Persentase dan Aritmetika Sosial.kotak { box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); padding: 10px; border: 1px solid grey; } .kuning { border: 4px #FFE500 double; padding: 10px;background-color: yellow; box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); } .hide{ overflow: hidden; text-indent: 100%; white-space: nowrap; }
Berikut ini akan disajikan materi, soal, dan pembahasan tentang persentase dan aritmatika sosial secara singkat, padat, dan jelas.
Materi:
1. Persentase
A. Pengertian
Bentuk umum:
$x$%$=x/100$.
Contoh: $$100\text{%}=\frac{100}{100}=1.$$
$$50\text{%}=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}.$$
dan sebagainya.
B. Perhitungan Dalam Persentase
Persentase $~a~$ terhadap $~b~$ dinyatakan dengan:
$$\frac{a}{b}.100\text{%}$$
$a\text{%}~$ dari $~b~$ dinyatakan dengan:
$$\frac{a}{100}.b$$
$a~$ adalah $~b~$ persen dari $~c~$ dinyatakan dengan:
$$a=b\text{%}.c$$
Persentase Perubahan:
$$\text{% Kenaikan}$$ $$=\frac{\text{besar kenaikan}}{\text{data awal}}\text{x 100%}$$ $$\text{% Penurunan}$$ $$=\frac{\text{besar penurunan}}{\text{data awal}}\text{x 100%}$$
Persentase Gabungan:
$$\text{%g}=\frac{\sum{x_k\text{%}.n_k}}{\sum{n_k}}$$ dengan $~k=$1, 2, 3, …
2. Aritmatika Sosial
A. Pengertian
B. Hitung Dagang
Untung = Harga Jual (HJ) $-$ Harga Beli (HB).
Rumus persen untung adalah: $$\text{% Untung}=\frac{\text{HJ}-\text{HB}}{\text{HB}}\text{100%}$$
Rugi = Harga Beli (HB) $-$ Harga Jual (HJ).
Rumus persen rugi adalah: $$\text{% Rugi}=\frac{\text{HB}-\text{HJ}}{\text{HB}}\text{100%}$$
C. Diskon
Contoh:
1. Jika sebuah toko memberikan diskon 30% untuk sepotong baju yang harga awalnya Rp100.000,- maka harga beli baju = 70%.100.000 = Rp70.000,-
2. Jika sebuah toko memberikan diskon 30% lalu didiskon lagi 40% untuk sepotong baju yang harga awalnya Rp $m$, maka:
Total diskon:
= 100%$-$(100%$-$30%)(100%$-$40%)
= 100%$-$(70%)(60%)
= 58%
Harga bayar:
= (70%)(60%).Rp$m$.
D. Bruto, Netto, dan Tara
Netto adalah berat isi.
Tara adalah berat kemasan.
Secara logis rumus hubungan ketiganya adalah: $$\text{Bruto}=\text{Netto}+\text{Tara}$$
E. Bunga Tunggal
$$T=T_0+p\text{%}.T_0.n$$ $T=$ Jumlah simpanan akhir.
$T_0=$ Jumlah simpanan awal.
$p$%$=$ Persen bunga per tahun.
$n=$ Banyak tahun.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Soal dan Pembahasan:
A. 46 $\quad ~$ D. 168
B. 72 $\quad ~$ E. 178
C. 84
2. Jika 12% dari 32 sama dengan 6% dari $p$, dan $$q=\sqrt[3]{p}+2$$ serta $r=q-p$ maka $p+q-r=… $
A. 82 $\quad ~$ D. 272
B. 128 $\quad ~$ E. 282
C. 196
3. Jika $~x~$ adalah jumlah seluruh diskon atas sebuah jam tangan yang dijual dengan dua kali diskon berturut-turut, yaitu 40% dan setelah itu 15% dan $~y~$ adalah persentase dari $9/20$ maka ….
A. $x ~\text{<} ~y$
B. $x \le y$
C. $x>y$
D. $x=y$
E. Hubungan $x$ dan $y$ tidak dapat ditentukan.
4. Jika $A=$ 66,67% dari 912, dan $$B=\sqrt{1156}+24^2$$ maka ….
A. $A~\text{<} ~B$
B. $A>B$
C. $A-B=1$
D. $A=B$
E. Hubungan $A$ dan $B$ tidak dapat ditentukan.
5. Jika $x$ adalah 6/7 dari 87,5% dan $$y=\frac{3}{5}:0,4.(50\text{%})$$ maka ….
A. $~x~ \text{<}~ y$
B. $~x>y$
C. $~x=y$
D. $~x \ne y$
E. Hubungan $x$ dan $y$ tidak dapat ditentukan.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
6. Persentase $(7\sqrt{3}-3\sqrt{2})$ terhadap $(112\sqrt{3}-48\sqrt{2})$ adalah …. %
A. 1,6 $\quad ~~$ D. 62,5
B. 6,25 $\quad ~$ E. 65
C. 16
7. $Q$ dan $R$ adalah titik-titik yang berada pada garis $PS$. Jika $PQ:PS=1:5$ dan panjang $QR$ adalah 35% panjang $QS$, berapa persenkah $QR$ dari $PS$?
A. 28% $\quad ~~~$ D. 65%
B. 43,75% $\quad ~$ E. 70%
C. 52%
8. Hafidz membeli empat kodi t-shirt senilai Rp1.280.000,-; satu gross lampu senilai Rp2.024.000,-; dan tiga lusin kemeja senilai Rp1.008.000,-. Maka ….
A. Harga 1 lampu > harga 1 t-shirt > harga 1 kemeja.
B. Harga 1 lampu > harga 1 kemeja > harga 1 t-shirt.
C. Harga 1 kemeja > harga 1 lampu > harga 1 t-shirt.
D. Harga 1 kemeja > harga 1 t-shirt > harga 1 lampu.
E. Harga 1 t-shirt > harga 1 lampu > harga 1 kemeja.
9. Jika 15% dari $z$ adalah $3y$ dan 25% dari $z$ adalah seperempat $x$ maka ….
A. $x~\text{<}~y$
B. $x>y$
C. $x=y$
D. $x-y=1$
E. Hubungan $x$ dan $y$ tidak dapat ditentukan.
10. Baldi seorang pedagang mukena. Salah satu stoknya seharga Rp60.000,- per mukena. Berapa harga yang harus dipasang agar Baldi mendapat untung 40% dan masih dapat memberi diskon 20% untuk satu mukena tersebut?
A. Rp125.000,-
B. Rp105.000,-
C. Rp100.800,-
D. Rp96.000,-
E. Rp90.000,-
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
11. Dedy menjual satu buku komik kepada Sony dengan keuntungan 25%. Karena malas membaca, Sony menjualnya kepada Roby dan rugi 15%. Jika Roby membayar Rp5.500,- untuk komik tersebut, maka uang yang dibayarkan Dedy untuk membeli komik tersebut adalah ….
A. Rp4.000,-
B. Rp4.500,-
C. Rp5.000,-
D. Rp5.400,-
E. Rp5.500,-
12. Jika 10% banyaknya uang Cici adalah 1/2 dari banyaknya uang Ana dan 5% dari banyaknya uang Cici sama dengan banyaknya uang Bina, maka persentase banyaknya uang Ana dikurangi banyaknya uang Bina terhadap banyaknya uang Cici adalah ….
A. 15% $\quad ~~$ D. 10,5%
B. 17,5% $\quad ~$ E. 10%
C. 18%
13. Di sebuah toko, rata-rata 95% payung terjual sepanjang Bulan September dan rata-rata 83% payung terjual sepanjang sebelas bulan lainnya. Maka rata-rata penjualan payung sepanjang tahun di toko tersebut adalah ….
A. 70% $\quad ~$ D. 84%
B. 74% $\quad ~$ E. 85%
C. 80%
14. 63 adalah berapa persen dari 252?
A. 25% $\quad ~$ D. 40%
B. 30% $\quad ~$ E. 45%
C. 35%
15. Setelah melewati proses penggilingan, gabah akan menyusut $20\text{%}$ setelah menjadi beras. Joko menggiling 100 kg gabah dan menjual beras hasil penggilingan seharga Rp6.800,- tiap kg nya, berapa total uang yang diperoleh Joko?
A. Rp500.000,-
B. Rp520.000,-
C. Rp530.000,-
D. Rp540.000,-
E. Rp544.000,-
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
16. Berapakah 4,5% dari 455?
A. 2,0475
B. 4,0475
C. 20,475
D. 40,475
E. 200,475
17. Jika $x$ adalah 3,87% dari 2475 dan $y$ adalah 24,75% dari 3870 maka ….
A. $x~\text{<}~y$
B. $x>y$
C. $x=y$
D. Hubungan $x$ dan $y$ tidak dapat ditentukan.
18. Jika $11a=8b$ dan $b \ne 0$ maka berapa persentase $b$ terhadap $11a-2b$?
A. 8,33% $\quad ~$ D. 60%
B. 16,67% $\quad ~$ E. 50%
C. 30%
19. Diketahui $$3a+8b=\frac{7}{3}$$ maka persentase $(9a+24b).b$ terhadap $16b$ adalah ….
A. 43,25% $\quad ~$ D. 87,50%
B. 43,75% $\quad ~$ E. 88,50%
C. 86,50%
20. Jika $9p/q=16$ dengan $q \ne 0$ maka berapa persen $5p-2q$ dari $10p$?
A. 8,125% $\quad ~$ D. 387,5%
B. 38,75% $\quad ~$ E. 88,75%
C. 81,25%
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
21. Seorang anak bernama Intan memiliki toko kue. Ia ingin mengetahui berapa persen dari konsumen yang membeli rainbow cake. Saat melakukan survei, ia memperhatikan bahwa 60% dari pengunjung tokonya akan membeli kue. Sebanyak 15% dari pengunjung yang membeli kue akan memilih rainbow cake. Berapa persen dari pengunjung toko yang akan membeli rainbow cake?
