large; line-height: 1.5em;} Sebelum membahas lebih jauh tentang bagian ini, diharuskan untuk mengerti materi dasar turunan fungsi. Jika belum mengetahui dasar materi turunan, maka bisa dibaca di link ini: Materi Turunan Fungsi Aljabar dan Sifat-Sifatnya.
Jika sudah mengetahui tentang materi dasar turunan fungsi, maka dapat memahami lebih jauh tentang bagian ini. Berikut ini daftar isi yang diberikan:

Daftar Isi

1. Sejarah Singkat Ilmuan Isaac Newton
2. Maksimum dan Minimum
3. Gradien Garis Singgung, Kemonotonan dan Kecekungan Fungsi
3.1. Gradien Garis Singgung
3.2. Kemonotonan Fungsi
3.3. Kecekungan Fungsi
4. Lebih Banyak Masalah Maksimum dan Minimum
5. Penerapan Ekonomi
6. Dalil L’ Hopital
7. Teorema Nilai Rata-Rata

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

1. Sejarah Singkat Ilmuan Isaac Newton

Saya tidak tahu bagaimana saya tampak pada dunia; tetapi bagi saya sendiri saya tampaknya hanyalah seperti seorang anak laki-laki yang bermain-main di pantai, dan mengalihkan diri sendiri sekarang dan kemudian menemukan koral yang lebih halus atau kerang yang lebih indah daripada yang biasa, sementara samudera besar dari kebenaran semuanya terbentang di hadapan saya tak terungkapkan.
~ Isaac Newton

Newton, lahir pada keluarga petani Inggris pada hari Natal 1642. Isaac Newton sebagai seorang pemuda remaja memperlihatkan sedikit harapan akademis. Ia bosan dengan sekolah, lebih senang membuat layangan, roda air, jam, dan perkakas lain. Seorang paman pertama kali mengenali bakat luar biasa anak tersebut, ia membujuk ibu Newton untuk memberangkatkan Newton ke Trinity Collage dari Universitas Cambridge. Di sana ia kena pengaruh Isaac Barrow, seorang pakar ilmu agama dan mahaguru matematika. Barrow melihat di dalam Newton kemampuan yang lebih besar daripada dirinya dan menyerahkan kemahaguruannya kepada Newton pada waktu umur Newton hanya 26 tahun.
Sebelum itu, sesaat setelah diwisuda dari Trinity, Newton pergi pulang untuk menghindari wabah penyakit pes 1664-1665. Selama 18 bulan, sejak Januari 1665, ia menekuni masalah-masalah matematika dan ilmu yang terkemuka. Tidak terdapat kejeniusan yang dapat dibandingkan penuh dalam sejarah ilmu. Dalam waktu singkat tersebut, Newton menemukan teorema Binomial umum, elemen dari kalkulus diferensial maupun integral, teori warna-warna, dan hukum grafitasi universal. Lagrange memuji bahwa Newtonlah jenius terbesar yang pernah hidup dan yang paling mujur, karena hanya sekali sistem semesta dapat dikembangkan.
Sama seperti banyak ilmuan sebayanya, Newton adalah seorang pemeluk agama yang shaleh dan dikatakan telah memberikan waktu yang sama banyaknya untuk mempelajari injil dan untuk matematika. Ia meninggal sebagai seorang terhormat pada usia 85 tahun dan dimakamkan dengan kebesaran bangsanya di Westminster Abbey.
Kembali ke Daftar Isi

2. Maksimum dan Minimum

Dalam hidup ini, kita sering menghadapi masalah guna mendapatkan jalan terbaik untuk melakukan sesuatu. Sebagai contoh, seorang petani ingin memilih kombinasi hasil panen yang dapat menghasilkan keuntungan besar. Contoh lain, seorang dokter akan menentukan dosis obat yang terkecil untuk menyembuhkan suatu penyakit. Contoh lain, seorang kepala pabrik akan menekan sekecil mungkin biaya pendisdribusian produknya. Kadang kala salah satu dari masalah di atas dapat dirumuskan sehingga akan melibatkan memaksimumkan dan meminimumkan fungsi tertentu. Bila demikian, metode kalkulus menyediakan sarana yang ampuh untuk memecahkan masalah seperti itu.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Andaikan kita mengetahui fungsi $f$ dan domain (daerah asal) $S$ seperti pada gambar 2.1 berikut:

Tugas kita yang pertama adalah menentukan apakah $f$ memiliki nilai maksimum atau minimum pada $S$. Anggap bahwa nilai-nilai tersebut ada, kita ingin mengetahui lebih lanjut dimana dalam $S$ nilai-nilai itu berada. Akhirnya, kita dapat menentukan nilai-nilai maksimum dan minimum. Menganalisis ketiga tugas ini merupakan tujuan pokok pada bagian ini. Kita mulai dengan memperkenalkan kosakata yang tepat dalam definisi berikut:

Definisi:
Andaikan $S$, daerah asal $f$ memuat titik $c$. Kita katakan bahwa:
(i) $f(c)$ adalah nilai maksimum $f$ pada $S$ jika $f(c) \ge f(x)$ untuk semua $x$ di $S$.
(ii) $f(c)$ adalah niali minimum $f$ pada $S$ jika $f(c) \le f(x)$ untuk semua $x$ di $S$.
(iii) $f(c)$ adalah nilai ekstrim $f$ pada $S$ jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.

Pertanyaan Eksistensi Apakah $f$ mempunyai nilai maksimum atau minimum pada $S$?. Jawabannya tergantung, pertama-tama pada himpunan $S$ tersebut. Perhatikan gambar 2.2 berikut:

Ambillah $f(x)=1/x$ pada $S=(0, \infty)$, fungsi ini tidak mempunyai nilai maksimum ataupun minimum. Jika fungsi pada gambar 2 itu dibatasi pada $s=[1, 3]$ maka ia mempunyai nilai maksimum $f(1)=3$ dan nilai minimum $f(3)=1/3$. Jika fungsi itu dibatasi pada $S=(1, 3]$, maka $f$ tidak mempunyai nilai maksimum dan mempunyai nilai minimum $f(3)=1/3$.
Jawaban juga tergantung pada tipe fungsi. Ambillah fungsi tak kontinu $g$ pada gambar 2.3 berikut:

Pada $S=[1, 3]$, $g$ tidak mempunyai nilai maksimum (menjadi cukup dekat ke 2 tetapi tidak pernah mencapainya). Tetapi, $g$ mempunyai nilai minimum yaitu $g(2)=0$.
Terdapat sebuah teorema bagus yang menjawab pertanyaan eksistensi untuk beberapa masalah yang muncul dalam praktek. Walaupun secara intuisi ini jelas, bukti yang teliti sangat sukar; kita biarkan itu untuk pelajaran lebih lanjut.

Teorema A:
(Teorema Eksistensi Maks-Min). Jika $f$ kontinu pada selang tertutup [$a, b$], maka $f$ mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.

Perhatikan kata-kata kunci: $f$ harus kontinu dan himpunan $S$ harus berupa selang tertutup.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Dimana Terjadinya Nilai-Nilai Ekstrim? Biasanya fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan akan mempunyai suatu selang $I$ sebagai daerah asalnya. Tetapi selang ini boleh berupa sebarang dari sembilan tipe. Beberapa dari selang ini memuat titik-titik ujung; beberapa tidak. Misalnya, $I=[a, b]$ memuat titik ujung dua-duanya; $[a, b)$ hanya memuat titik ujung kiri; $(a, b)$ tidak memuat titik ujung satupun. Nilai-nilai ekstrim sebuah fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup sering kali terjadi pada titik-titik ujung (lihat gambar 2.4 berikut).

Jika $c$ sebuah titik pada $f'(c)=0$, kita sebut $c$ titik stasioner. Nama itu diturunkan dari fakta bahwa pada titik stasioner, grafik $f$ mendatar karena garis singgung mendatar. Nilai-nilai ekstrim sering kali terjadi pada titik-titik stasioner (lihat gambar 2.5 berikut).

Akhirnya, jika $c$ adalah titik dalam dari $I$ dimana $f’$ tidak ada, kita sebut $c$ titik singular. Ini merupakan titik dimana grafik $f$ mempunyai sudut tajam, garis singgung vertikal, atau mungkin berupa lompatan. Nilai-nilai ekstrim dapat terjadi pada titik-titik singular (Perhatikan gambar 2.6)

Ketiga jenis titik ini (titik ujung, titik stasioner, dan titik singular) merupakan titik-titik kunci dari teori maksimum-minimum. Sebarang titik dalam daerah asal fungsi $f$ yang termasuk salah satu dari tiga tipe ini disebut titik kritis $f$.

Contoh 2.1:
Cari titik-titik kritis dari $f(x)=-2x^3+3x^2$ pada $[-\frac{1}{2}, 2]$.
Penyelesaian:
titik-titik ujung adalah $-\frac{1}{2}$ dan 2. Untuk mencari titik-titik stasioner, kita pecahkan $f'(x)=-6x^2+6x=0$ untuk $x$, diperoleh 0 dan 1. Tidak terdapat titik-titik singular. Jadi, titik-titik kritisnya adalah $-\frac{1}{2}$, 0, 1, 2.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Teorema B:
(Teorema Titik kRITIS). Andaikan $f$ didefinisikan pada selang $I$ yang memuat titik $c$. Jika $f(c)$ adalah titik ekstrim, maka $c$ haruslah suatu titik kritis, yakni $c$ berupa salah satu:
(i) Titik ujung dari $I$.
(ii) Titik stasioner dari $f(f'(c)=0)$.
(iii) Titik singular dari $f(f'(c))$ tidak ada.

Apakah yang dimaksud dengan nilai-nilai ekstrim? Mengingat teorema A dan B, sekarang kita dapat menyatakan suatu prosedur yang sangat sederhana untuk menghitung nilai maksimum atau minimum suatu fungsi kontinu $f$ pada selang tertutup $I$.
Langkah 1: Carilah titik-titik kritis dari $f$ pada $i$.
Langkah 2: Hitunglah $f$ pada setiap titik kritis. Yang terbesar adalah nilai maksimum; dan yang terkecil adalah nilai minimum.

Contoh 2.2:
Carilah nilai-nilai maksimum dan minimum dari:
$f(x)=-2x^3+3x^2$ pada $[-\frac{1}{2}, 2]$.
Penyelesaian:
Dalam contoh 2.1, kita kenali $-\frac{1}{2}$, 0, 1, 2 sebagai titik kritis. Sekarang $f(-\frac{1}{2})=1$, $f(0)=0$, dan $f(2)=-4$. Jadi, nilai maksimum adalah 1 (dicapai pada $-\frac{1}{2}$ dan 1) dan nilai minimum adalah $-4$ (dicapai pada 2).Grafik $f$ diperlihatkan dalam gambar 2.7 berikut:

Contoh 2.3:
Fungsi $F(x)=x^{2/3}$ kontinu dimana-mana. Cari nilai-nilai maksimum dan minimumnya pada $[-1, 2]$.
Penyelesaian:
Perhatikan gambar 2.8 berikut:

$F'(x)=\frac{2}{3}x^{-1/3}$, tidak pernah 0. Tetapi $F'(0)$ tidak ada, sehingga 0 adalah titik kritis, sama seperti titik-titik ujung $-1$ dan 2. Sekarang $F(-1)=1$, $F(0)=0$, dan $F(2)=\sqrt[3]{4} \approx 1,59$. Jadi nilai maksimumnya adalah $\sqrt[3]{4}$ dan nilai minimumnya adalah 0.