A. 7% $\quad ~$ D. 12%
B. 9% $\quad ~$ E. 8%
C. 15%
22. $$\frac{0,4\text{% x }~0,5\text{%}}{0,1\text{% x}~0,2\text{% x}~0,3\text{%}}=…$$
A. 3,333333
B. 33,33333
C. 333,3333
D. 3333,333
E. 33333,33
23. Seorang agen koran telah berhasil menjual 1684 buah koran dari 154 lusin koran yang tersedia. Maka persentase koran yang terjual adalah ….
A. 72,5% $\quad ~$ D. 88%
B. 85% $\quad ~$ E. 80%
C. 91,1%
24. Dua karung terigu masing-masing beratnya 15 kg dan 25 kg. Pada masing-masing karung terjadi penyusutan yang besarnya berturut-turut 2% dan 2,4%. Jika isi kedua karung tersebut digabung, maka persentase penyusutan isinya menjadi ….
A. 2,15% $\quad ~$ D. 3,25%
B. 2,0% $\quad ~$ E. 2,25%
C. 3,15%
25. Berapa kg pupuk yang mengandung 30% nitrogen yang harus ditambahkan pada 120 kg pupuk yang mengandung 20% nitrogen agar tercapai campuran pupuk yang mengandung 27,5% nitrogen?
A. 120 kg $\quad ~$ D. 480 kg
B. 240 kg $\quad ~$ E. 600 kg
C. 360 kg
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
26. Semula harga satu porsi mie ayam dan harga segelas jus jeruk masing-masing adalah Rp6.000,-. Setelah kenaikan harga minyak tanah, semangkuk mie ayam harganya naik 12% sedangkan harga segelas jus jeruk naik 8%. Kenaikan harga dari segelas jus jeruk dan satu porsi mie ayam adalah …. %
A. 66,67 $\quad ~$ D. 10
B. 32 $\quad ~$ E. 5
C. 20
27. $P$, $~Q$, $~R$, dan $S$ adalah titik-titik yang secara berurutan berada pada satu garis. Jika panjang $QR$ adalah 19% panjang $RS$ dan $PR:PS=2:5$ maka persentase $QR$ terhadap $PR$ adalah ….
A. 11,4%$\quad ~$ D. 47,5%
B. 28,5% $\quad ~$ E. 48%
C. 31,67%
28. $a$, $~b$, dan $c$ adalah bilangan positif dan $2ab=2c/3$. Jika nilai $a$ dinaikkan 25% dan nilai $b$ diturunkan 20% maka nilai $c$ sekarang adalah ….
A. naik 60%
B. naik 50%
C. turun 40%
D. turun 10%
E. tidak berubah.
29. Seorang pedagang membeli suatu barang dengan harga Rp40.000,- dan menjualnya kembali dengan mengharapkan laba 20%, maka harga jualnya adalah ….
A. Rp42.000,-
B. Rp44.000,-
C. Rp46.000,-
D. Rp48.000,-
E. Rp52.000,-
30. Seorang pedagang membeli sebuah barang seharga Rp120.000,-. Karena sepi pembeli, pedagang tersebut terpaksa menjualnya dengan kerugian 20% dari harga beli. Harga jual barang tersebut adalah ….
A. Rp112.000,-
B. Rp105.000,-
C. Rp100.000,-
D. Rp96.000,-
E. Rp95.000,-
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
31. Pak Budi menjual barang dagangannya seharga Rp80.000,- dan sudah mendapat keuntungan 25% dari harga belinya. Harga beli barang tersebut adalah ….
A. Rp60.000,-
B. Rp64.000,-
C. Rp75.000,-
D. Rp85.000,-
E. Rp100.000,-
32. Seorang anak bernama Intan membeli 27 kg minyak dengan total harga Rp351.000,-. Jika sepertiga minyak dijual dengan harga Rp15.000,- per kg dan sisanya dijual dengan harga Rp14.000,- per kg. Berapa persen keuntungan yang diperoleh Intan?
A. 10,26%$\quad~$ D. 12,60%
B. 12,06%$\quad~$ E. 10,62%
C. 16,02%
33. Dion membeli 20 kg beras jenis A seharga Rp6.000,- per kg dan 30 kg beras jenis B seharga Rp4.000,- per kg. Kedua jenis beras tersebut kemudian dicampur. Agar Dion mendapat untung 4%, maka beras campuran tersebut dijual seharga …. per kg.
A. Rp4.992,-
B. Rp5.720,-
C. Rp5.992,-
D. Rp6.720,-
E. Rp7.500,-
34. Sebuah mesin cuci mengalami penurunan harga secara berturut-turut 40% dan 20%. Berapa penurunan total harga mesin cuci tersebut?
A. 86%$\quad~$ D. 30%
B. 64%$\quad~$ E. 24%
C. 52%
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
35. Seorang anak bernama Sandy menabung uang sebesar Rp6.000.000,- di sebuah bank selama 2 tahun. Agar uang Sandy di tabungan menjadi Rp8.160.000,-, berapa persen suku bunga perbulannya?
A. 15%$\quad~$ D. 2,5%
B. 10%$\quad~$ E. 1,5%
C. 5%
Demikianlah pembahasan tentang persentase dan aritmatika sosial yang dilengkapi dengan soal dan pembahasan. Sampai jumpa di postingan lainnya dan semoga bermanfaat..
MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\\(‘,’\\)’]]} });
SOAL DAN PEMBAHASAN STATISTIKA
Soal dan Pembahasan Statistika.kotak { box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); padding: 10px; border: 1px solid grey; } .table1 { font-family: sans-serif; color: #444; text-align: center; border-collapse: collapse; width: 30%; border: 1px solid #f2f5f7; } .table1 tr th{ background: #35A9DB; text-align: center; color: #fff; font-weight: normal; } .table1, th, td { padding: 8px 10px; text-align: center; text-align: center; } .table1 tr:hover { background-color: #f5f5f5; text-align: center; } .table1 tr:nth-child(even) { text-align: center; background-color: #f2f2f2; }
A. $x~\text{<}~ y$ $\quad ~$D. $x-y=1$
B. $x>y \quad ~$ E. Semua salah
C. $x=y$
Penyelesaian:
Jawaban C.
$$x=\frac{37+51}{2}=44$$ $$y=\frac{38+50}{2}=44$$ Jadi $x=y$.
A. 90 $\quad ~~$D. 75
B. 85 $\quad ~~$E. 95
C. 80
Penyelesaian:
Jawaban A.
Kita pakai cara cepat:
Cari hasil pengurangan nilai rata-rata keinginan dengan semua nilai mata kuliah. Maka diperoleh: $7$, $-1$, $5$, dan $-6$, kemudian jumlahkan semua bilangan-bilangan ini, sehingga diperoleh: 5, terakhir jumlahkan dengan nilai rata-rata keinginan maka diperoleh: $85+5=90$.
A. 86 $\quad ~~$D. 88
B. 87 $\quad ~~$E. 89
C. 90
Penyelesaian:
Jawaban C.
Kita pakai cara cepat:
Cari hasil pengurangan nilai rata-rata keinginan dengan semua nilai mata pelajaran. Maka diperoleh: $4$, $-8$, $0$, dan $8$, kemudian kita jumlahkan nilai-nilai ini diperoleh: 4, terakhir jumlahkan dengan nilai rata-rata keinginan maka diperoleh: $86+4=90$.
A. 86 $\quad ~~$D. 80
B. 85 $\quad ~~$E. 81
C. 82
Penyelesaian:
Jawaban C.
$8+(-2)+0+(-9)=-3$
Jadi $85+(-3)=82$.
A. 6 $\quad ~~$D. 3
B. 5 $\quad ~~$E. 2
C. 4
Penyelesaian:
Jawaban D.
Misalnya umur Pak Hasan, istri, dan $x$ orang anaknya masing-masing adalah $h$, $i$, dan $a$ maka $$24=\frac{h+i+a}{x+2}$$ $$h+i+a=24x+48$$ dan karena tanpa salah satu anak Pak Hasan yang berumur 8 tahun menghasilkan rata-rata umur keluarga itu adalah 28 tahun, maka: $$28=\frac{h+i+a-8}{x+1}$$ $$h+i+a=28x+36$$ Jadi: $$24x+48=28x+36$$ $$-4x=-12$$ $$x=3$$
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
A. 13 $\quad ~~$D. 20
B. 16 $\quad ~~$E. 25
C. 19
Penyelesaian:
Jawaban C.
Jumlah total usia 4 orang anak $=11x+9$. Sehingga: $$\frac{11x+9}{4}=16$$ $$11x+9=16(4)=64$$ $$11x=64-9=55$$ $$x=5$$ kemudian kita urutkan usia 4 orang anak Pak Abi itu yakni: 7, 13, 19, dan 25. Jadi usia anak kedua Pak Abi adalah 19 tahun.
A. 90 $\quad ~~$D. 110
B. 99 $\quad ~~$E. 115
C. 100
Penyelesaian:
Jawaban D.
Misalkan jumlah kesepuluh bilangan itu $k$ maka rata-ratanya adalah $k/10$. Sehingga: $$k=\frac{k}{10}+99$$ Kedua ruas kita kali 10 maka: $$10k=k+990$$ $$9k=990$$ $$k=110$$
A. $x < y$
B. $x>y$
C. $x=y$
D. $x-y=1$
E. Hubungan $x$ dan $y$ tidak dapat ditentukan.
Penyelesaian:
Jawaban B.
$$\frac{9+27+x}{3}=\frac{y+24}{2}$$ $$\frac{36+x}{3}=\frac{y+24}{2}$$ Kita kali silang menjadi: $$72+2x=3y+72$$ $$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$$ karena $x$ dan $y$ bilangan positif, maka jelas bahwa $x>y$.
A. 16 $\quad ~~$D. 12
B. 14 $\quad ~~$E. 9
C. 13
Penyelesaian:
Jawaban B.
Jumlah umur 6 orang anak adalah: $~6x+6$.
Sehingga diperoleh: $$9=\frac{6x+6}{6}$$ $$x+1=9$$ $$x=8$$ Jadi jelas bahwa umur anak tertua adalah: $$\frac{3}{2}x+2$$ $$=\frac{3}{2}(8)+2=14$$
A. 15 $\quad ~~$D. 32,5
B. 27,5 $\quad ~~$E. 35
C. 30
Penyelesaian:
Jawaban D.
$$=\frac{15+50}{2}=32,5$$
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
A. 88$\quad ~~$D. 1716
B. 1144$\quad ~~$E. 1056
C. 2197
Penyelesaian:
Jawaban B.