Masalah-Masalah Praktis Yang dimaksudkan dengan masalah praktis adalah masalah yang mungkin timbul dalam kehidupan sehari-hari. Masalah-masalah yang demikian jarang mempunyai titik-titik singular; faktanya, untuk masalah-masalah ini nilai-nilai maksimum dan minimum biasanya terjadi pada titik-titik stasioner, walaupun titik-titik ujung harus diperiksa. Berikut disajikan dua contoh khas:

Contoh 2.4:
Kotak persegi panjang dibuat dari papan triplek dengan panjang 24 inci dan lebar 9 inci, dengan memotong bujur sangkar identik pada keempat pojok dan melipat ke atas sisi-sisinya, seperti gambar gambar 2.9. Carilah ukuran kotak yang volumenya maksimum, dan berapakah volume itu?

Penyelesaian:
Andaikan $x$ adalah sisi bujur sangkar yang harus dipotong dan $V$ adalah volume kotak yang dihasilkan. Maka:
$V=x(9-2x)(24-2x)$
$V=216x-66x^2+4x^3$
Sekarang $x$ tidak dapat lebih kecil dari 0 ataupun lebih besar dari 4,5. Jadi, masalah kita adalah memaksimumkan $V$ pada $[0; 4,5]$. Titik-titik stasioner ditemukan dengan menetapkan $dV/dx$ sama dengan nol dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan:
$\frac{dV}{dx}=216-132x+12x^2$
$\quad = 12(18-11x+x^2)$
$\quad = 12(9-x)(2-x)=0$.
Ini memberikan $x=2$ atau $x=9$, tetapi 9 tidak pada selang $[0; 4,5]$. Kita lihat bahwa hanya terdapat tiga titik kritis, yaitu 0, 2, dan 4,5. Pada titik-titik ujung 0 dan 4,5 menghasilkan $V=0$, sedangkan pada titik 2 menghasilkan $v=200$. Kita simpulkan bahwa kotak mempunyai volume maksimum 200 inci kubik. Pada $x=2$ yakni jika kotak berukuran panjang 20 inci, lebar 5 inci, dan tinggi 2 inci.

Contoh 2.5:
Seorang peternak mempunyai 100 meter kawat berduri yang akan dipakai membuat dua pagar identik yang berdampingan, seperti diperlihatkan dalam gambar 2.10. Berapakah ukuran seluruh kelilingnya agar luasnya maksimum?

Penyelesaian:
Andaikan $x$ adalah lebar dan $y$ adalah panjang. Karena tersedia 100 meter kawat, maka $3x+2y=100$ atau $y=50-\frac{3}{2}x$ luas total $A$ diberikan oleh:
$A=xy=50x-\frac{3}{2}x^2$
Karena harus terdapat 3 sisi sepanjang $x$ maka $0 \le x \le \frac{100}{3}$. Jadi masalah kita adalah memaksimumkan $A$ padaa $[0, \frac{100}{3}]$. Sekarang,
$\frac{dA}{dx}=50-3x$
Jadi kita tetapkan $\frac{dA}{dx}=0$ dan menyelesaikannya. Kita peroleh $x=50/3$. Jadi terdapat 3 titik kritis, yaitu 0, 50/3, dan 100/3. Kita substitusikan titik kritis itu ke $A(x)$, maka
$A(0)=A(100/3)=0$ dan
$A(50/3)=416,67$. Jadi ukuran yang diinginkan adalah $x=50/3$ meter dan $y=25$ meter.

Sekarang akan dibahas contoh terakhir yang menggambarkan suatu masalah yang dialami oleh sebuah perusahaan yang menyalurkan produknya dengan mempergunakan truk. Dengan bertambahnya kecepatan truk tersebut, biaya operasinya (bahan bakar, minyak pelumas, dan lain-lain) bertambah, sedangkan biaya tenaga kerja (pengemudi) menjadi berkurang. Berapakah kecepatan yang paling ekonomis bagi sebuah truk yang akan menjalankan tugas?
Contoh 2.6:
Biaya operasi sebuah truk diperkirakan sebesar $(30+v/2)$ sen dolar per mil pada saat dikemudikan dengan kecepatan $v$ mil per jam. Pengemudinya dibayar 14 dollar per jam. Pada kecepatan berapakah biaya pengiriman ke suatu kota yang jauhnya $k$ mil akan paling murah?, dengan anggapan bahwa aturan kecepatan yang diperbolehkan adalah $40 \le v \le 60$.
Penyelesaian:
Misalkan $C$ adalah biaya total dalam sen dollar untuk menjalankan truk sejauh $k$ mil. Maka,
$C=$ Biaya Pengemudi $+$ Biaya Operasi
$=\frac{k}{v}.(1400)+k(30+v/2)$
$=1400kv^{-1}+\frac{k}{2}v+30k$, maka:
$\frac{dC}{dv}=-1400kv^{-2}+k/2$
dengan mengambil $dC/dv=0$, maka diperoleh: $v=53$ (dibulatkan).
Pada kecepatan 53 mil per jam merupakan nilai optimum, akan tetapi kita harus meninjau $C$ pada tiga titik kritis 40, 53, dan 60 untuk meyakinkan.
$v=40$ maka $C=85k$
$v=53$ maka $C=82,9K$
$v=60$ maka $C=83,3k$
Dapat disimpulkan bahwa pada kecepatan 53 mil per jam adalah yang terbaik.
Kembali ke Daftar Isi

3. Gradien Garis Singgung, Kemonotonan dan Kecekungan Fungsi

Diberikan definisi sebagai berikut:

Definisi:
Andaikan $f$ terdefinisi pada selang $I$ (terbuka, tertutup, atau tak satupun). Kita katakan bahwa:
(i) $f$ adalah naik pada $I$ jika untuk setiap pasang bilangan $x_1$ dan $x_2$ dalam $I$,
$\quad x_1$ < $x_2 \iff f(x_1)$ < $f(x_2)$
(ii) $f$ adalah turun pada $I$ jika untuk setiap pasang bilangan $x_1$ dan $x_2$ dalam $I$,
$\quad x_1$ f(x_2)$
(iii) $f$ monoton murni pada $I$ jika ia naik pada $I$, ataupun jika ia turun pada $I$.

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Bagaimana kita memutuskan di mana suatu fungsi naik?. Seseorang mungkin menyarankan bahwa kita menggambarkan grafiknya dan memperhatikannya. Tetapi sebuah grafik biasanya digambar dengan merajah beberapa titik dan menghubungkan titik-titik tersebut dengan suatu kurva mulus. Siapa yang dapat yakin bahwa grafik tidak bergoyang diantara titik-titik yang dirajah. Kita memerlukan prosedur yang lebih baik. Perhatikan gambar 3.1 berikut:

3.1. Gradien Garis Singgung
Kita telah mengetahui apa itu gradien garis sejak sekolah menengah pertama. Pada bagian ini akan dibahas bagaimana cara mencari gradien garis yang menyinggung suatu grafik fungsi pada suatu titik. Berikut ini diberikan rumus atau teorema gradien garis singgung yang melibatkan turunan pertama.

Teorema Garis Singgung:
Suatu kurva $y$ dan suatu titik $(a, b)$ pada kurva itu. Diberikan $m$ adalah gradien garis yang melalui titik itu (menyinggung kurva) dirumuskan oleh:
$m=y'(a,b)$

Contoh 3.1.1:
Tentukan gradien garis singgung lingkaran $x^2+y^2+4x-6y+3=0$ pada titik (1, 2).
Penyelesaian:
Kita akan mencari $y’$ dengan menggunakan turunan implissit, sehingga kita peroleh:
$2x+2y.y’+4-6.y’=0$
$y’=(2x+4)/(6-2y)$.
Jadi, gradien garis singgungnya: $m=3$.

3.2. Kemonotonan Fungsi
Ingat kembali bahwa turunan pertama atau $f'(x)$ memberi kita kemiringan dari garis singgung pada grafik $f$ di titik $x$. Kemudian jika $f'(x)>0$, garis singgung naik ke kanan (lihat gambar 3.2 berikut).

Serupa, jika $f'(x)$ < 0, garis singgung jatuh ke kanan. Fakta-fakta ini membuat teorema berikut secara intuisi.

Teorema A:
(Teorema Kemonotonan). Andaikan $f$ kontinu pada selang $I$ dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam dari $I$.
(i) Jika $f'(x)>0$ untuk semua titik $x$ dari $I$, maka $f$ naik pada $I$.
(ii) Jika $f'(x)$ < 0 untuk semua titik $x$ dari $I$, maka $f$ turun pada $I$.

Teorema ini biasanya membolehkan kita secara persis menentukan dimana suatu fungsi yang terdiferensial naik dan dimana ia turun. Ini masalah Penyelesaian dua pertidaksamaan.

Contoh 3.2.1:
Jika $f(x)=2x^3-3x^2-12x+7$, cari dimana $f$ naik dan dimana $f$ turun.
Penyelesaian:
Kita mulai dengan mencari $f'(x)>0$ dan $f'(x)$ < 0.
$f'(x)=6x^2-6x-12$
$=6(x+1)(x-2)$
Maka kita peroleh:
$(x+1)(x-2)>0$ dan
$(x+1)(x-2)$ < 0.
Ini merupakan bentuk pertidaksamaan kuadrat yang telah kita pelajari. Jai:
$f$ naik pada $x$ 2$, serta
$f$ turun pada $x=(-1, 2)$
Grafik fungsi itu dapat dilihat dalam gambar 3.3 berikut:

Contoh 3.2.2:
Tentukan dimana $g(x)=x/(1+x^2)$ naik dan dimana turun?
Penyelesaian:
$g'(x)=\frac{(1+x^2)-x(2x)}{(1+x^2)^2}$
$=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$
$=\frac{(1-x)(1+x)}{(1+x^2)^2}$
Karena penyebut selalu positif, maka penyebut dapat kita abaikan. Maka untuk $g(x)$ naik pada:
$(x-1)(x+1)>0$
$x$ 1$,
Dan $g(x)$ turun pada: $(x-1)(x+1)$ < 0 atau $x=(-1, 1)$.

3.3. Kecekungan Fungsi
Sebuah fungsi mungkin naik, turun, atau tetap. Ini membuat kita menganalisa apakah grafik cekung ke bawah atau ke atas. Untuk menjawab ini, maka kita gunakan teorema kecekungan sebagai berikut:

Teorema B:
(Teorema Kecekungan). Diberikan $f$ terdiferensial dua kali pada selang terbuka $(a, b)$,
(i) Jika $f”(x)>0$ untuk semua $x$ dalam $(a, b)$, maka $f$ cekung ke atas pada $(a, b)$.
(i) Jika $f”(x)$ < 0 untuk semua $x$ dalam $(a, b)$, maka $f$ cekung ke bawah pada $(a, b)$.