Misalkan tiga bilangan bulat positif dari terkecil sampai terbesar adalah $a$, $~b$, dan $c$, maka: $$\frac{a+b+c}{3}=13$$ $$a+b+c=39$$ dan $$b+c=35$$ maka kita peroleh: $~a=4$. Kemudian kita tahu $~b-a=9~$ sehingga diperoleh $~b=13~$ maka $~c=22$. Jadi, $~abc=4(13)(22)$$=1144$.
A. $2:3 \quad ~~$D. $3:5$
B. $3:2 \quad ~~$E. $3:4$
C. $2:5$
Penyelesaian:
Jawaban A.
$$\frac{2x+y+3z}{3}=\frac{x+2z}{2}$$ Kita kali silang, diperoleh: $$4x+2y+6z=3x+6z$$ $$x=-2y$$ sehingga: $$\frac{x}{2x+y}=\frac{-2y}{-3y}$$ $$=2:3$$
A. 165,72 $\quad ~~$D. 166,83
B. 166,28 $\quad ~~$E. 167,50
C. 166,74
Penyelesaian:
Jawaban B.
Rata-rata gabungan = $$\frac{7(165)+6(168)+5(166)}{7+6+5}$$ $$=\frac{2993}{18}=166,28$$
A. $m < n$
B. $m=n$
C Hubungan $m$ dan $n$ tidak dapat ditentukan
D. $m=n^2$
E. $m>n$
Penyelesaian:
Jawaban
Kita pasti tahu rumus rata-rata gabungan yakni: $$\bar{x_g}=\frac{n_1.\bar{x_1}+n_2.\bar{x_2}+…}{n_1+n_2+…}$$ Sehingga: $$530=\frac{m(420)+n(560)}{m+n}$$ $$530m+530n=420m+560n$$ $$110m=30n$$ $$\frac{m}{n}=\frac{3}{11}$$ Jadi jelas bahwa $m < n$.
A. 60 $\quad ~~$D. 40
B. 50 $\quad ~~$E. 30
C. 45
Penyelesaian:
Jawaban D.
Kita gunakan rumus rata-rata gabungan, sehingga diperoleh: $$83=\frac{85Pi+78Pa}{Pi+Pa}$$ $$83Pi+83Pa=85Pi+78Pa$$ $$5Pa=2Pi$$ $$\frac{Pa}{Pi}=\frac{2}{5}$$ Jadi persentasenya adalah $~\frac{2}{5}$.100% = 40%
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
A. $6;~5,2 \quad ~~$D. $30;~26$
B. $5,2;~6 \quad ~~$E. $10;~20$
C. $26;~30$
Penyelesaian:
Jawaban B.
Karena seluruh data yang diubah, maka jelas bahwa hasilnya tetap, karena kali 5 dan dibagi 5 menjadi kali 1.
A. 7,6 $\quad ~~$D. 8,7
B. 7,76 $\quad ~~$E. 8,76
C. 8,6
Penyelesaian:
Jawaban B.
Jika jumlah dua data nilai yang salah itu adalah $t$, maka: $$\frac{t}{2}=6,7~\to t=13,4$$ Kemudian kita cari jumlah nilai yg tidak salah yakni ada 21 nilai, misalnya jumlah 21 nilai ini adalah $k$ maka: $$\frac{k+t}{23}=7,6$$ $$k+13,4=174,8$$ $$k=161,4$$ Jadi nilai rata-rata setelah perbaikan adalah: $$\frac{161,4+8,5+8,7}{23}=7,76$$
A. 3 $\quad ~~$D. 6
B. 4 $\quad ~~$E. 7
C. 5
Penyelesaian:
Jawaban C.
Kita gunakan rumus rata-rata gabungan. Misalkan $x$ adalah tambahan majalah, maka: $$5000=\frac{5(4000)+6000x}{5+x}$$ Kedua ruas kita bagi dengan 1000 maka menjadi: $$5=\frac{5(4)+6x}{5+x}$$ $$25+5x=20+6x$$ $$x=5$$
A. $~x < y$
B. $~x > y$
C. $~x=y$
D. $~y=2x$
E. Hubungan $x$ dan $y$ tidak dapat ditentukan
Penyelesaian:
Jawaban C.
misalkan $m$ adalah jumlah 8 bilangan yang tinggal, maka: $$\frac{m+x}{9}=8$$ $$m+x=72$$ dan $$\frac{m}{8}=7$$ $$m=56$$ Sehingga $~x=72-56=16$. Jadi $x=y$.
A. $3:4 \quad ~~$D. $9:8$
B. $4:3 \quad ~~$E. $9:10$
C. $8:9$
Penyelesaian:
Jawaban A.
Gunakan rumus rata-rata gabungan, sehingga diperoleh: $$\frac{16000a+18000b}{a+b}$$ $$=\frac{16000a.(1,15)+18000b.(0,9)}{a+b}$$ $$16a+18b=18,4a+16,2b$$ $$1,8b=2,4a$$ $$\frac{a}{b}=\frac{1,8}{2,4}=\frac{18}{24}$$ $$a:b=3:4$$
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
A. 0% sampai 10%
B. 5% sampai 15%
C. 10% sampai 15%
D. 10% sampai 20%
E. Tidak dapat ditentukan
Penyelesaian:
Jawaban A.
Misalkan data ke-5 itu $x$ maka:
Kemungkinan pertama $x$ terbesar: $$\frac{4+5+7+9+x}{5}=7$$ $$25+x=35$$ $$x=10$$ Kemungkinan kedua $x$ terkecil: $$\frac{x+4+5+7+9}{5}=5$$ $$x+25=25$$ $$x=0$$ Jadi kenaikan produksi yang mungkin pada priode ke-5 adalah berkisar antara 0% sampai 10%.
| Skor | 5 | 10 | 15 |
|---|---|---|---|
| Banyak Siswa | 8 | 12 | $x$ |
Jika median skornya adalah 10, maka nilai terbesar yang mungkin untuk $x$ adalah ….
A. 8 $\quad ~~$D. 20
B. 9 $\quad ~~$E. 21
C. 19
Penyelesaian:
Jawaban C.
Mudah bahwa dengan melihat posisi akhir skor 10 adalah $8+12=20$, maka tidak mungkin banyaknya skor 15 melebihi 19, karena kalau melebihi 19 maka median tidak lagi 10.
Berikut adalah data jumlah alat transportasi umum di Kota Bunga Seroja pada tahun 2004:
Diketahui bahwa jumlah bus sebanyak 216.
A. 660 $\quad ~~$D. 792
B. 780 $\quad ~~$E. 720
C. 864
Penyelesaian:
Jawaban E.
Kita cari dulu jumlah seluruh transportasi umum, yakni: $$\frac{360}{18}(216)=4320$$ Karena banyak transportasinya ada 6 maka rata-ratanya adalah: $$\frac{4360}{6}=720$$
A. 352 $\quad ~~$D. 480
B. 624 $\quad ~~$E. 384
C. 792
Penyelesaian:
Jawaban E.
Jumlah angkot = $$\frac{32}{18}(216)=384$$
A. 27,22 $\quad ~~$D. 43,33
B. 33,33 $\quad ~~$E. 32,22
C. 66,66
Penyelesaian:
Jawaban E.
Transportasi yang dimaksud adalah: Bus, Angkot dan Taxi yakni ada sebanyak: $$\frac{18+32+66}{18}(216)=1392$$ Jadi persentasenya adalah: $$\frac{1392}{4320}(100)$$ $=32,22$%
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
| Tahun | Angkatan Kerja (Juta Orang) |
Bekerja (Juta Orang) |
Pengang guran (Juta Orang) |
|---|---|---|---|
| 2009 | 113.83 | 104.87 | 8,96 |
| 2010 | 116.53 | 108.21 | 8.32 |
| 2011 | 117.37 | 109.67 | 7.70 |
| 2012 | 118.05 | 110.81 | 7.24 |
| 2013 | 118.19 | 110.80 | 7.39 |
Data di atas menunjukkan profil ketenagakerjaan di Indonesia tahun 2009$-$2013.
A. 1,02 $\quad ~~$D. 1,84
B. 2,07 $\quad ~~$E. 2,14
C. 1,19
Penyelesaian:
Jawaban B.
$\frac{7.39-7.24}{7.24}(100$%$)=2,07$
A. 156,76 $\quad ~~$D. 165,62
B. 156,60 $\quad ~~$E. 170,15
C. 176,67
Penyelesaian:
Jawaban C.
$$66,9=\frac{118,19}{x}(100)$$ $x=\frac{118,19}{66,9}(100)=$176,67.
A. 7,72 $\quad ~~$D. 7,89
B. 7,92 $\quad ~~$E. 8,02
C. 7,79
Penyelesaian:
Jawaban B.
$$=\frac{8,96+8,32+7,7+7,24+7,39}{5}=7,92$$
A. 6,13 $\quad ~~$D. 15,99
B. 6,67 $\quad ~~$E. 6,25
C. 14,99
Penyelesaian:
Jawaban E.
$=\frac{7,39}{118,19}(100$%$)=$6,25
Gambar di atas merupakan histogram nilai siswa pada materi integral parsial.
A. 53,5 $\quad ~~$D. 56,5
B. 54,5 $\quad ~~$E. 57,5
C. 55,5
Penyelesaian:
Jawaban A.
Perhatikan tabel bantu berikut:
| Nilai Tengah |
$f$ | $c$ | $f.c$ |
|---|---|---|---|
| 43 | 2 | $-2$ | $-4$ |
| 48 | 5 | $-1$ | $-5$ |
| 53 | 3 | 0 | 0 |
| 58 | 9 | 1 | 9 |
| 63 | 1 | 2 | 2 |
| Jumlah | 20 | 2 |
Untuk mencari nilai tengah maka jumlahkan tiap batas nilai pada histogram dengan setengah selisih batas nilai batang histogram. Perhatikan bahwa nilai $c$ harus ada nilai negatif, 0, dan nilai positif secara berurutan dari terkecil ke terbesar. Jadi: nilai rata-ratanya: $$\bar{x}=53+\frac{2}{20}(5)=53,5$$ Keterangan:
53 diambil dari nilai tengah pada baris nilai $0$.
2 adalah jumlah semua nilai pada kolom $f.c$
20 adalah jumlah seluruh frekuensi, dan
5 adalah panjang kelas (selisih batas nilai batang histogram).
A. 53,5 $\quad ~~$D. 56,5
B. 54,5 $\quad ~~$E. 57,5
C. 55,5
Penyelesaian:
Jawaban C.
Kita buat tabel bantu seperti berikut:
| Interval Nilai |
$f$ | $fk \le$ |
|---|---|---|
| $41-45$ | 2 | 2 |
| $46-50$ | 5 | 7 |
| $51-55$ | 3 | 10 |
| $56-60$ | 9 | 19 |
| $61-65$ | 1 | 20 |
| Jumlah | 20 |
Ingat rumus median pada tabel kelompok, yakni: $$Me=b+\frac{\frac{n}{2}-fk \le}{f_{Me}}.p$$ $$Me=50,5+\frac{10-7}{3}.5$$ $$Me=55,5$$
A. 53,54 $\quad ~~$D. 56,54
B. 54,54 $\quad ~~$E. 57,64
C. 55,64
Penyelesaian:
Jawaban E.
Nilai yang sering muncul itu disebut modus. Dari tabel bantu pada jawaban soal nomor 31 maka modus berada pada interval ke-4, artinya frekuensi yang paling banyak. Ingat rumus mencari modus dalam tabel kelompok yaitu: $$Mo=b_{Mo}+\frac{d_1}{d_1+d_2}.p$$ dimana:
$Mo$ adalah modus,
$b_{Mo}$ adalah batas kelas modus,
$d_1$ adalah selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelum modus,
$d_2$ adalah selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudah modus,
$p$ adalah panjang kelas.
Jadi: $$Mo=55,5+\frac{6}{6+8}(5)$$ $$Mo=57,64$$
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
| $x$ | $f$ |
|---|---|
| $10-16$ | 6 |
| $17-23$ | 3 |
| $24-30$ | 11 |
Varians dan simpangan baku berturut-turut dari tabel di atas adalah ….
A. 38,59 dan 6,21
B. 40,59 dan 8,31
C. 41,59 dan 8,21
D. 42,59 dan 9,21
E. 43,59 dan 10,21
Penyelesaian:
Jawaban A.
Pertama kita cari rata-ratanya, dengan menggunakan tabel bantu berikut:
| $x_i$ | $f$ | $c$ | $f.c$ |
|---|---|---|---|
| 13 | 6 | $-1$ | $-6$ |
| 20 | 3 | 0 | 0 |
| 27 | 11 | 1 | 11 |
| 20 | 5 |
Sehingga $$\bar{x}=20+\frac{5}{20}(7)$$ $$\bar{x}=21,75$$ Kemudian ingat rumus varians($s^2$) dan simpangan baku ($s$), sebagai berikut: $$s^2=\frac{\sum {f_i.(x_i-\bar{x})^2}}{n}$$ dan $$s=\sqrt{ \frac{\sum {f_i.(x_i-\bar{x})^2}}{n}}$$ Untuk memudahkan pekerjaan, kita buat tabel bantunya:
| $f_i(x_i-\bar{x})^2$ |
|---|
| 459,38 |
| 9,19 |
| 303,19 |
| 771,76 |
Jadi, varians dan simpangan bakunya adalah: $$s^2=\frac{771,76}{20}=38,59$$ $$s=\sqrt{38,59}=6,21$$
MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\\(‘,’\\)’]]} });
PERSAMAAN KUADRAT (LENGKAP)
Persamaan Kuadrat.kotak { box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); padding: 10px; border: 1px solid grey; } .kuning { border: 4px #FFE500 double; padding: 10px;background-color: yellow; box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); }
Berikut ini akan disajikan materi, soal, dan pembahasan tentang persamaan kuadrat (PK) secara singkat, padat, dan jelas.
Materi:
1. Bentuk Umum
Bentuk umum PK: $$ax^2+bx+c=0$$ dengan:
$a,~b,~c=$ bilangan ril.
$a \ne 0$.
Akar-akar persamaan kuadrat ada dua yaitu $x_1$ dan $x_2$.
2. Menentukan akar-akar
Ada 3 cara mencari akar-akar persamaan kuadrat:
1. Memfaktorkan
Contoh a:
Faktorkanlah $x^2-3x+2=0$
Jawab:
kita harus mencari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 2 dan jika dijumlahkan hasilnya $-3$ mudah untuk kita tebak kedua bilangan itu yakni: $-1$ dan $-2$. Jadi bentuk faktornya adalah: $(x-1)(x-2)=0$
Contoh b:
Faktorkanlah $2x^2-3x-2=0$
Jawab:
Berbeda dengan contoh a karena koefisien $x^2$ tidak bernilai 1. Caranya, kita kalikan koefisien $x^2$ dengan konstanta yang merupakan hasil konstanta baru dan koefisien $x^2$ menjadi 1, maka diperoleh:
$x^2-3x-4=0$ setelah itu faktorkan seperti contoh a, maka diperoleh $(x-4)(x+1)=0$ terakhir kita bagi dengan koefisien $x^2$ pada PK pertama, maka diperoleh: $$\left(x-\frac{4}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)=0$$
2. Melengkapkan bentuk kuadrat
Perhatikan perubahan bentuk berikut: $$ax^2+bx+c=0$$ $$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$ $$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+\frac{c}{a}=0$$ bentuk akhir ini adalah bentuk kuadrat sempurna.
Contoh:
Tentukan bentuk kuadrat sempurna dari $$-5x^2+3x+1=0$$ Jawab:
$$x^2-\frac{3}{5}x-\frac{1}{5}=0$$ $$\left(x-\frac{3}{10}x\right)^2+\frac{9}{100}-\frac{1}{5}=0$$ $$\left(x-\frac{3}{10}x\right)^2-\frac{11}{100}=0$$
3. Rumus $abc$:
Rumus ini diperoleh dari bentuk kuadrat sempurna yang mengakibatkan akar-akarnya dapat diperoleh secara langsung. Rumusnya adalah:
$$x_{1,~2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
3. Diskriminan (D)
Rumusnya: $~D=b^2-4ac$.
Sifat-sifatnya:
1. $~D>0$ (Akar-akar PK adalah ril dan berbeda).
2. $~D=0$ (Akar-akar PK sama atau kembar).
3. $~D<0$ (Akar-akar PK imajiner atau tidak ril).
4. Rumus-Rumus Akar
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ maka:
1. $$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$ 2. $$x_1.x_2=\frac{c}{a}$$ 3. $$x_1-x_2=\pm \frac{D}{a}$$
5. Membentuk Persamaan Kuadrat Baru
$x^2-$(jlh akar) $x+$ hasil kali akar $=0$
Rumus-rumus penjabaran akar-akar persamaan kuadrat
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$, maka berlaku:
1. $~{x_1}^2+{x_2}^2=$$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
2. $~{x_1}^3+{x_2}^3=$$(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)$
3. $~{x_1}^2-{x_2}^2=$$(x_1+x_2)(x_1-x_2)$
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Soal + Pembahasan:
1. Jika $~a-b=-12~$ dan $~a.b=-20~$ maka ….
A. $a < b$
B. $a>b$
C. $a=b$
D. $a \ge b$
E. Hubungan $a$ dan $b$ tidak dapat ditentukan.
Penyelesaian:
Jawaban A.
Karena angkanya kecil maka kita dapat dengan mudah menebaknya secara pasti bahwa $a=-10$ dan $b=2$. Jadi $a < b$.
2. Jika $p-q=8$, $~pq=12$, $~x=p^2+q^2-12$, dan $y=64$ maka ….
A. $x < y$
B. $x>y$
C. $x=y$
D. $x \ge y$
E. Hubungan $x$ dan $y$ tidak dapat ditentukan.
Penyelesaian:
Jawaban B.
Jika kita tebak bahwa $6$ dan $2$ atau $-2$ dan $-6$ ini tidak memenuhi. Maka kita gunakan cara lain, yakni secara aljabar bahwa dari $$p^2+q^2=(p-q)^2+2pq$$ $$p^2+q^2=(8)^2+2(12)$$ $$p^2+q^2=88$$ sehingga $x=88-12=76$. Jadi $x>y$.
3. Akar-akar dari persamaan kuadrat: $x^2-x-12=0$ adalah ….
A. 3 atau 4 $\quad~$D. $-2$ atau 6
B. $-3$ atau 4 $\quad~$ E. $-6$ atau 2
C. 3 atau $-4$
Penyelesaian:
Jawaban B.
Mudah bagi kita untuk memfaktorkannya, kita menebak dua bilangan yang hasil kalinya $-12$ dan hasil jumlahnya $-1$, ya benar bilangan itu adalah $-4$ dan 3. Sehingga faktornya adalah $(x-4)(x+3)=0$. Jadi $x=4$ atau $x=-3$.
4. Akar-akar dari persamaan kuadrat $2x^2-7x-15=0$ adalah ….
A. 2 atau 5 $\quad~$D. $-3/2$ atau 5
B. $-2$ atau 5 $\quad~$ E. $3/2$ atau $-5$
C. $3/2$ atau 5
Penyelesaian:
Jawaban D.
ingat kembali bahwa jika koefisien $x^2$ tidak sama dengan satu, maka terlebih dahulu kalikan koefisiennya dengan konstanta sehingga diperoleh PK baru: $$x^2-7x-30=0$$ $$(x-10)(x+3)=0$$ Kemudian kita bagi dengan koefisien $x^2$, jadi: $$\left(x-\frac{10}{2}\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)=0$$ $x=-\frac{3}{2}$ atau $x=5$
5. Pemfaktoran dari persamaan kuadrat $$9x^2-16y^2=0$$ adalah ….
A. $(9x-16y)(9x+16y)=0$
B. $(3x-4y)(3x+4y)=0$
C. $(4x-3y)(4x+3y)=0$
D. $(x-3)(x+4)=0$
E. $(x-4)(x-3)=0$
Penyelesaian:
Jawaban B.
ingat kembali bentuk aljabar $a^2-b^2=(a-b)(a+b)=0$. Perhatikan bahwa $$9x^2-16y^2=0$$ $$(3x)^2-(4y)^2=0$$ $$(3x-4y)(3x+4y)=0$$
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
6. Jika $9x^2-25y^2=56$ dan $3x+5y=14$ maka ….
A. $x < y$
B. $x>y$
C. $x \ge y$
D. $x=y$
E. Hubungan $x$ dan $y$ tidak dapat ditentukan
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa $$9x^2-25y^2=56$$ $$(3x-5y)(3x+5y)=56$$ $$(3x-5y)(14)=56$$ $$3x-5y=4$$ kemudian kita tambahkan dan kurangkan dengan $3x+5y=14$ maka diperoleh $6x=18$ atau $x=3$ dan $-10y=-10$ atau $y=1$. Jadi $x>y$.