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Untuk kebanyakan fungsi, teorema ini mengubah masalah penentuan kecekungan ke masalah penyelesaian ketaksamaan.

Contoh 3.3.1:
Dimana $f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+4$ naik, turun, cekung ke atas, dan cekung ke bawah?
Penyelesaian:
$f'(x)=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$
$f”(x)=2x-2=2(x-1)$
Dengan menyelesaikan ketaksamaan $(x+1)(x-3)>0$ atau $(x+1)(x-3)>0$ maka kita simpulkan bahwa $f$ naik pada $x=(-\infty, -1)$ dan $x=(3, \infty)$. Fungsi itu turun pada $x=(-1, 3)$.
Dengan menyelesaikan $2(x-1)>0$ dan $2(x-1)$ < 0 maka: $f$ cekung ke atas pada $x=(1, \infty)$ dan cekung ke bawah pada $x=(-\infty, 1)$.

Kembali ke Daftar Isi

4. Lebih Banyak Masalah Maksimum dan Minimum

Masalah yang telah kita pelajari sebelumnya (bagian 2) biasanya menganggap bahwa himpunan pada mana kita ingin memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi berupa selang tertutup. Tetapi, selang-selang yang muncul dalam praktek tidak selalu tertutup; kadang-kadang terbuka atau bahkan setengah terbuka, setengah tertutup. Kita masih tetap menangani masalah ini jika kita menerapkan secara benar. Ingat dalam hati bahwa maksimum atau minimum tanpa kata sifat tambahan berarti maksimum atau minimum global.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ekstrim Pada Selang Terbuka Kita berikan dua contoh untuk melukiskan prosedur yang sesuai untuk selang terbuka atau setengah terbuka.

Contoh 4.1:
Cari (jika mungkin) nilai maksimum dan minimum dari $f(x)=x^4-4x$ pada $(-\infty, \infty)$.
Penyelesaian:
$f'(x)=4x^3-4=4(x^2-1)$
$=4(x-1)(x^2+x+1)$
Karena $x^2+x+1=0$ tidak mempunyai penyelesaian bilangan riil, maka hanya terdapat satu titik kritis yaitu $x=1$. Untuk {$x$ < 1, $f'(x)$ 1$, $f'(x)>0$}. Maka $f$ turun disebelah kiri $x=1$ dan naik disebelah kanan $x=1$ sehingga $f(1)=-3$ adalah nilai minimum dari $f$. Serta jelas bahwa $f$ tidak mempunyai nilai maksimum. Perhatikan gambar 4.1 berikut:

Contoh 4.2:
Sebuah surat selebaran memuat 50 inci persegi bahan cetak. Jalur bebas cetak di atas dan di bawah selebar 4 inci dan di samping kiri dan kanan selebar 2 inci. Berapa ukuran surat selebaran tersebut yang memerlukan kertas sesedikit mungkin?
Penyelesaian:
Andaikan surat edaran mempunyai lebar $x$ dan tinggi $y$ (lihat gambar 4.2 berikut)

Maka luasnya adalah: $A=xy$
Kita bermaksud meminimumkan $A$, seperti terlihat dalam gambar, $A$ diungkapkan dalam bentuk dua variabel, situasi yang tidak kita ketahui bagaimana menanganinya. Tetapi kita akan mencari sebuah persamaan yang mengaitkan $x$ dan $y$ sehingga salah satu dari variabel ini dapat dihilangkan dari ungkapan untuk $A$. Ukuran bahan cetakan adalah $x-4$ dan $y-8$ dan luasnya adalah 50 inci persegi, sehingga $(x-4)(y-8)=50$. Jika kita selesaikan persamaan ini untuk $y$, kita peroleh:
$y=\frac{50}{x-4}+8$
Dengan penggantian ungkapan ini untuk $y$ dalam $A=xy$ memberikan:
$A=\frac{50x}{x-4}+8x$
Nilai-nilai $x$ yang diperbolehkan adalah $x=(4, \infty)$, kita ingin meminimumkan $A$ pada selang ini.
Sekarang $\frac{dA}{dx}=\frac{(x-4)50-50x}{(x-4)^2}+8$
$=\frac{8x^2-64x-72}{(x-4)^2}=\frac{8(x+1)(x-9)}{(x-4)^2}$.
Titik-titik kritis hanya diperoleh dengan menyelesaikan $dA/dx=0$, ini menghasilkan $x=9$ dan $x=-1$. Kita tolak $x=-1$ karena ia tidak dalam selang $(4, \infty)$. Karena $dA/dx$ 0$ untuk $x$ dalam $(9, \infty)$, kita simpulkan bahwa $A$ mencapai nilai minimumnya pada $x=9$. Nilai ini membuat $y=18$ (diperoleh dengan menggantikannya dalam persamaan yang mengaitkan $x$ dan $y$). Sehingga ukuran surat edaran yang akan memakai kertas paling sedikit adalah 9 inci x 18 inci.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Contoh 4.3:
Cari ukuran tabung tegak yang volumenya sebesar mungkin yang dapat ditempatkan di dalam sebuah kerucut tegak.
Penyelesaian:
Andaikan $a$ tinggi dan $b$ jari-jari dari alas krucut yang diketahui (dua-duanya konstanta). Nyatakan dengan $h$, $r$, dan $V$ masing-masing tinggi, jari-jari, dan volume dari tabung yang dimasukkan. Perhatikan gambar 4.3 berikut:

Volume tabung adalah:
$V=\pi r^2 h$
Dari segitiga-segitiga yang serupa, diperoleh:
$\frac{a-h}{r}=\frac{a}{b}$
yang memberikan
$h=a-\frac{a}{b}r$
Kita substitusikan $h$ dalam $V$ diperoleh:
$V=\pi r^2 (a-\frac{a}{b}r)$
$V=\pi ar^2-\pi \frac{a}{b} r^3$.
Kita ingin memaksimumkan $V$ untuk $r$ dalam selang [0, $b$]. (Seseorang secara yakin menganjurkan – dan dengan alasan yang benar – bahwa selang yang sesuai adalah (0, $b$). Sebanarnya, jawabnya sama saja, walaupun kita harus menerapkan Uji Turunan Pertama jika kita lakukan dengan menggunakan (0, $b$) sebagai daerah asal).
Sekarang,
$\frac{dV}{dr}=2 \pi ar-3 \pi \frac{a}{b} r^2=\pi ar (2-\frac{3}{b} r)$
Ini menghasilkan titik stasioner $r=2b/3$, yang memberikan tiga titik kritis yang harus ditinjau: 0, $2b/3$, dan $b$. Dengan melihat pada gambar itu bahwa $r=0$ dan $r=b$ keduanya memberikan volume 0. Jadi $r=2b/3$ harus memberikan nilai maksimum itu. Kita substitusikan $r$ dalam $h$ diperoleh $h=a/3$. Jadi, ukuran tabung tegak dalam krucut itu adalah $r=2b/3$ dan $h=a/3$.

Berdasarkan contoh-contoh di atas, kita menyarankan sebuah metode langkah demi langkah untuk dipakai dalam masalah maks-min terapan. Jangan mengikutinya secara membabi buta; kadang-kadang akal sehat menyarankan alternatif lain atau penghilangan beberapa langkah.
Langkah 1: Buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variabel-variabel yang sesuai untuk besaran-besaran kunci.
Langkah 2: Tuliskan rumus untuk besaran $Q$ yang harus dimaksimumkan atau diminimumkan dalam bentuk variabel-variabel tersebut.
Langkah 3: Gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghilangkan semua kecuali satu dari variabel-variabel ini dan karenanya menyatakan $Q$ sebagai fungsi dari satu variabel misalnya $x$.
Langkah 4: Tentukan himpunan nilai-nilai $x$ yang mungkin, biasanya sebuah selang.
Langkah 5: Tentukan titik-titik kritis (titik ujung, titik stasioner, titik singular). Paling sering titik-titik kritis kunci berupa titik-titik stasioner di mana $dQ/dx=0$.
Langkah 6: Gunakan teori bagian ini untuk memutuskan titik kritis mana yang memberikan maksimum atau minimum.
Kembali ke Daftar Isi

5. Penerapan Ekonomi

Setiap bidang ilmu mempunyai bahasanya sendiri-sendiri. Tentu saja ini benar untuk ekonomi, yang mempunyai kosakata yang dikembangkan sangat khusus. Sekali kita mempelajari kosakata ini, kita akan menemukan bahwa banyak masalah ekonomi sebenarnya merupakan masalah kalkulus biasa yang dikenakan baju baru.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Pandang sebuah perusahaan khas, PT ABC. Untuk memudahkan anggap bahwa ABC menghasilkan dan memasarkan sebuah barang; mungkin berupa televisi, aki kendaraan, atau sabun dalam peti. Jika ABC menjual $x$ satuan barang tahun ini, ABC akan mampu membebankan harga $p(x)$ untuk tiap satuan. Kita tunjukkan bahwa $p$ tergantung pada $x$ karena bilamana ABC memperbesar keluarannya, kemungkinan ABC akan perlu mengurangi harga tiap satuan agar dapat menjual seluruh hasil keluarannya. Pendapatan total yang dapat diharapkan ABC diberikan oleh $R(x)=x.p(x)$ (banyak satuan kali harga tiap satuan).
Untuk memproduksi dan memasarkan $x$ satuan, ABC akan mempunyai biaya total $C(x)$.Ini biasanya jumlah dari biaya tetap (keperluan kantor, pajak bangunan, dan sebagainya) ditambah biaya variabel, yang secara langsung tergantung pada banyaknya satuan yang diproduksi.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba, kita simbolkan $P(x)$, yakni selisih antara pendapatan dan biaya.
$P(x)=R(x)-C(x)$
$=x.p(x)-C(x)$
Umumnya sebuah perusahaan berusaha memaksimumkan total labanya. Pada dasarnya, suatu produk akan berupa satuan-satuan diskrit (anda tidak dapat membuat atau menjual 0,23 pesawat televisi atau 3,14 accu mobil). Jadi, fungsi $R(x)$, $C(x)$, dan $P(x)$ pada umumnya didefinisikan hanya untuk $x=$ 0, 1, 2, …. dan sebagai akibatnya, grafiknya akan terdiri dari titik-titik diskrit (perhatikan gambar 5.1 berikut).