7. $x~$ dan $~y~$ adalah bilangan asli dengan $~x>y$. Jika $~x^2-10x+24=0~$ dan $~xy+x+y=34~$ maka nilai $~x.y=….$
A. 35 $\quad~$D. 12
B. 24 $\quad~$ E. 10
C. 18
Penyelesaian:
Jawaban B.
Perhatikan bahwa $$x^2-10x+24=0$$ $$(x-6)(x-4)=0$$ sehingga $x=6$ atau $x=4$, kemudian kita substitusikan ke $$xy+x+y=34$$ maka diperoleh pasangan $(x,~y)$ yakni $(6,~4)$ dan $(4,~6)$. Karena diketahui $~x>y~$ maka kita ambil pasangan $(6,~4)$. Jadi $~x.y=24$.
8. Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan $x^2-3x+7=0$ maka nilai ${x_1}^2+{x_2}^2+3x_1x_2=…$
A. 4 $\quad ~$ D. 23
B. 10 $\quad ~$ E. 30
C. 16
Penyelesaian:
Jawaban C.
Perhatikan bahwa $${x_1}^2+{x_2}^2+3x_1x_2$$ $$=(x_1+x_2)^2+x_1x_2$$ Kita tahu $x_1+x_2=-b/a=3$ dan $x_1.x_2=7$ maka $$=(3)^2+7=16$$
9. Jika $p$ dan $q$ adalah akar-akar persamaan $3x^2-12x+21=0$ maka nilai dari $p^2+q^2+7pq=…$
A. 65 $\quad ~$ D. 49
B. 63 $\quad ~$ E. 35
C. 51
Penyelesaian:
Jawaban C.
$$p^2+q^2+7pq$$ $$=(p+q)^2+5pq$$ $p+q=-(-12)/3$,$~p+q=4$
$pq=21/3=7$. Jadi, $$(p+q)^2+5pq$$ $$=(4)^2+5(7)=51$$
10. Diketahui $a_1$ dan $a_2$ adalah akar-akar dari persamaan $a^2-6a-5=0$. Jika $m=a_1^2+a_2^2$ dan $n=(a_1+a_2)^2$ maka ….
A. $m < n$
B. $m=n$
C. Hubungan $m$ dan $n$ tidak dapat ditentukan
D. $m=n/2$
E. $m>n$
Penyelesaian:
Jawaban E.
Perhatikan bahwa $$m=(a_1+a_2)^2-2a_1a_2$$ $$m=(6)^2-2(-5)=46$$ dan $$n=(6)^2=36$$ Jadi $~m>n$.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
11. Jika diketahui $~m+n=20~$ dan $~mn=19~$ maka ….
A. $~m < n$
B. $~m=n$
C. Hubungan $m$ dan $n$ tidak dapat ditentukan
D. $~m+n>1$
E. $~m>n$
Penyelesaian:
Jawaban C.
Karena bilangannya kecil maka mudah bagi kita untuk menentukan nilai $m$ dan $n$ yakni $(m,n)=(19,1)$ dan $(m,n)=(1,19)$. Karena ada lebih dari satu kemungkinan maka hubungan $m$ dan $n$ tidak dapat ditentukan.
12. Jika $~a-b=-12~$ dan $~ab=-20~$ maka …
A. $~a>b$
B. $~a < b$
C. $~a=b$
D. $~a+b=0$
E. Hubungan $a$ dan $b$ tidak dapat ditentukan.
Penyelesaian:
Jawaban B.
Mudah kita tentukan nilai $a$ dan $b$ yakni $a=-2$ dan $b=10$. Jadi $a < b$.
13. Jika $a^3+a^2+a+2=x$ dan $a^4+3a^3+3a^2+$$3a+2=y$, maka …
A. $~x>y$
B. $~x < y$
C. $~x=y$
D. $~x+a=y$
E. Hubungan $x$ dan $y$ tidak dapat ditentukan.
Penyelesaian:
Jawaban E.
Perhatikan bahwa $a^4+3a^3+3a^2+$$3a+2=a^4+$$3(a^3+a^2+a)+2$ $=a^4+3(x-2)+2=y$, bentuk terakhir ini tidak dapat disederhanakan lagi sehingga hubungan $x$ dan $y$ tidak dapat ditentukan.
14. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5 adalah …
A. $~x^2-2x-5=0$
B. $~x^2-5x-2=0$
C. $~x^2-7x-10=0$
D. $~x^2-7x+10=0$
E. $~x^2+7x+10=0$
Penyelesaian:
Jawaban D.
ingat rumus membentuk persamaan kuadrat. Jadi mudah kita peroleh: $x^2-7x+10=0$
15. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali dari akar-akar persamaan kuadrat $~m^2+5m-6=0~$ adalah …
A. $~m^2+10m-24=0$
B. $~m^2+10m-12=0$
C. $~2m^2+10m-12=0$
D. $~m^2-10m+24=0$
E. $~2m^2+5m-6=0$
Penyelesaian:
Jawaban A.
Perhatikan bahwa:
Jumlah akar-akarnya adalah: $$2m_1+2m_2=2(m_1+m_2)$$ $$=2(-5)=-10$$ dan
Hasil kali akar-akarnya adalah: $$2m_1.2m_2=4.m_1.m_2$$ $$4.(-6)=-24$$ Jadi PK barunya adalah: $m^2+10m-24=0$.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
16. Jumlah dua bilangan riil adalah 4 dan selisih kuadrat dari kedua bilangan tersebut adalah 12. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kedua bilangan tersebut adalah …
A. $~x^2-4x+7=0$
B. $~x^2-4x-7=0$
C. $~2x^2-8x+7=0$
D. $~4x^2-16x+7=0$
E. $~4x^2-16x-7=0$
Penyelesaian:
Jawaban D.
Misalkan bilangan itu $x_1$ dan $x_2$ maka $x_1+x_2=4$ dan $x_1^2-x_2^2=12$ sehingga kita tinggal mencari nilai $x_1.x_2$. Perhatikan bahwa: $$x_1^2-x_2^2=4(x_1-x_2)$$ $$12=4(x_1-x_2)$$ $$x_1-x_2=3$$ kemudian eliminasikan dengan $x_1+x_2=4$ maka diperoleh $x_1=7/2$ dan $x_2=1/2$ sehingga $x_1.x_2=7/4$. Jadi PK barunya adalah: $$x^2-4x+\frac{7}{4}=0$$ kedua ruas kita kali 4 menjadi: $$4x^2-16x+7=0$$
17. Selisih dua bilangan adalah 6, dan jika kedua bilangan dijumlahkan hasilnya adalah 32. Berapa selisih dari kuadrat kedua bilangan tersebut?
A. 198 $\quad ~$ D. 192
B. 204 $\quad ~$ E. 288
C. 216
Penyelesaian:
Jawaban D.
Misalkan kedua bilangan itu $a$ dan $b$ maka $a-b=6$ dan $a+b=32$, jika kita kalikan maka hasilnya $a^2-b^2=192$.
18. Selisih dua bilangan positif adalah 5. Jumlah kuadratnya sama dengan 1500 kurangnya dari kuadrat jumlah kedua bilangan itu. Jumlah kedua bilangan tersebut adalah …
A. 45 $\quad ~$ D. 60
B. 50 $\quad ~$ E. 65
C. 55
Penyelesaian:
Jawaban C.
Misalkan kedua bilangan positif itu adalah $a$ dan $b$, maka $a-b=5$, $~a^2+b^2=(a+b)^2-1500$. Perhatikan bahwa $$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$$ $$a^2+b^2=25+2ab$$ sehingga diperoleh: $$25+2ab=(a+b)^2-1500$$ $$1525=a^2+b^2$$ kemudian substitusikan ke $~a^2+b^2=(a+b)^2-1500$ maka diperoleh: $~1525=(a+b)^2-1500$. Jadi $~a+b=\sqrt{3025}$$=55$.
19. Jika $x^2-43=200$ dan $y+6x=20$, maka pernyataan berikut yang benar adalah …
A. $x>y$ untuk semua nilai $x$.
B. $x>y$, jika $x$ bilangan positif.
C. $x < y$, jika $x$ bilangan positif.
D. $3x>2y$ untuk semua nilai $x$.
E. $x$ dan $y$ tidak dapat ditentukan.
Penyelesaian:
Jawaban B.
Kita tahu bahwa $x=\pm 9\sqrt{3}$ maka:
Jika $x=9\sqrt{3}$ maka $y=20-54\sqrt{3}$, dan
Jika $x=-9\sqrt{3}$ maka $y=20+54\sqrt{3}$
Dari kedua pasangan $x$ dan $y$ itu maka jelas bahwa hanya opsi B yang benar.
20. Jika $a$ dan $b$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^2-5x+(k+3)=0$ dan $a^3+b^3=35$, maka nilai $k=…$
A. $-15 \quad ~~$ D. 3
B. $-13\frac{2}{3} \quad ~$ E. 15
C. $-3$
Penyelesaian:
Jawaban D.