Agar kita dapat mempergunakan kalkulus, titik-titik ini kita hubungkan satu sama lain sehingga membentuk kurva (perhatikan gambar 5.2 berikut).

dengan demikian $R$, $C$, dan $P$ dapat dianggap sebagai fungsi yang dapat didiferensialkan. Hal ini menggambarkan salah satu aspek dari model matematika yang hampir selalu diperlukan, terutama dalam ilmu ekonomi. Untuk membuat model dari suatu masalah yang nyata dijumpai, kita harus menyederhanakan beberapa asumsi. Ini berati bahwa jawaban yang kita peroleh hanya merupakan jawaban pendekatan – salah satu alasan bahwa ilmu ekonomi sedikit kurang sempurna.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Penggunaan kata Marjinal Dari masalah PT ABC, andaikan ABC mengetahui fungsi biaya $C(x)$ dan untuk sementara direncanakan memproduksi 2000 satuan tahun ini. Direktur utama PT ABC, Badirun ingin menetapkan biaya tambahan tiap satuan jika ABC memperbesar produksinya sedikit. Misalnya, apakah itu akan lebih sedikit dari pendapatan tambahan tiap satuan? Jika demikian, akan merupakan pertimbangan ekonomi yang baik untuk memperbesar produksinya. Jika fungsi biaya adalah seperti yang diperlihatkan dalam gambar 5.3 berikut:

Direktur utama Badirun menanyakan nilai $\Delta C/\Delta x$ pada saat $\Delta x=1$. Tetapi kita mengharapkan bahwa ini akan sangat dekat terhadap nilai
$\lim \limits_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta C}{\Delta x}}$
Pada saat $x=2000$, ini disebut biaya marjinal. Kita para matematikawan mengenalinya sebagai $dC/dx$, turunan $C$ terhadap $x$. Dengan nafas serupa, kita definisikan harga marjinal sebagai $dp/dx$.

Contoh 5.1:
Andaikan $C(x)=8300+3,25x+40 \sqrt[3]{x}$ rupiah. Cari biaya rata-rata tiap satuan dan biaya marjinal dan hitung mereka jika $x=1000$.
Penyelesaian:
Biaya rata-rata:
$\frac{c(x)}{x}=\frac{8300+3,25x+40x^{1/3}}{x}$
Biaya marjinal:
$\frac{dC}{dx}=3,25+\frac{40}{3}x^{-2/3}$
Pada $x=1000$, ini masing-masing mempunyai nilai-nilai 11,95 dan 3,38. Ini berarti bahwa rata-rata biaya tiap satuan adalah Rp11.950 untuk memproduksi 1000 satuan yang pertama; untuk memproduksi satu satuan tambahan di atas 1000 hanya memerlukan biaya Rp3.380.

Contoh 5.2:
Sebuah perusahaan memperkirakan bahwa akan dapat menjual 1000 satuan tiap minggu jika menetapkan harga satuan sebesar Rp3.000, tetapi bahwa penjualan mingguannya akan meningkat 100 satuan dengan tiap penurunan harga sebesar 100. Jika $x$ adalah banyaknya satuan yang terjual tiap minggu $(x \ge 1000)$, cari:
(a) fungsi harga, $p(x)$.
(b) banyaknya satuan dan harga yang berpadanan yang akan memaksimumkan pendapatan mingguan.
(c) pendapatan mingguan maksimum.
Penyelesaian:
(a) kita mengetahui bahwa
$x=1000 + \frac{3-p(x)}{0,1} (100)$
atau eqivalennya,
$p(x)=4-0,001x$.
(b) $R(x)=x p(x)=4x-0,001x^2$
$\frac{dR}{dx}=4-0,002x$
titik-titik kritis hanyalah titik ujung 1000 dan titik stasioner 2000, yang diperoleh dengan menetapkan $dR/dx=0$. Uji turunan pertama ($R'(x)>0$ untuk $1000 \le x$ < 2000 dan $R'(x)$ 2000$) memperlihatkan bahwa $x=2000$ memberikan pendapatan maksimum. Ini berpadanan terhadap harga satuan $p(2000)=$ Rp2.000.
(c) Pendapatan mingguan maksimum adalah $R(2000)=$ Rp4.000.000.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Contoh 5.3:
Dalam memproduksi dan menjual $x$ satuan komoditi tertentu, fungsi harga $p$ dan fungsi biaya $C$ (dalam ribuan rupiah) diberikan oleh:
$p(x)=5-0,002x $
$C(x)=3+1,1 x$
Cari ungkapan untuk pendapatan marjinal,biaya marjinal, dan keuntungan marjinal serta tentukan tingkat produksi yang akan menghasilkan keuntungan total maksimum.
Penyelesaian:
$R(x)=xp(x)=5x-0,002x^2$
$P(x)=R(x)-C(x)=-3+3,9x-0,002x^2$
Jadi, kita mempunyai turunan-turunan berikut:
Pendapatan marjinal: $\frac{dR}{dx}=5-0,004x$
Biaya marjinal: $\frac{dC}{dx}= 1,1$
Laba marjinal: $\frac{dP}{dx}=\frac{dR}{dx} – \frac{dC}{dx}=3,9-0,004x$
Untuk memaksimumkan laba, kita tetapkan $dP/dx=0$. Ini memberikan $x=975$ sebagai satu-satunya bilangan kritis yang ditinjau. Ia memang menyediakan suatu maksimum, seperti bila diperiksa dengan uji turunan pertama. Jadi laba maksimumnya adalah $P(975)=$ Rp1.898,25 (ribu) atau = Rp1.898.250,-. Perhatikan bahwa di $x=975$, pendapatan marjinal dan biaya marjinal dua-duanya adalah Rp1.100,-. Secara umum, sebuah perusahaan harus mengharapkan berada pada tingkat laba maksimum bila biaya produksi sebuah satuan tambahan tepat sama dengan pendapatan dari satuan tersebut.

Pernyataan yang baru dibuat menganggap bahwa fungsi biaya dan fungsi pendapatan adalah fungsi yang baik, fungsinya dapat didiferensialkan dan bahwa titik ujungnya tidak penting. Dalam beberapa situasi, fungsi biaya sebenarnya melompat, seperti bila ditambahkan seorang karyawan baru atau sebuah peralatan baru. Juga sebuah pabrik mungkin mempunyai kapasitas maksimum, sehingga memperkenalkan titik ujung penting. Kita berikan kemungkinan-kemungkinan ini dalam dua contoh berikutnya.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Contoh 5.4:
Perusahaan XYZ menghasilkan kursi rotan. Dengan mesinnya yang sekarang, mempunyai keluaran tahunan maksimum sebanyak 500 satuan. Jika ia membuat $x$ kursi, dan menetapkan harga $p(x)=200-0,15x$ (ribu) rupiah per buahnya dan akan mempunyai total biaya tahunan $C(x)=4000 +6x-0,001x^2 (ribu) rupiah. Berapa tingkat produksi yang memaksimumkan total laba tahunan?
Penyelesaian:
$R(x)=x p(x) = 200x-0,15x^2$
sehingga
$P(x)=R(x)-C(x)=-4000+194x-0,149x^2$. Jadi,
$\frac{dP}{dx}=194-0,298x=0$
yang menghasilkan titik stasioner 651. Tetapi 651 tidak pada selang [0, 500], sehingga titik-titik kritis yang diperiksa hanyalah kedua titik-titik ujung yakni 0 dan 500. Jika maksimumnya di 0 maka perusahaannya akan cepat bangkrut. Jadi maksimumnya terjadi di $x=500$ yang menghasilkan keuntungan maksimum sebesar $P(500)=$ Rp55.750.000,-.

Contoh 5.5:
Dengan tambahan sebuah mesin baru, perusahaan XYZ pada contoh 5.4 di atas dapat menaikkan produksi tahunannya sebanyak 750 kursi. Tetapi fungsi biayanya menjadi berbentuk
$C(x)= 4000+6x-0,001x^2$ jika $0 \le x \le 500$; dan
$C(x)=6000+6x-0,003x^2$ jika 500 < $x \le 750$.
Berapa tingkat produksi yang memaksimumkan total keuntungan tahunan dibawah situasi ini?
Penyelesaian:
Fungsi biaya baru menghasilkan fungsi keuntungan baru
$P(x)=-4000+194x-0,149x^2$ jika $0 \le x \le 500$; dan
$P(x)=-6000+194x-0,147x^2$ jika 500 < $x \le 750$; dan
Pada selang $x=$ (500, 750)
$\frac{dP}{dx}=194-0,294x$
yang memberikan titik stasioner $x=660$. Terdapat empat titik kritis yakni 0, 500, 660, dan 750. Nilai-nilai $P$ yang berpadanan adalah $-4000$, 55.750, 58.007, dan 56.813. Kita simpulkan bahwa suatu tingkat produksi 660 satuan memberikan keuntungan maksimum. Perhatikan grafik pada gambar 5.4 berikut yang memperjelas contoh ini.

Kembali ke Daftar Isi
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

6. Dalil L’Hopital

Dalil L’Hopital ini berkaitan dengan pencarian nilai limit fungsi bentuk fungsi rasional. Penggunaan dalil ini dapat dipakai jika hasil limitnya bentuk tak tentu. Jika anda belum mengetahui tentang apa itu limit, maka bisa membaca di link ini: Limit Fungsi Dasar
Diberikan dalil L’Hopital sebagai berikut:

Dalil L’Hopital:
Jika nilai dari $\lim \limits_{x \to c} {\frac{f(x)}{g(x)}}$ berbentuk tak tentu, maka berlaku:

$\lim \limits_{x \to c} {\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim \limits_{x \to c} {\frac{f'(x)}{g'(x)}}$. Dan jika nilainya masih berbentuk tak tentu maka tentukan turunan ke 2 sampai seterusnya sampai hasil limitnya ada.

Contoh 6.1
$\lim \limits_{x \to 0} {sin x/tanx}= ….$
Penyelesaian:
Jika kita cari dengan cara substitusi maka akan menghasilkan bentuk tak tentu 0/0. Jadi cara mudahnya kita gunakan dalil L’Hopital seperti yang dijelaskan di atas. Maka diperoleh:
$\lim \limits_{x \to 0} {sin x/tanx}=\lim \limits_{x \to 0} {cos x/sec^2x}=1$. (ingat turunan fungsi trigonometri, jika lupa bisa dibaca di link ini: Turunan Fungsi Trigonometri)

Contoh 6.2:
$\lim \limits_{x \to 0} {\frac{x-sin x}{1-cosx}}= ….$
Penyelesaian:
Jika kita cari dengan cara substitusi maka akan menghasilkan bentuk tak tentu 0/0. Jadi cara mudahnya kita gunakan dalil L’Hopital seperti yang dijelaskan di atas. Maka diperoleh:
$\lim \limits_{x \to 0} {\frac{x-sin x}{1-cosx}}=\lim \limits_{x \to 0}{\frac{1-cos x}{sinx}}$
Perhatikan bahwa jika kita substitusikan maka hasilnya 0/0, maka harus kita turunkan kembali, sehingga diperoleh:
$\lim \limits_{x \to 0}{\frac{1-cos x}{sinx}}=\lim \limits_{x \to 0}{\frac{sinx}{cosx}}=0$.
Jadi diperoleh hasil limitnya 0.