Secara aljabar, $$a^3+b^3$$ $$=(a+b)^3-3ab(a+b)$$ $$=(5)^3-3(k+3)(5)$$ $$-15k+80=35$$ $$k=3$$
MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\\(‘,’\\)’]]} });
ALJABAR
aljabar.kotak { box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); padding: 10px; border: 1px solid grey; } .kuning { border: 4px #FFE500 double; padding: 10px;background-color: yellow; box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); }
Pengantar
Semua orang tahu bahwa rasa ingin tahu yang kuat merupakan kunci kesuksesan dalam belajar. Pada bahasan ini akan difokuskan tentang kunci awal untuk sukses belajar matematika. Pasti kalian bertanya “judul postingannyakan aljabar?”. Memang judul besarnya aljabar dan memang aljabar merupakan kunci dasar dalam mempelajari ilmu matematika. Postingan ini akan mengupas tuntas tentang dasar aljabar yang pada hakikatnya materi aljabar ini luas sampai pada jenjang perkuliahan, tetapi pembahasan ini tidak sampai ke jenjang perkuliahan. Lalu apa sebenarnya aljabar itu?, aljabar memiliki lingkup yang luas, aljabar dapat diartikan suatu cara pengoperasian kalimat matematis. Kalimat matematis meliputi bilangan dan variabel, yang dapat dimodifikasi bentuknya tetapi memiliki kebenaran yang sama. Sebagai contoh bentuk kalimat $1+2$ memiliki kebenaran yang sama dengan $2+1$, ini salah satu contoh dalam aljabar. Akan lebih baik bila Kita mempelajari lingkup dasar aljabar yang meliputi:
Pokok-pokok pembahasan di atas merupakan lingkup dasar materi aljabar.
Apa itu bilangan?
Bilangan merupakan angka atau nilai atau skalar. Bilangan dapat menyatakan suatu keadaan ruang dan waktu yang dinyatakan dalam satuan tertentu. Sebagai contoh:
Saya memiliki 10 buku tulis.
Dia mengendarai sepeda motor dengan kecepatan 60 km/jam.
Ibu memasak kue selama 30 menit.
dan lain sebagainya.
Peran bilangan dan satuan sangat penting dan memang sudah ada sejak lama. Kita tidak akan jauh membahas tentang satuan. Yang akan kita bahas adalah bilangan. Secara logis bilangan terbagi dua yaitu bilangan nyata dan bilangan khayalan. Bilangan nyata sering disebut bilangan real/riil yang diambil dalam bahasa inggris dan bilangan khayal sering disebut bilangan imajiner yang juga diadopsi dalam bahasa inggris. Kita telah mempelajari garis bilangan sejak sekolah dasar, garis bilangan itu merupakan garis bilangan real. Bilangan real itu memuat bilangan rasional dan irrasional. Bilangan rasional terbagi atas bilangan bulat, cacah, asli, dan bilangan pecahan. Bilangan irrasional merupakan bilangan dengan desimal tak terbatas dan tak berulang. Bilangan rasional berasal dari kata rasio yang berarti pembagian dua bilangan, yakni berbentuk pecahan biasa. Berikut ini diberikan definisi bilangan rasional:
Kemudian apa itu bilangan bulat?. Bilangan bulat sudah kita pelajari sejak sekolah dasar. Kita tahu bilangan bulat itu meliputi …, $-3$, $-2$, $-1$, 0, 1, 2, 3, … dimana … menyatakan bilangan seterusnya. Perlu kita ketahui bahwa bilangan 0 bukan termasuk bilangan positif maupun negatif.
Bilangan cacah adalah bilangan yang dimulai dari 0, 1, 2, dan seterusnya. Bilangan asli adalah bilangan yang dimulai dari 1, 2, 3, dan seterusnya. Kemudian kita tahu bahwa bilangan pecahan dapat berbentuk pecahan biasa, campuran, dan desimal. Contoh bilangan pecahan biasa adalah $\frac{2}{3}$, $-\frac{5}{2}$, dan sebagainya. Contoh bilangan pecahan campuran yaitu $2\frac{1}{3}$, $-1\frac{7}{13}$, dan sebagainya. Contoh bilangan pecahan desimal yaitu $3,7651;$ $-2,4;$ dan sebagainya. Lalu contoh bilangan irrasional bagaimana?, contoh bilangan irrasional adalah $\pi$, $e$, bilangan akar tak sempurna, dan lain-lain. Kemudian apa itu bilangan imajiner?, bilangan imajiner tidak dipelajari secara khusus bahkan pada jenjang SMA, bilangan imajiner dipelajari secara khusus sewaktu perkuliahan. Berikut ini diberikan definisi bilangan imajiner.
Bilangan imajiner adalah bilangan yang berbentuk $~x+i.\sqrt{y}~$ dimana $x,~y \in R$ dan $y \ne 0$ serta $$i=\sqrt{-1}$$ Jika $x$ dan $y$ keduanya tidak nol maka bilangan itu adalah bilangan kompleks
Kemudian lambang bilangan,
untuk lambang bilangan real adalah $R$.
Lambang bilangan bulat adalah $Z$.
Lambang bilangan asli adalah $N$.
Lambang bilangan rasional adalah $Q$.
Lambang bilangan kompleks adalah $C$.
Pembaca pasti sudah mengerti tentang bilangan dan jenis-jenisnya yang sudah dijelaskan di atas. Selanjutnya kita akan membahas tentang operasi matematis.
Apa itu operasi matematis dasar?
Operasi matematis yaitu: tambah, kurang, kali, bagi, pangkat, akar pangkat dan logaritma. Apakah ada operasi matematis dasar lain?, tidak, tidak ada operasi matematis dasar lain. Ke tujuh operasi matematis itu adalah operasi matematis dasar. Lalu ada yang bertanya apakah operasi seperti trigonometri, turunan, integral, dan lain-lain merupakan operasi matematis?, ya mereka juga merupakan operasi matematis tingkat lanjut dan materinya juga dikhususkan. Tetapi operasi tingkat lanjut tidak lepas dengan operasi dasar yang berperan penting. Jadi pembaca sudah memahami bahwa operasi matematis dasar hanya ada 7. Kemudian kita akan mempelajari tentang apa saja sifat-sifat operasi matematis dasar?
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Apa saja sifat-sifat operasi matematis dasar?
Sebelum mengenal jauh sifat-sifat operasi dasar maka kita harus mengetahui sifat perjumpaan tanda positif dan negatif. Berikut ini sifat perjumpaan tanda:
- Tanda yang sama bila berjumpa maka hasilnya positif
- Tanda yang berbeda bila berjumpa maka hasilnya negatif
Sebagai contoh
$$-3+(-5)=-3-5$$ $$\frac{-8}{-2}=\frac{8}{2}$$ tanda positif dapat dihilangkan ketika awal penulisan.
kemudian berikut ini diberikan tiga sifat operasi dasar:
1. Sifat Komutatif
Sifat komutatif adalah sifat dimana suku-suku dalam kalimat matematis dapat berpindah tempat. Operasi yang memiliki sifat ini adalah operasi penjumlahan dan perkalian. Sebagai contoh $5-7$ akan sama dengan $-7+5$, contoh lain $-6.(3)$ akan sama dengan $-3.(6)$.
2. Sifat Asosiatif
Sifat asosiatif adalah sifat yang menggunakan tanda kurung. Sifat ini dimiliki oleh operasi tambah dan kali. Sebagai contoh $(3+4)+5=3+(4+5)$, contoh lain 3x(4×5)=(3×4)x5.
3. Sifat Distributif
Sifat distributif diberikan oleh:
$a.(b+c)=a.b+a.c$.
Contoh:
$-4.(7-8)=-4.(7)+(-4)(-8)=4$
1. $$\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$$ 2. $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a.d+b.c}{b.d}$$ 3. $$\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{a.c}{b.d}$$ 4. $$\frac{a}{b} : \frac{c}{d}=\frac{a.d}{b.c}$$ 5. $$\pm a\frac{b}{c}=\pm a \pm \frac{b}{c}$$
$$-\frac{3}{5}:\frac{-7}{10}.\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{4}\right)=…$$
Penyelesaian:
$$=\frac{3(10)}{7(5)}.\frac{2(4)+3(-1)}{3(4)}$$ $$=\frac{6}{7}.\frac{5}{12}$$ $$=\frac{5}{14}$$
Kemudian 2 lagi sifat penting yakni sifat perpangkatan dan sifat logaritma yang dapat anda baca di link ini:
Selanjutnya akan kita bahas mengenai kalimat matematis.
Apa itu kalimat matematis?
Kalimat matematis dalam aljabar dasar yaitu kalimat yang mempunyai tiga unsur penyusun yakni variabel, koefisien, dan konstanta. Diberikan definisi sebagai berikut:
Diberikan suatu kalimat matematis $$ax+c$$ dimana
$a$ adalah koefisien.
$x$ adalah variabel.
$c$ adalah konstanta.
Tentukan variabel, koefisien, dan konstanta dari kalimat $$-70cd^2+8$$
Penyelesaian:
variabelnya adalah $cd^2$.
koefisiennya adalah $-70$.
konstantanya adalah $8$.
Kemudian perhatikan contoh berikut ini:
Akan diisi 5 liter minyak ke dalam tong yang berisi minyak setengah bagian. Tentukan kalimat matematisnya dengan kapasitas tong sebagai variabel!
Penyelesaian:
Misalkan kapasitas tong adalah $x$ liter, maka mudah kita buat kalimat matematisnya, yakni: $$\frac{1}{2}x+5$$
Selanjutnya akan kita bahas mengenai pengubahan bentuk kalimat matematis.
Bagaimana mengubah bentuk kalimat matematis?
Mengubah bentuk kalimat matematis itu menggunakan sifat-sifat operasi yang telah kita pelajari sebelumnya. Kemudian penting juga bahwa pengubahan kalimat matematis dalam suatu persamaan. Misalnya contoh sederhana, $2+…=5$ kalimat ini mengandung titik-titik yang dapat kita variabelkan misalnya $x$, sehingga kalimat itu menjadi $2+x=5$, mudah untuk kita tebak bahwa nilai $x=3$. Lalu bagaimana dengan kalimat seperti ini $$-3.(5-…)-10=26…(a)$$ jika kalimatnya semakin kompleks pasti kita tidak dapat menebaknya secara langsung. Lalu bagaimana caranya?, caranya adalah mengoperasikan kedua ruas dengan operasi yang sama. Kita mulai dengan mengganti … menjadi $x$, kemudian ke dua ruas kita tambah 10 maka persamaan $(a)$ menjadi $$-3.(5-x)-10+10=26+10$$ diperoleh: $$-3.(5-x)+0=36$$ $$-3.(5-x)=36$$ kemudian ke dua ruas kita bagi dengan $-3$ maka diperoleh: $$5-x=-12$$ kemudian kedua ruas kita tambah dengan $(x+12)$ maka diperoleh: $$5+12=x$$ Jadi $x=17$.
Secara cepat kita dapat memindahkan langsung suku-suku lain sehingga pada satu ruas kita menemukan hanya satu suku yang tersisa. Dapat kita simpulkan bahwa:
Kali berpindah menjadi bagi atau sebaliknya.
Pangkat berpindah menjadi akar atau sebaliknya.
Contoh:
Carilah nilai $x$ dari persamaan: $$\frac{5}{3x^2-1}+10=35$$ Penyelesaian:
Dengan cara cepat, perhatikan hasil berikut: $$\frac{5}{3x^2-1}=25$$ $$5=25.(3x^2-1)$$ $$3x^2-1=\frac{1}{5}$$ $$3x^2=1+\frac{1}{5}$$ $$x^2=\frac{6}{5}:3=\frac{2}{5}$$ $$x=\sqrt{\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$$ Mungkin dari sebagian pembaca yang sudah mahir pemindahan suku dapat memperpendek langkah pengerjaan.
Lalu bagaimana jika kita ingin mengeluarkan pangkat?. Sebagai contoh: kita tahu bahwa $2^3=8$ maka $3=…$
Jawab:
untuk menjawab soal di atas maka bentuknya adalah logaritma, yakni $3=~^2log~8$. Untuk membahas lengkap tentang logaritma maka pembaca dapat membacanya dibagian sebelumnya tentang sifat operasi dasar aljabar dalam link logaritma dan sifat-sifatnya.
Apa itu persamaan?
Seperti yang sudah dalam contoh pada bagian sebelumnya. Persamaan itu disimbolkan dengan tanda “=” yang berada di tengah ruas kiri dan ruas kanan. Sebagai contoh $x+1=6$. Persamaan dalam aljabar itu dapat berupa bentuk polinom, bentuk rasional, dan bentuk campuran. Pada pembahasan ini hanya memperkenalkan apa itu persamaan. Jika anda ingin mengkaji lebih dalam tentang persamaan seperti persamaan polinomial, persamaan nilai mutlak, dan lain-lain. Selanjutnya akan kita bahas mengenai apa itu pertidaksamaan.
Apa itu pertidaksamaan?
Pertidaksamaan disimbolkan oleh: , $\le$, $\ge$, dan $\ne$. Khusus untuk tanda , $\le$, $\ge$ maka jika memindahkan operasi perkalian atau pembagian suku negatif maka lambangnya berubah arah. Sebagai contoh:
Tentukan akar penyelesaian dari $-2x+5 \ge 11$.
Jawab:
$$-2x+5 \ge11$$ $$-2x \ge 6$$ $$x \le -3$$
Demikianlah penjelasan mengenai dasar aljabar yang merupakan kunci dasar dalam ilmu matematika. Terima kasih dan sampai jumpa dalam postingan yang lainnya. MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\\(‘,’\\)’]]} });
PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU
Persamaan Diferensial Orde satu .kotak { box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); padding: 10px; border: 1px solid grey; } .kuning { border: 4px #FFE500 double; padding: 10px;background-color: yellow; box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); }
1. Pengantar PD Orde-1
2. PD Orde Satu Variabel Terpisah
3. PD Orde Satu Homogen
4. PD Orde Satu Linear
5. PD Orde Satu Eksak
Sebelum membahas lebih jauh maka anda diharuskan sudah menguasai materi turunan fungsi aljabar, turunan implisit, turunan fungsi trigonometri dan inversnya, turunan fungsi eksponen dan logaritma, dan teknik menghitung integral. Jika anda belum menguasai materi prasyarat di atas, maka anda dapat membacanya di link berikut ini:
1. Turunan fungsi aljabar
2. Turunan implisit
3. Turunan fungsi trigonometri dan inversnya
4. Turunan fungsi eksponen dan logaritma
5. Teknik menghitung integral
Jika anda sudah menguasai semua materi prasyarat di atas, maka anda dapat melanjutkan mempelajari materi persamaan diferensial orde satu ini.
1. Pengantar Persamaan Diferensial Orde Satu
Persamaan Diferensial (PD) adalah salah satu cabang metematika yang banyak digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah fisis. Masalah-masalah fisis tersebut dapat dimodelkan dalam bentuk PD. Pada perkembangan ilmu sekarang, PD sebagai model yang banyak dijumpai dalam bidang-bidang sains, teknologi (teknik), biologi, ekonomi, ilmu sosial, demografi. PD digunakan sebagai alat untuk mengetahui kelakuan maupun sifat-sifat solusi masalah yang ditinjau. Karena itu, penting sekali mempelajari PD. Dalam postingan ini akan dipelajari PD yang lebih sederhana yaitu PD orde satu. Setelah mempelajari materi ini, anda diharapkan memahami metode penyelesaian PD orde satu dan terampil menggunakannya. Secara lebih rinci, setelah mempelajari ini anda diharapkan dapat:
1. Mengidentifikasi tipe-tipe PD orde satu yang dapat diselesaikan.
2. Menentukan solusi umum PD orde satu.
3. Menentukan PD orde satu yang solusi umumnya diberikan.
4. Menentukan solusi khusus dengan menggunakan syarat awal.
5. Memilih metode dan menggunakannya untuk menyelesaikan PD orde satu.
6. Memberikan contoh masalah konkret yang dapat dirumuskan dalam bentuk PD orde satu serta menyelesaikannya dengan tuntas.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Suatu PD orde satu dapat dinyatakan secara umum dalam dua bentuk yaitu:
Bentuk Implisit:
$$F\left(x,~y,~\frac{dy}{dx}\right)=0$$ atau $$F(x,~y,~y’)=0$$
Bentuk Eksplisit:
$$\frac{dy}{dx}=f(x,~y)$$ atau $$y’=f(x,~y)$$
$$xy’+y^2+x^2+1=0$$ atau $$x\frac{dy}{dx}+y^2+x^2+1=0$$
$$y’=2y+e^x$$ atau $$\frac{dy}{dx}=2y+e^x$$
$$y”=2y+e^x$$ atau $$\frac{d^2y}{dx^2}=2y+e^x$$
Suatu fungsi $~y=y(x)~$ dikatakan solusi PD orde satu jika $~y=y(x)~$ dan turunannya $~y’~$ memenuhi PD orde satu.
Anda dapat memeriksa bahwa $~y=x^2+1~$ adalah solusi PD: $~y’=2x.~$ Demikian pula $~y=x^2+C~$ dengan $~C~$ adalah konstanta, juga merupakan solusi PD: $~y’=2x.$
Solusi PD yang menggunakan konstanta $~C~$ disebut solusi umum, sedangkan solusi yang tidak berkonstanta $~C~$ karena telah disubatitusikan oleh nilai fungsi yang diketahui disebut solusi khusus.
Jadi solusi umum suatu PD masih memuat konstanta $C$, sedangkan solusi khusus diperoleh dari solusi umum dengan mengambil konstanta $C$ suatu bilangan tertentu atau suatu solusi yang memenuhi syarat-syarat yang diberikan, misalnya syarat awal.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Tentukan solusi PD: $y’=cos~x$.
Penyelesaian:
Integralkan kedua ruas, maka diperoleh solusi umum PD itu adalah $y=sin~x+C$.
Jika diketahui $y(\pi/2)=10$ maka kita substitusikan $x=\pi/2$ dan $y=10$ sehingga diperoleh $$10=sin\left(\frac{\pi}{2}\right)+C$$ $$C=10-1=9$$ sehingga solusi khususnya adalah $y=sin~x+9$.
Tentukan solusi PD $y’=x^{-1}$.
Penyelesaian:
Kita integralkan kedua ruas maka diperoleh $y=ln(x)+C$.
2. PD Orde Satu Variabel Terpisah
PD orde satu yang dapat ditulis dalam bentuk $$g(y).y’=f(x)$$ disebut PD orde satu variabel terpisah.
Dengan mengambil $$y=\frac{dy}{dx}$$ maka PD orde 1 variabel terpisah dapat dituliskan dalam bentuk $$g(y)~dy=f(x)~dx$$
PD: $~xyy’+x^2+1=0~$ adalah PD variabel terpisah karena jika semua ruas kita bagi dengan $x$ maka diperoleh $$yy’+\left(\frac{x^2+1}{x}\right)=0$$ atau $$yy’=-\left(\frac{x^2+1}{x}\right)$$
Ubahlah PD $~x(y+1)y’+x^2(y^2+4)=0~$ ke dalam bentuk variabel terpisah!
Penyelesaian:
Kita dapat mengubah bentuknya secara aljabar maka $$x(y+1)y’+x^2(y^2+4)=0$$ $$x(y+1)y’=-x^2(y^2+4)$$ $$\left(\frac{y+1}{y^2+4}\right)y’=-x$$ $$\left(\frac{y+1}{y^2+4}\right)~dy=-x~dx$$
Tidak ada cara khusus untuk mengubah bentuk PD orde 1 variabel terpisah. Untuk menyelesaikan PD orde 1 variabel terpisah, cukup mengintegralkan kedua ruas menjadi: $$\int f(y)~dy=\int f(x)~dx+C$$
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Tentukan solusi dari PD $~xyy’+x^2+1=0$.
Penyelesaian:
Mudah kita ubah bentuk $~xyy’+x^2+1=0~$ menjadi: $$y~dy=-x-\frac{1}{x}~dx$$ sehingga: $$\int y~dy=\int \left(-x-\frac{1}{x}\right)~dx$$ $$\frac{1}{2}y^2=-\frac{1}{2}x^2-ln |x|+C$$
3. PD Orde Satu Homogen
Suatu PD orde satu dikatakan homogen apabila dapat diubah kedalam bentuk: $$y’=g\left(\frac{y}{x}\right)$$
Metode penyelesaian PD orde satu homogen dilakukan dengan substitusi $z=y/x$ sehingga PD homogen itu berubah menjadi PD variabel terpisah.
$$\int \frac{dz}{g(z)-z}= ln~x+C$$ dimana $$z=\frac{y}{x}$$
Tentukan solusi $~2xyy’+x^2-2y^2=0$.