Contoh 6.3:
$\lim \limits_{x \to 1} {(2-x)^{1/(x-1)}}=….$
Penyelesaian:
Jika kita substitusikan langsung maka menghasilkan $1^{\infty}$, ini adalah bentuk tak tentu. Coba perhatikan penyederhanaan ini:
$=\lim \limits_{x \to 1} {e^{\frac{ln(2-x)}{x-1}}}$
Perhatikan bahwa bentuk pangkatnya adalah fungsi rasional, yang jika kita substitusikan $x=1$ akan menghasilkan bentuk tak tentu 0/0. Maka kita gunakan dalil L’ Hopital,
$=\lim \limits_{x \to 1} {\frac{ln(2-x)}{x-1}}=\lim \limits_{x \to 1} {\frac{-1/(2-x)}{1}}$
$=\lim \limits_{x \to 1}{\frac{-1}{2-x}}=-1$.
Jadi, $\lim \limits_{x \to 1} {(2-x)^{1/(x-1)}}=1/e$.
Kembali ke Daftar Isi

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

7. Teorema Nilai Rata-Rata

Dalam bahasa geometri, teorema nilai rata-rata mudah dinyatakan dan dipahami. Teorema ini mengatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak vertikal pada setiap titik antara $A$ dan $B$, maka terdapat paling sedikit satu titik $C$ pada grafik antara $A$ dan $B$ sehingga garis singgung di titik $C$ sejajar talibusur $AB$ . Perhatikan gambar 7.1 hanya terdapat satu titik $C$ yang demikian, dan dalam gambar 7.2 terdapat beberapa titik $C$.

Diberikan teorema nilai rata-rata sebagai berikut:

Teorema Nilai Rata-rata:
Jika $f$ kontinu pada selang tertutup [$a$, $b$] dan terdiferensial pada titik-titik dalam dari ($a$, $b$), maka terdapat paling sedikit satu bilangan $c$ dalam ($a$, $b$) dimana
$f(b)-f(a)=(b-a).f'(c)$

Dari teorema di atas maka kita dapat mencari titik $c$ dengan $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Contoh 7.1:
Cari bilangan $c$ yang dijamin oleh teorema nilai rata-rata untuk $f(x)=2\sqrt{x}$ pada selang [1, 4].
Penyelesaian:
$f'(x)=2.\frac{1}{2} x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}$.
dan
$\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=2/3$. Jadi $1/\sqrt{c}=2/3$ atau $c=9/4$.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Contoh 7.2:
Diberikan $f(x)=x^3-x^2-x+1$ pada selang $x=$ [$-1$, 2]. Jika titik $A(-1, f(-1))$ dan titik $B(2, f(2))$, maka berapa banyak garis singgung kurva yang sejajar dengan garis $AB$ dengan titik singgung $x$ masih berada dalam selang $x=$ [$-1$, 2]?.
Permasalahan semavam ini dapat diselesaikan dengan teorema nilai rata-rata.
$f'(x)=3x^2-2x-1$
dan
$\frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}=1$. Maka diperoleh:
$3c^2-2c-2=0$ (ini adalah persamaan kuadrat).
Karena nilai diskriminannya lebih besar nol, maka kedua akarnya riil, dan karena nilai ekstrimnya negatif maka terbuka ke atas. Jadi untuk mengetahui apakah akar-akar itu dalam selang [$-1$, 2] maka cukup kita substitusikan kedua titik ujung selang itu yakni $x=-1$ dan $x=2$ diperoleh:
$f(-1)=3>0$ dan $f(2)=6>0$, sehingga jelas bahwa kedua akar persamaan $3c^2-2c-2=0$ berada dalam selang [$-1$, 2]. Jadi, banyak garis singgung kurva yang sejajar dengan garis $AB$ dengan titik singgung $x$ masih berada dalam selang $x=$ [$-1$, 2] sebanyak 2 garis.
Kembali ke Daftar Isi

Itulah pembahasan tentang beberapa penggunaan turunan fungsi yang dapat dijelaskan dalam postingan ini. Jika para pembaca ada yang tidak paham, ingin menambahi ataupun mengkritik maka dipersilahkan untuk berkomentar pada kolom komentar yang disediakan di bawah. Sekian dan terima kasih, sampai jumpa di postingan lainnya, semoga bermanfaat.. MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\$‘,’\$’]]} }); https://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML

TURUNAN FUNGSI ALJABAR DAN SIFAT-SIFATNYA

Pada pertemuan kita kali ini, akan dijelaskan tentang turunan fungsi aljabar dasar yakni bentuk polinomial serta sifat-sifat turunan pada fungsi perkalian, pembagian dan perpangkatan.
Definisi asal turunan itu berasal dari bentuk limit berikut:
$f'(x)=\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Kemudian berikut ini bentuk suku polinomial sebagai pedoman rumus dasar turunan:
$ax^n$
Dimana:
$a$ dan $n$ adalah bilangan real, dan
$x$ adalah variabel fungsinya.
________________
Diberikan rumus cepat untuk turunan polinomial sebagai berikut:

Jika $y=ax^n$ maka $y’=a.nx^{n-1}$.
yang mengakibatkan bahwa turunan fungsi konstanta adalah nol (0).

Notasi turunan: suatu fungsi $f(x)$ memiliki turunan pertama, kedua, ketiga, dan ke-$n$ secara berturut-turut dinotasikan dengan:
$f'(x)$, $f”(x)$, $f”'(x)$, dan $f^{(n)}$.

Dapat juga dituliskan turunan ke-$m$ dari fungsi $y=f(x)$ sebagai berikut:
$y^{(m)}=\frac{d^my}{dx^m}$

Berikut ini sifat dasar turunan fungsi:
1. Jika $y=(f \pm g)(x)$ maka $y’=f'(x) \pm g'(x)$.
2. Jika $y=k.f(x)$ maka $y’=k.f'(x)$.
3. Jika $y=f.g$ dimana $f$ dan $g$ adalah suatu fungsi, maka $y’=f’.g+f.g’$.
4. Jika $y=f/g$ dimana $f$ dan $g$ adalah suatu fungsi, maka $y’=(f’.g-f.g’)/g^2$.
5. Jika $y=f^n$ dimana $f$ adalah fungsi dan $n$ bilangan riil, maka $y’=n.f’.f^{n-1}$.
6. Jika $y=f(g)$ dimana $f$ dan $g$ adalah suatu fungsi, maka $y’=[f'(g)].g’$

Contoh:
Tentukan turunan pertama fungsi $f(x)=\frac{3x.\sqrt{x+1}}{2x-1}$
Jawab:
Kita gunakan sifat yang ke 4, misalkan $m=3x\sqrt{x+1}$ dan $n=2x-1$ maka:
$f’=(m’.n-m.n’)/n^2$
Untuk mencari $m’$ kita gunakan sifat 3. Karena bentuk $\sqrt{x+1}$ pada $m$ itu sama dengan $(x+1)^{1/2}$ maka kita gunakan sifat 5. Maka
Turunan $\sqrt{x+1}$ adalah $\frac{1}{2}.1.(x+1)^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$. Jadi,
$m’=3 \sqrt{x+1}+\frac{3x}{2 \sqrt{x+1}}$ sederhanakan menjadi,
$m’=\frac{9x+6}{2\sqrt{x+1}}$
Untuk $n’$ sangat mudah yakni $n’=2$. Sehingga:
$f'(x)=\left [\frac{(2x-1)(9x+6)}{2\sqrt{x+1}}-6x\sqrt{x+1} \right]/(2x-1)^2$

________________
Berikut ini diberikan soal-soal latihan:
1. Tentukan $y’$ fungsi $y=-3x^2+6$
2. Tentukan $y’$ fungsi $y=2x^{-3}+6x^3+100$
3. Tentukan $y’$ fungsi $y=\sqrt{x}+5$
4. Tentukan $y’$ fungsi $y=x^{-2/3}-5x^{1/2}$
5. Tentukan $y’$ fungsi $y=-\sqrt{2x^{-3}}$
6. Tentukan $y’$ fungsi $y=-8x^3.(2x-7)^6$ 7. Tentukan $y’$ fungsi $y=(3x^2+1)/(x-5)$

Anda dapat bertanya pada kolom komentar jika kurang jelas. Sekian postingan kali ini semoga bermanfaat..
MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\$‘,’\$’]]} });

FUNGSI HIPERBOLIK DAN INVERSNYA

Di dalam matematika terapan digunakan banyak sekali campuran tertentu fungsi-fungsi $e^x$ dan $e^{-x}$. Oleh karena itu fungsi campuran ini kita beri nama khusus.

Definisi:
(Fungsi Hiperbol). Fungsi sinus hiperbol, cosinus hiperbol dan empat fungsi sejenis lainnya didefinisikan sebagai berikut:
sinh $x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$
cosh $x=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$
tanh $x=($sinh $x)/($cosh $x)$
coth $x=($cosh $x)/($sinh $x)$
sech $x=1/$cosh $x$
csch $x=1/$sinh $x$

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Istilah yang kita gunakan memberikan kesan seolah-olah ada hubungan dengan fungsi-fungsi trigonometri. Sebenarnya memang demikian adanya.
Pertama, kesamaan dasar fungsi hiperbol (semacam cos$^2x+$ sin$^2x=1$ dalam trigonometri) adalah:

cosh$^2x-$ sinh$^2x=1$

Untuk membuktikan ini, maka perhatikanlah:
cosh$^2x-$ sinh$^2x=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}$
$\quad \quad -\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}=1$

Kedua, ingatlah bahwa fungsi-fungsi trigonometri ada hubungan erat sekali dengan lingkaran satuan (perhatikan gambar 1 berikut).

Oleh karenanya, fungsi trigonometri itu sering juga dinamakan fungsi sirkular (dan istilah circle = lingkaran) atau fungsi lingkaran. Sesungguhnya persamaan $x=$ cos $t$, $y=$ sin $t$ adalah persamaan parameter lingkaran.
Begitu pula persamaan $x=$ cosh $t$, $y=$ sinh $t$ adalah persamaan cabang kanan hiperbol satuan, $x^2-y^2=1$ (Perhatikan gambar 2 berikut).

Selain itu dalam dua kasus ini, parameter $t$ berhubungan erat dengan luas $A$ daerah yang diarsir.

Oleh karena sinh $(-x)=-$sinh $x$, maka sinh adalah fungsi ganjil. Sedangkan karena cosh $(-x)=$cosh $x$, maka cosh adalah fungsi genap. Dengan demikian grafik $y=$ sinh $x$ simetri terhadap titik asal dan grafik $y=$ cosh $x$ simetri terhadap sumbu $y$. Grafik-grafik itu dapat kita lihat pada gambar 3 berikut:

Turunan Fungsi Hiperbol $\quad$ Apabila kita dapat menentukan
$D_x$ sinh $x$ dan $D_x$ cosh $x$
Maka turunan fungsi hiperbolik lainnya dapat dicari dengan menggunakan aturan turunan hasil bagi. Kita peroleh

$D_x$ sinh $x=D_x\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
$=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=$ cosh $x$

Dan

$D_x$ cosh $x=D_x\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
$=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=$ sinh $x$

Perhatikan bahwa fakta-fakta ini mengkonfirmasikan karakter dari grafik yang kita gambar. Misalnya, karena $D_x$ sinh $x=$ cosh $x>0$ maka grafik sinus hiperbolik selalu naik. Demikian pula, $D^2_x$ cosh $x=$ cosh $x>0$ yang berarti bahwa grafik sinus hiperbolik cekung ke atas. Di bawah ini adalah daftar dari 6 rumus penurunan.

$D_x$ sinh $x=$ cosh $x$
$D_x$ cosh $x=$ sinh $x$
$D_x$ tanh $x=$ sech$^2x$
$D_x$ coth $x=-$csch$^2x$
$D_x$ sech $x=-$sech $x.$ tanh $x$
$D_x$ csch $x=-$csch $x.$ coth $x$.

Contoh 1: Tentukan $D_x$ tanh$($sin$x)$.
Penyelesaian:
$D_x$ tanh$($sin$x)=$ sech$^2($sin$x).D_x($sin$x)$
$=$ cosh $x.$ sech$^2($sin$x)$.

Contoh 2: Tentukan $D_x$ cosh$^2(3x-1)$
Penyelesaian:
$D_x$ cosh$^2(3x-1)$
$=2.$cosh$(3x-1).D_x$cosh$(3x-1)$
$=2.$cosh$(3x-1).$ sinh$(3x-1).D_x(3x-1)$
$=6.$ cosh$(3x-1).$sinh$(3x-1)$

Contoh 3:
Tentukan $\int$ tanh$xdx$
Penyelesaian:
Ambil $u=$ cosh $x$, maka $du=$ sinh$xdx$. Jadi,
$\int$ tanh$xdx=\int ($sinh $x)/($cosh $x) \quad dx$
$=\int 1/u \quad du=$ ln$|u|+C$
$=$ ln |cosh$x$|$+C$
$=$ ln(cosh$x$)$+C$
Tanda nilai mutlak dapat dihilangkan, sebab cosh$x>0$.

Invers Fungsi Hiperbol $\quad$ Oleh karena sinus hiperbol dan tangen hiperbol adalah fungsi-fungsi yang turunannya selalu positif, maka fungsi-fungsi tersebut naik, jadi memiliki invers. Untuk memperoleh invers fungsi cosinus hiperbol dan secan hiperbol daerah asalnya kita batasi pada $x \ge 0$. Jadi:

$x=$ sinh$^{-1}y \iff y=$ sinh $x$.
$x=$ cosh$^{-1}y \iff y=$ cosh $x$ dan $x \ge 0$
$x=$ tanh$^{-1}y \iff y=$ tanh $x$.
$x=$ sech$^{-1}y \iff y=$ sech $x$ dan $x \ge 0$.

Oleh karena fungsi hiperbol dinyatakan dengan $e^x$ dan $e^{-x}$, maka tidak begitu mengherankan apabila invers fungsi hiperbol dapat dinyatakan dengan logaritma asli. Misalnya, perhatikanlah $y=$ cosh $x$ untuk $x \ge 0$ ini berarti bahwa:
$y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ $\quad x \ge 0$
Kita cari $x$ dari persamaan ini. Dengan mengalikan kedua ruas itu dengan $2ex$ maka kita peroleh berturut-turut $2ye^x=e^{2x}+1$, atau
$(e^x)^2-2y.e^x+1=0$, $\quad x \ge 0$
Apabila kita cari $e^x$ dari persamaan tersebut, maka kita peroleh:
$e^x=\frac{2y \pm \sqrt{4y^2-4}}{2}=y \pm \sqrt{y^2-1}$
Atau setelah ditarik logaritma aslinya, kita peroleh:
$x=$ ln$(y \pm \sqrt{y^2-1})$
Syarat agar $x \ge 0$ mengakibatkan bahwa kita harus memilih tanda positif. Sehingga:

cosh$^{-1}y=$ ln$(y + \sqrt{y^2-1})$

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Dengan cara yang hampir sama kita akan mendapatkan invers fungsi hiperbol yang lain, yaitu (setelah peranan $x$ dan $y$ kita tukar) sebagai berikut:

sinh$^{-1}x=$ ln$(x + \sqrt{x^2+1})$
cosh$^{-1}x=$ ln$(x + \sqrt{x^2-1})$
tanh$^{-1}x=\frac{1}{2}$ ln$(\frac{1+x}{1-x}), \quad x=(-1, 1)$
sech$^{-1}x=$ ln$(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}), \quad x=(0, 1]$

Tiap fungsi di atas dapat didiferensialkan, hasilnya sebagai berikut:

$D_x$sinh$^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$D_x$cosh$^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}, \quad x>1$
$D_x$tanh$^{-1}x=\frac{1}{1-x^2}, \quad x=(-1, 1)$
$D_x$sech$^{-1}x=\frac{-1}{x.\sqrt{1-x^2}}, \quad x=(0, 1)$

Contoh 4:
Buktikan bahwa $D_x$sinh$^{-1}x=1/\sqrt{x^2+1}$ dengan dua cara yang berlainan.
Penyelesaian:
Cara 1: jika $y=$ sinh$^{-1}x$ maka $x=$ sinh $y$.
Ruas kiri dan ruas kanan diturunkan menurut $x$, maka:
$1=($cosh$y).D_xy$. Jadi,
$D_xy=D_x($sinh$^{-1}x)=1/$cosh $y$
$=1/\sqrt{1+sinh^2y}=1/\sqrt{1+x^2}$
Cara 2: Gunakan bentuk logaritma sinh$^{-1}x$.
$D_x$sinh$^{-1}x=D_x$ln$(x+\sqrt{x^2+1})$
$=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}.D_x(x+\sqrt{x^2+1})$
$=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}.(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})$
$=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

Terapan Kurva Rantai $\quad$ Apabila sepotong kawat atau kabel homogen digantungkan antara dua titik tetap yang letaknya sama tinggi di atas lantai, maka kabel itu membentuk suatu kurva yang dinamakan kurva rantai (katenari) (perhatikan gambar 4 berikut).

Letak kurva itu dapat disesuaikan dengan suatu sistem koordinat sehingga persamaan kurva dapat ditulis sebagai
$y=a.$cosh $(x/a)$

Contoh 5:
Tentukan panjang kurva rantai $y=a.$cosh $(x/a)$ antara $x=-a$ dan $x=a$.
Penyelesaian:
Panjang yang dicari adalah:
$\int \limits_{-a}^{a}{\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}} \quad dx$
$=\int \limits_{-a}^{a}{\sqrt{1+sinh^2(\frac{x}{a})}} \quad dx$
$=\int \limits_{-a}^{a}{\sqrt{cosh^2(\frac{x}{a})}} \quad dx$
$=2.\int \limits_{0}^{a}{cosh(\frac{x}{a})} \quad dx$
$=2a.\int \limits_{0}^{a}{cosh(\frac{x}{a})}(\frac{1}{a})dx$
$=2a.$ sinh $(x/a) \Bigr|_{0}^{a}$
$=2a.$ sinh $1=2,35a$.

Demikianlah pembahasan materi ini, sampai jumpa dan semoga bermanfaat. MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\$‘,’\$’]]} });

REMAINDER THEOREM AND FACTORS ON POLYNOMIALS

1. Concept of the remainder theorem
The rest of the channelisation polynomials to be an interesting when the rest of the result of the substitution value of 0 divisor into the Shared Function. By that’s why then the mathematician examines the rest of the divisions in the remainder theorem.
a. Concept division remainder with divisor $(x-k)$.
On the division of polynomial by ordinary relationships have been known:
$f(x)=P(x).H(x)+S$
The divisor $P(x)$ will be replaced with the $(x-k)$, so:
$f(x)=(x-k).H(x)+S$
If $ x$ replaced with $k$ then:
$f(k)=(k-k).H(k)+S$ or
$f(k)=S$

Appear to be in the calculation of that if polynomials $f(x)$ divided by $(x-k)$ then the rest is $S=f(k)$

Example 1:
Determine the remainder of the division on the following functions:
a. $\quad f(x)=x^3-2x^2-5x+1$ divided $(x-2)$.
b. $\quad f(x)=x^4+3x^3-3$ divided $(x+1)$.
Answer:
a. $\quad S=f(2)$
$\quad =2^3-2.(2)^2-5.(2)+1$
$\quad =-9$
b. $\quad S=f(-1)$
$\quad =(-1)^4+3.(-1)^3-3$
$\quad =-5$
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Example 2:
Determine the value $t$ if:
a. $\quad x^3+tx^2+3x-(3+t)$ divided $(x-2)$ remainder 17
b. $\quad x^4+tx^3-3x^2+(t^2+1)x-16$ divided up $(x-2)$
Answer:
a. $\quad S=f(2)=17$
$\quad 17=2^3+t.(2)^2+3.(2)-(3+t)$
$\quad 17=8+4t+6-3-t$
$\quad -3t=-6$
$\quad t=2$.
b. $\quad S=f(2)=0$
$\quad 0=2^4+t.(2)^3-3.(2)^2$
$\quad +(t^2+1)(2)-16$
$\quad 0=t^2+4t-5$
$\quad t=-5$ dan $t=1$.

b. Concept division remainder with divisor $ax+b$.
In the division of polynomial it has been known relationship:
$f(x)=P(x).H(x)+S$
Because by divisor if $ax+b$ then $P(x)$ become $ax+b$, so
$f(x)=(ax+b).H(x)+S$
If $x=-b/a$ then:
$f(-b/a)=S$

Appear to be in the calculation that if $f(x)$ divided $ax+b$ then remainder is:
$S=f(-b/a)$

Example 3:
Determine devision remainder from:
a. $\quad 2x^3-3x^2+4x-7$ by divisor $(2x+3)$.
b. $\quad x^3+x^2-2x+8$ by divisor $(3x-2)$.
Answer:
a. $\quad S=f(-3/2)$
$\quad =2.(-3/2)^3-3.(-3/2)^2$
$\quad +4.(-3/2)-7=-53/2$
b. $\quad S=f(2/3)$
$\quad =(2/3)^3+(2/3)^2-2.(2/3)+8$
$\quad =200/27$

Example 4:
Determine the value $t$ if $f(x)=2x^3-(t+1)x^2-19x+20$ and $f(x)=2x^3-13x^2+17x+t$ divided by $(2x-3)$ produce remainder of the same.
Answer: For function $f(x)=2x^3-(t+1)x^2-19x+20$ then:
$S=f(3/2)=(-9t-16)/4$.
For function $f(x)=2x^3-13x^2+17x+t$ then:
$S=f(3/2)=(4t+12)/4$.
So,
$ (-9t-16)/4=(4t+12)/4$ or
$-9t-16=4t+12$
$t=-28/13$.

c. Concept division remainder with the divisor degrees of two or more and have the divisor factors
Because of the divisor degrees of two or more diverse types, then for that direct author provides examples of about the division remainder of degrees of two or more that has the factors. Next, the following theory the division remainder this will be able to be understand of every examples.

Example 5:
Determine the division remainder if $f(x)=x^4-2x^3+3x^2+3$ divided by $x^2-x-2$.
Answer:
Because divisor is degrees-2, then his remainder degrees-1. If that remainder is $S=mx+n$. So,
$f(x)=(x^2-x-2).H(x)+mx+n$
See that divisor $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$ then if divided by $(x-2)$, his remainder is:
$f(2)=2m+n=15$
And if divided by $(x+1)$ then:
$f(-1)=-m+n=9$
Then: $m=2$ and $n=11$.
So, $S=2x+11$.

Example 6:
Given polynomial $f(x)$. If $f(x)$ divided by $(x-1)$ then remainder is 5 and if divided by $(x+1)$ then remainder is $-3$. Determine the remainder if divided by $x^2-1$.
Answer:
If divisor is degrees-2 then remainder degrees is one. If remainder is $S=mx+n$ then:
$f(1)=m+n=5$ and $f(-1)=-m+n=-3$. Then, $m=4$ and $n=1$. So, $S=4x+1$.

Example 7:
Polynomial $f(x)$ if divided by $(x-1)$, $(x+1)$ and $(x-3)$ in a row the remainder is 12, 4, and 16. Determine the remainder if divided by $(x^2-1)(x-3)$.
Answer:
Because divisor is polynom of degrees-3 then the remainder is polynom of degrees-2. If the remainder is $S=kx^2+lx+m$, then:
$f(1)=k+l+m=12$
$f(-1)=k-l+m=4$ and
$f(3)=9k+3l+m=16$
If this is resolved then retrieved:
$k=-1/2,\quad l=4$ $\quad$ and $m=17/2$. So, $S=-x^2/2+4x+17/2$.

Example 8:
Given $f(x)=x^4+ax^3+6x+b$ divided up by $x^2+2x-3$. Determine velue $a$ and $b$.
Answer:
Because $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$ then,
$f(1)=a+b+7=0$ or $a+b=-7$.
$f(-3)=-27a+b+63=0$ or $-27a+b=-63$.
So, $a=2$ and $b=-9$.

Example 9:
If $f(x)$ divided by $x^2-1$ then remainder is $2x+3$, if divided by $x^2-4$ then remainder is $x+5$. Determine the remainder if divided by $x^2+x-2$.
Answer:
Because $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$ and take $S=mx+n$ then:
$f(-2)$ there is on divisor $x^2-4$ and $f(1)$ there is on divisor $ x^2-1$, then:
$f(-2)=-2m+n=3$ and $f(1)=m+n=5$.
So, $m=2/3$ and $n=13/3$, produce $S=2/3x+13/3$.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2. Concept the factor theorem
Note the following theorem:

$(x-k)$ is a factor of polynomial $f(x)$ if and only if $f(k)=0$.

Example 1:
Write down $f(x)=x^3-3x^2+4$ in form linear factors!
Answer:
See that $f(-1)=0$, then one of his factor is $(x+1)$. Next, by doing division of Horner, then:

Note: The number most left is the multiplier into the number of rows down.
Other factors is retrieved $x^2-4x+4=(x-2)^2$.
So, $f(x)=(x+1)(x-2)^2$.

Example 2:
One of the root equation $x^3-(3+2m)x^2+$
$(m^2+5m+3)x-2m(m+2)=0$ is 2. Calculate $m$ and the real constant roots of more!
Answer:
$f(2)=-m+1=0$ or $m=1$
Substitution $m=1$, then $f(x)=x^3-5x^2+9x-6=0$, and for looking for the other root then needed way the division of Horner as follows:

Then other factor: $x^2-3x+3$ (this factor form is quadratic). Because the value of the discriminant is smaller zero, then its constant factor is imaginary. So, the factors there are only 1 that is 2.

Looking for the properties of the root polynomial.
Pay attention to an explanation in the following image:

Example 3:
Known $x_1$, $x_2$ and $x_3$ is roots of the equation $2x^3-bx^2-18x+36=0$. Determine:
a. $\quad x_1+x_2+x_3$
b. $\quad x_1.x_2+x_1.x_3+x_2.x_3$
c. $\quad x_1.x_2.x_3$.
Answer:
Of the formula that is described in the picture above, then:
a. $\quad x_1+x_2+x_3=-(-b)/2=b/2$
b. $\quad x_1.x_2+x_1.x_3+x_2.x_3$
$\quad =-18/2=-9$
c. $\quad x_1.x_2.x_3=-36/2=-18$.

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\$‘,’\$’]]} });

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI DAN INVERSNYA

Dibawah ini disajikan rangkuman turunan fungsi-fungsi trigonometri sebagai berikut:

$D_x$sin $x=$ cos$x$
$D_x$cos$x=-$sin$x$
$D_x$tan$x=$sec$^2x$
$D_x$cot$x=-$csc$^2x$

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Fungsi-Fungsi Komposit $\quad$ Aturan di atas dapat kita rangkaikan dengan aturan rantai untuk memperoleh turunan fungsi $u$ yang lebih rumit. Misalnya, jika $u=f(x)$ dapat didiferensialkan, maka: $D_x$sin$u=$ cos$u.D_xu$.
Berikut ini diberikan beberapa contoh:

Contoh 1:
Tentukan $D_x$sin$(3x^2+4)$
Penyelesaian:
Ambil $u=3x^2+4$, maka:
$D_x$sin$(3x^2+4)=D_x$sin$u$
$=$ cos$u.D_xu$
$=$ [cos$(3x^2+4)$]$.6x$
$=6x.$cos$(3x^2+4)$.

Contoh 2:
Tentukan $D_x$tan$^2(9x)$
Penyelesaian:
Kita harus menggunakan dua kali aturan rantai, sebagai berikut:
$D_x$tan$^2(9x)=2.$tan$(9x).D_x$tan$(9x)$
$=2.$tan$(9x).$sec$^2(9x).D_x9x$
$=2.$tan$(9x).$sec$^2(9x).9$
$=18.$tan$(9x).$sec$^2(9x)$

Contoh 3:
Apabila $y=($sin$^2x)/(1-$cot$x)$, maka tentukan $dy/dx$
Penyelesaian:
$\frac{dy}{dx}=\frac{(1-cotx).D_xsin^2x-sin^2x.D_x(1-cotx)}{(1-cotx)^2}$
$=\frac{(1-cotx).2sinx.cosx-sin^2x.csc^2x}{(1-cotx)^2}$
$=\frac{2.sinx.cosx-2cos^x-1}{(1-cotx)^2}$

Turunan Fungsi Invers Trigonometri
Diberikan rumus-rumus sebagai berikut:

$D_x$sin$^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad x=(-1,1)$
$D_x$cos$^{-1}x=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\quad x=(-1,1)$
$D_x$tan$^{-1}x=\frac{1}{1+x^2}$
$D_x$sec$^{-1}x=\frac{1}{|x|.\sqrt{1-x^2}}\quad |x|>1$

Contoh 4:
Tentukan $D_x$sin$^{-1}(3x-1)$.
Penyelesaian:
Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh:
$D_x$sin$^{-1}(3x-1)=\frac{D_x(3x-1)}{\sqrt{1-(3x-1)^2}}$
$=\frac{3}{\sqrt{-9x^2+6x}}$

Contoh 5:
Tentukan $D_x$tan$^{-1}\sqrt{x+1}$
Penyelesaian:
$D_x$tan$^{-1}\sqrt{x+1}=\frac{D_\sqrt{x+1}}{1+(\sqrt{x+1})^2}$
$=\frac{1}{x+2}.\frac{1}{2}(x+1)^{-1/2}$
$=\frac{1}{2(x+2)\sqrt{x+1}}$

Tiap rumus pendiferensialan akan menghasilkan rumus integral, khususnya:

$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=$ sin$^{-1}x+C$
$\int \frac{dx}{1+x^2}=$ tan$^{-1}x+C$
$\int \frac{dx}{x.\sqrt{x^2-1}}=$ sec$^{-1}|x|+C$

Contoh 6:
Hitunglah $\int \limits_{0}^{1/2}{\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}$
Penyelesaian:
$\int \limits_{0}^{1/2}{\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}=$ sin$^{-1}x \Bigr |_{0}^{1/2}$
$=$ sin$^{-1}(1/2)-$sin$^{-1}0$
$=\pi/6-0=\pi/6$.

Contoh 7:
Seorang berdiri di atas sebuah bukit vertikal kira-kira 200 kaki di atas sebuah danau. Dia melihat sebuah perahu bermotor. Yang bergerak menjauhi bukit dengan laju 25 kaki per detik. Berapa laju perubahan sudut penglihatan $\theta$ (sudut depresi) apabila perahu berada pada jarak 150 kaki dari bukit itu?
Penyelesaian:
Perhatikan gambar berikut:

Dari gambar di atas tampak bahwa sudut depresi $\theta$ memenuhi hubungan:
$\theta=$ tan$^{-1}(200/x)$
Maka:
$\frac{d \theta}{dt}=\frac{1}{1+(200/x)^2}.\frac{-200}{x^2}.\frac{dx}{dt}$
$=\frac{-200}{x^2+40000}. \frac{dx}{dt}$
Apabila kita substitusikan $x=150$ dan $dx/dt=25$, maka kita peroleh: $d \theta /dt=-0,08$ radian per detik.

Demikian penjelasan materi ini, sampai jumpa dan semoga bermanfaat. MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\$‘,’\$’]]} });

FUNGSI TRIGONOMETRI INVERS

Enam fungsi dasar trigonometri (yaitu sinus, cosinus, tangen, cotangen, secan, dan cosecan) sudah kita pelajari, jika belum mengetahui tentang enam fungsi dasar trigonometri ini maka bisa dibaca di link ini: Trigonometri Dasar.
Mengenai fungsi inversnya, akan kita pelajari dibagian ini.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Fungsi Invers Sinus dan Cosinus $\quad$ Dalam kasus sinus dan cosinus, kita batasi daerah asalnya sedangkan daerah hasilnya kita ambil seluas mungkin asalkan fungsi itu memiliki invers. Kita definisikan fungsi-fungsi invers sinus dan cosinus sebagai berikut:

Definisi:
Untuk memperoleh invers dari sinus dan cosinus, kita batasi daerah asal fungsi sinus pada selang $x=[-\pi /2, \pi /2]$, dan fungsi cosinus pada selang $x=[0, \pi]$, sehingga:
$x=$ sin $^{-1} y \iff y=$ sin $x$
$x=$ cos $^{-1} y \iff y=$ cos $x$

Lambang sin$^{-1}$ dapat ditulis dengan arcsin dan cos$^{-1}$ dapat ditulis dengan arccos. Perlu diingat bahwa:

invers dari trigonometri itu menghasilkan nilai sudut baik dalam satuan derajat maupun satuan radian.

Contoh 1:
Hitunglah:
(a) sin$^{-1}(\sqrt{2}/2)$
(b) sin$^{-1}(-1/2)$
(c) cos$^{-1}(\sqrt{3}/2)$
(d) cos$^{-1}(-1/2)$
(e) cos(cos$^{-1}(0,6)$)
(f) sin$^{-1}$(sin $3\pi /2$).
Penyelesaian:
(a) sin$^{-1}(\sqrt{2}/2)=\pi /4$
(b) sin$^{-1}(-1/2)=-\pi /6$
(c) cos$^{-1}(\sqrt{3}/2)=\pi /6$
(d) cos$^{-1}(-1/2)=2\pi/3$
(e) cos(cos$^{-1}(0,6)$) = 0,6
(f) sin$^{-1}$(sin $3\pi /2$) $=-\pi/2$
Kita harus berhati-hati, khususnya pada soal (f). Salahlah kita kalau jawabannya $3\pi/2$ sebab arcsin$^{-1}y$ ada dalam selang $[-\pi/2,\pi/2]$. Untuk menyelesaikan soal (f) ini kita tulis
sin$^{-1}$(sin $3\pi/2$) = sin$^{-1}(-1)=-\pi/2$

Contoh 2:
Hitunglah:
(a) cos$^{-1}(-0,61)$
(b) sin$^{-1}(-0,87)$
(c) sin$^{-1}(1,21)$
(d) sin$^{-1}$(sin 4,13)
Penyelesaian:
Gunakan kalkulator dan gunakan pula satuan radian. Kalkulator sendiri telah disesuaikan sedemikian rupa sehingga jawabannya cocok dengan definisi yang telah kita berikan.
(a) cos$^{-1}(-0,61)$ = 2,2268569
(b) sin$^{-1}(-0,87)$ = $-$1,0552023
(c) Kalkulator memberikan suatu tanda sesuatu yang salah, sebab nilai sin$^{-1}(1,21)$ tidak ada.
(d) sin$^{-1}$(sin 4,13) = $-$0,9884073

Fungsi Invers tangen dan cotangen $\quad$ Kita juga membatasi nilai $x$ untuk invers tangen. Perhatikan definisi berikut:

Definisi:
Untuk memperoleh invers fungsi tangen, kita batasi daerah asalnya pada selang $x=(-\pi/2, \pi/2)$. Sedangkan untuk fungsi cotangen kita batasi daerah asalnya pada selang $x=(0, \pi)$. Sehingga:
$x=$ tan$^{-1}y \iff y=$ tan$x$
$x=$ cot$^{-1}y \iff y=$ cot$x$

Contoh 3:
Hitunglah:
(a) tan$^{-1}(1)$
(b) cot$^{-1}(\sqrt{3}$
(c) tan$^{-1}$(tan $\pi/4$)
(d) cot (cot$^{-1}(1/\sqrt{3})$
Penyelesaian:
(a) tan$^{-1}(1)=45$ derajat
(b) cot$^{-1}(\sqrt{3}=30$ derajat
(c) tan$^{-1}$(tan $\pi/4$) = tan$^{-1}(1)=\pi/4$ radian
(d) cot (cot$^{-1}(1/\sqrt{3})=$cot $(\pi/3)=1/\sqrt{3}$

Fungsi Invers secan dan cosecan $\quad$ Perhatikan definisi berikut:

Untuk memperoleh fungsi invers secan batasan $x=[0, \pi]$ dan $x \ne \pi/2$. Sedangkan untuk fungsi cosecan batasan $x=[\pi/2, 3\pi/2]$ dan $x \ne \pi$. Sehingga:
$x=$ sec$^{-1}y \iff y=$ sec$x$
$x=$ csc$^{-1}y \iff y=$ csc$x$

Karena sec$x=1/$(cos$x$) maka sec$^{-1}y=$ cos$^{-1}(1/y)$. Dengan cara yang sama maka diperoleh csc$^{-1}y=$ sin$^{-1}(1/y)$.

Contoh 4:
Hitunglah:
(a) sec$^{-1}(-1)$
(b) sec$^{-1}(2)$
(c) csc$^{-1}(2)$
Penyelesaian:
(a) sec$^{-1}(-1)=$ cos$^{-1}(-1)=\pi$
(b) sec$^{-1}(2)=$ cos$^{-1}(1/2)=\pi/2$
(c) csc$^{-1}(2)=$ sin$^{-1}(1/2)=\pi/6$

Empat Pemakaian Kesamaan $\quad$ Beberapa kesamaan yang berguna pada bagian ini adalah:

(1) sin (cos$^{-1}x$) $=\sqrt{1-x^2}$
(2) cos (sin$^{-1}x$) $=\sqrt{1-x^2}$
(3) sec (tan$^{-1}x$) $=\sqrt{1+x^2}$
(4) tan (sec$^{-1}x$) $=\sqrt{x^2-1}$

Kita dengan mudah dapat membuktikan empat kesamaan di atas. Sebagai contoh kesamaan pertama,
$cos (sin^{-1}x)=\sqrt{1-(sin (sin^{-1}x))^2}$
$=\sqrt{1-x^2}$

Contoh 5:
Hitunglah sin[2.cos$^{-1}(2/3)$]
Penyelesaian:
Ingat hubungan sudut ganda sin$2\alpha=2.$sin$\alpha$.cos$\alpha$. Dengan substitusi $\alpha=$ cos$^{-1}(2/3)$, maka diperoleh:
sin[2.cos$^{-1}(2/3)$]
$=2.$ sin[cos$^{-1}(2/3)$]. cos[cos$^{-1}(2/3)$]
$=2.(\sqrt{1-4/9}).(2/3)=4\sqrt{5}/9$

Contoh 6:
Buktikan bahwa
cos(2 tan$^{-1}x$) $=(1-x^2)/(1+x^2)$
Penyelesaian:
Kita gunakan hubungan sudut ganda cos$2\alpha=$ 2.cos$^2\alpha -1$. Dengan substitusi $\alpha=$ tan$^{-1}x$, maka:
cos(2 tan$^{-1}x$) $=$ cos $2\alpha$
$\quad=$ 2.cos$^2\alpha -1$
$\quad= 2/($sec$^2\alpha)$
$\quad= 2/(1+$ tan$^2\alpha)$
$\quad= [2/(1+x^2)]-1$
$\quad= (1-x^2)/(1+x^2)$

Demikianlah postingan kali ini, sampai jumpa dan semoga bermanfaat. MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\$‘,’\$’]]} });

RINGKASAN MATERI BILANGAN KOMPLEKS

Bilangan kompleks adalah bilangan yang mencakup bilangan riil dan imajiner. Bilangan kompleks didefinisikan oleh:

$z=x+iy$
Dimana $x$ dan $y$ adalah bilangan riil, serta
$i=\sqrt{-1}$.

Perhatikan bahwa pada definisi itu jika $y=0$ maka $z$ adalah bilangan riil. Jika $x=0$ maka $z$ adalah bilangan imajiner murni. Dan jika $x$ dan $y$ tidak nol maka $z$ adalah bilangan kompleks, ada juga yang mengatakan bilangan imajiner.
Kemudian perhatikan pernyataan penting berikut:

Daerah $x$ disebut dengan daerah riil dan daerah $y$ disebut dengan daerah imajiner.

Pernyataan di atas dapat kita gambarkan kedalam koordinat kartesius seperti berikut ini:

Contoh 1:
Gambarkan bilangan $z=3+4i$ dalam bentuk vektor!
Penyelesaian:
Mudah untuk kita gambarkan, perhatikan gambar berikut untuk menjawab contoh 1 di atas.

Im singkatan untuk sumbu atau daerah imajiner dan Re singkatan untuk sumbu atau daerah riil.

Kita beralih ke bentuk umum. Jika panjang vektor itu adalah $r$, panjang daerah riil adalah $x$, dan panjang daerah imajiner adalah $y$, maka:
$x^2+y^2=r^2$ (ingat dalil pythagoras). Lebih lanjut dalam trigonometri jika $\alpha$ adalah sudut apit $x$ dan $r$ maka bilangan $z$ dapat ditulis dengan:
$z=r.cos \alpha+i.r.sin \alpha$ atau
$z=r.(cos \alpha+i.sin \alpha)$ atau bisa disingkat dengan:
$z=r.$cis $\alpha$
Dimana cis $\alpha = cos \alpha+i.sin \alpha $
Dengan $\alpha=arctg(y/x)$
Bentuk $z=r.$ cis $\alpha$ disebut sebagai bentuk polar bilangan kompleks.

Contoh 2:
Ubahlah bentuk $z=3+4i$ ke dalam bentuk polar!
Penyelesaian:
$r=\sqrt{3^2+4^2}=5$
$\alpha = arc tg (4/3) \approx 0,927$, maka:
$z=$ 5. cis 0,9272

Berikut ini diberikan sifat-sifat bilangan kompleks:

Sifat-sifat bilangan kompleks:
1. Memiliki sifat komutatif terhadap penjumlahan dan perkalian
2. Memiliki sifat asosiatif terhadap penjumlahan dan perkalian
3. Memenuhi sifat distributif
4. Panjang $z$ ditulis dengan $|z|=r=\sqrt{x^2+y^2}$
5. Jika $z=x+iy$, maka konjugatnya adalah $\overline{z}=x-iy$
6. Nilai $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
7. Nilai $\overline{z_1.z_2}=\overline{z_1}.\overline{z_2}$

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Contoh 3:
Dengan menggunakan sifat di atas, diberikan bahwa:
$z_1=2-i$
$z_2=-3+4i$, dan
$z_3=-1-5i$.
Tentukan:
a. $z_1.(z_2+z_3)$
b. $|z_1+z_3-2.z_2|$
c. $\overline{z_2.z_3-3.z_1}$
Penyelesaian:
a. Dengan menggunakan sifat distributif maka kita peroleh bahwa:
$ z_1.(z_2+z_3)=z_1.z_2+z_1.z_3$
$z_1.z_2=-6+8i+3i+4=-2+11i$
$z_1.z_3=-2-10i+i-5=-7-9i$
Jadi, $ z_1.(z_2+z_3)=-9+2i$
b. $-2z_2=-2.(-3+4i)=6-8i$
$ z_1+z_3-2.z_2=1-6i+6-8i=7-14i$.
Jadi,
$|z_1+z_3-2.z_2|=\sqrt{49+196}=7\sqrt{5}$.
c. $\overline{z_2.z_3-3.z_1}= \overline{z_2}.\overline{z_3}-3.\overline{z_1}$
$=(-3-4i).(-1+5i)-3.(2+i)$
$=23-11i-6-3i=17-14i$
Jadi, $\overline{z_2.z_3-3.z_1}=17-14i$.

Pembagian Bilangan Kompleks $\quad$ Cara membagikan dua bilangan kompleks yaitu dengan mengalikan konjugat penyebutnya.
Contoh 4:
Tentukan $(2+i)/(-6+5i)$
Penyelesaian:
Dengan mengalikan dengan konjugat penyebutnya, maka menjadi:
$(2+i)(-6-5i)/[(-6+5i)(-6-5i)]$
$=(-7-16i)/61$

Kemudian berikut ini diberikan rumus perpangkatan bentuk polar yang diberikan sebagai berikut:

Untuk setiap bilangan riil $m$ maka berlaku: $\quad$ cis$^n \alpha=$ cis $n.\alpha$

Contoh 5:
Nilai dari $(-2+3i)^{2020}$ adalah ….
Penyelesaian:
Karena $-2+3i \approx -\sqrt{13}.$ cis $-0,9827$, maka
$(-2+3i)^{2020}=13^{1010}.$ cis $-1985,054$
$=13^{1010}.(0,9078+0,4191i)$

Kemudian diberikan rumus hubungan eksponen dengan bentuk polar bilangan kompleks sebagai berikut:

$e^{i.\alpha}=$ cis $\alpha$
Dimana $\alpha$ bersatuan radian.

Contoh 6:
Tentukan nilai $e^{\pi .i}$
Penyelesaian:
Dari rumus di atas diperoleh:
$e^{\pi .i}=$ cis $\pi=-1$.

Demikian ringkasan materi tentang Ringkasan Materi Bilangan Kompleks. Sampai jumpa dan semoga bermanfaat. MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\$‘,’\$’]]} });