Penyelesaian:
Semua ruas kita bagi $2x^2$ maka diperoleh: $$\frac{y}{x}y’+\frac{1}{2}-\left(\frac{y}{x}\right)^2=0$$ $$zy’+\frac{1}{2}-z^2=0$$ $$y’=z-\frac{1}{2z}=g(z)$$ $$\int \frac{dz}{g(z)-z}=\int \frac{dz}{-\frac{1}{2z}}$$ $$\int \frac{dz}{-\frac{1}{2z}}=-\int 2z~dz=-z^2$$ Jadi solusinya adalah: $~-\left(\frac{x}{y}\right)^2=ln~x+C$.
Solusi dari $$x.sin\left(\frac{y}{x}\right).y’=y.sin\left(\frac{y}{x}\right)+x$$ adalah ….
Penyelesaian:
Semua ruas kita bagi $x$ dan dengan mengganti $y/x=z$ maka diperoleh: $$y’=\frac{1+z.sin~z}{sin~z}=g(z)$$ $$\frac{dz}{g(z)-z}=\frac{dz}{1/sin~z}$$ $$\frac{dz}{g(z)-z}=sin~z~dz$$ $$\int sin~z~dz=-cos~z$$ Jadi solusinya adalah: $$-cos\left(\frac{y}{x}\right)=ln~x+C$$
4. PD Orde Satu Linear
$$(a_1x+b_1y+c_1)dx+(a_2x+b_2y+c_2)dy=0$$
Cara penyelesaian terdiri atas 3 kasus:
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Tentukan solusi umum PD: $$(4x-6y+2)dx+(2x-3y+3)dy=0$$
Penyelesaian:
Ini adalah cara penyelesaian pada kasus 2 yakni $$m=\frac{u+3}{-8u-12}$$ $$m=-\frac{1}{8}\left(\frac{u+3}{u+3/2}\right)$$ $$m=-\frac{1}{8}\left(1+\frac{3/2}{u+3/2}\right)$$ Kemudian semua ruas dari $~dx+m~du=0$ kita integralkan, diperoleh:
$$x-\frac{1}{8}\left[u+\frac{3}{2}ln\left(u+\frac{3}{2}\right)\right]=C$$ Jika kita substitusikan $u=2x-3y$ maka diperoleh solusi umumnya: $$6x+3y-\frac{3}{2}ln\left(2x-3y+\frac{3}{2}\right)=C$$
Tentukan solusi umum PD: $$(2x-y+2)dx+(x+2y+2)dy=0$$ Penyelesaian:
Ini adalah kasus 3, maka $$\frac{dv}{du}=\frac{v-2u}{u+2v}$$ Jika $v/u=z$, maka dengan membagikan pembilang dan penyebut dengan $u$ diperoleh: $$\frac{dv}{du}=\frac{z-2}{1+2z}=g(z)$$ mudah bagi kita untuk menyelesaikan $$\int \frac{dz}{g(z)-z}$$ Sehingga solusi umumnya adalah: $$u^2(z^2+1)=C^2.e^{-tan^{-1}z}$$
5. PD Orde Satu Eksak
Misalkan $f(x,~y)$ adalah suatu fungsi dua variabel maka diferensial total $df$ adalah: $$df=\frac{\partial f}{\partial x} dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$$
Tentukan diferensial total fungsi $f(x,~y)=x^3y^2$
Penyelesaian:
$$df=3x^2y^2dx+2x^3ydy$$
Tentukan diferensial total fungsi $f(x,~y)=x.sin~y-y^2$
Penyelesaian:
$$df=sin~y~dx+(x.cos~y-2y)~dy$$
Sekarang PD orde satu eksak didefinisikan sebagai berikut:
Suatu PD orde satu berbentuk: $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$ disebut eksak apabila terdapat fungsi $f(x,y)$, sehingga $df(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy$ dan syarat penting: $$\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}$$
Karena $$\frac{\partial f}{\partial x}=M(x,y)$$ dan $$\frac{\partial f}{\partial y}=N(x,y)$$ maka: $$f(x,y)=\int M(x,y)~dx+g(y)=C$$ dimana $$\frac{\partial (\int M(x,y)~dx)}{\partial y}+g'(y)=N(x,y)$$ Kemudian kita tinggal mencari $g(y)=\int g'(y)~dy$
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Solusi umum persamaan diferensial $$\left(x+\frac{2}{y}\right).y’=-y$$ adalah ….
Penyelesaian:
Mudah untuk kita ubah menjadi: $$\left(x+\frac{2}{y}\right)dy+ydx=0$$ Kita tahu dari definisi PD orde satu eksak bahwa: $M=y$ dan $N=x+2/y$ yang kita peroleh bahwa syarat pentingnya terpenuhi bahwa: $$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=1$$ sehingga PD pada contoh ini adalah PD eksak. Kemudian diperoleh: $$f=xy+g(y)$$ karena $$\frac{\partial f}{\partial y}=x+g'(y)$$ $$=N=x+\frac{2}{y}$$ sehingga $g'(y)=2/y$ sehingga jelas bahwa $g(y)=2.ln~y$. Jadi solusi umumnya adalah $f=xy+2.ln~y=C$.
Solusi umum persamaan diferensial $e^ydx+(xe^y+2y)dy=0$ adalah ….
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa: $$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=e^y$$ maka PD itu eksak, sehingga kita peroleh: $$f(x,y)=xe^y+g(y)$$ dan $$\frac{\partial f}{\partial y}=N$$ $$xe^y+g'(y)=xe^y+2y$$ maka kita peroleh: $~g'(y)=2y$, atau $~g(y)=\int 2y~dy=y^2$. Jadi solusi umumnya adalah: $$xe^y+y^2=C$$
Demikianlah postingan materi PD orde satu ini, sampai jumpa di postingan lainnya dan semoga bermanfaat,, MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\\(‘,’\\)’]]} });
MODUL KULIAH MATEMATIKA
Pada postingan ini, saya akan membagikan beberapa modul matematika melalui google drive. Modul ini dapat dipakai untuk mahasiswa yang mengambil jurusan matematika dan modul ini juga dapat digunakan untuk umum. Anda dapat mendownloadnya langsung melalui google drive anda. Beberapa materi di modul ini: Analisis Kompleks, Kombinatorika Lengkap, Aljabar Abstrak, Analisis real, dan yang lainnya.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Berikut ini link menuju modul-modul matematika:
Modul Matematika
LOGARITMA DAN SIFATNYA
Logaritma dan sifatnya.kotak { box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); padding: 10px; border: 1px solid grey; }
Apakah kamu pernah berfikir sewaktu pertama kali mempelajari logaritma bahwa ia sulit?
Pada postingan ini akan dijelaskan secara lengkap bagaimana sifat-sifat logaritma itu ditemukan. Tetapi sebelum mempelajari logaritma, kamu harus sudah mengetahui tentang perpangkatan. Jika belum mengetahui tentang perpangkatan, kamu bisa membacanya melalui link ini: Operasi Perpangkatan Bilangan Real
Jika sudah mengetahui semua tentang perpangkatan, maka kamu bisa mempelajari tentang logaritma. Baiklah, pertama kamu pasti tau bahwa $2^3=8$, ini adalah bentuk perpangkatan. Sekarang dari $2^3=8$ ini, coba kamu keluarkan pangkat $3=…$, inilah yang disebut bentuk logaritma, yakni bentuk yang mengeluarkan pangkat.
Dari $2^3=8$ maka $3=~^2log(8)$ ini adalah bentuk perubahan dasar yang harus kamu ketahui sebelum melanjutkan memahami sifat-sifat logaritma yang lainnya. Bentuk perubahan dasar logaritma dapat kita buat dalam suatu peubah, misalnya $a,~b,~$ dan $c$ sebagai berikut:
$$a^b=c~\iff~^alog(c)=b$$
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Sekarang sebagai latihan coba kamu ubah bentuk perpangkatan berikut ke dalam bentuk logaritma:
1. $2^{x+1}=16$
2. $(-3x+5)^6=y-5$
3. $x^{-7y+9}=4(m+8)$
Kemudian sebagai latihan juga, coba kamu ubah bentuk logaritma berikut ke dalam bentuk perpangkatan:
1. $^dlog(5)=2$
2. $^{x+y}log(-3x+7)=6-y$
3. $^{m^2}log(2m)=2$
Selanjutnya kita akan membahas sifat-sifat logaritma.
Bisakah kamu membuktikan sifat ini?. Untuk membuktikan sifat itu sangatlah mudah, caranya tinggal kamu ubah saja ke bentuk perpangkatan, yang menghasilkan $a^b=a^b$ (terbukti).
Perlu diingat:
Sekarang bagaimana dengan sifat yang ini:
Bisakah kamu membuktikan sifat yang ini?. Untuk membuktikannya coba kamu ubah ke dalam bentuk logaritma, maka diperoleh: $^alog(b)=~^alog(b)$ (terbukti).
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Kemudian sifat berikutnya:
Pembuktiannya: Coba kamu ubah ke dalam bentuk perpangkatan, maka diperoleh: $$a^{c.[^alog(b)]}=b^c$$ kemudian ingat kembali sifat perpangkatan bahwa $$x^{m.n}=(x^m)^n=(x^n)^m$$ sehingga diperoleh: $$(a^{^alog(b)})^c=b^c$$ karena bentuk $a^{^alog(b)}$ sudah kita bahas pada sifat sebelumnya, yakni $a^{^alog(b)}=b$ maka bentuk $(a^{^alog(b)})^c=b^c$ menjadi $b^c=b^c$ (terbukti).
Selanjutnya sifat:
Untuk membuktikan ini, coba ubah ke bentuk perpangkatan menjadi: $$a^{\frac{1}{^blog(a)}}=b$$ ingat kembali sifat perpangkatan, jika $$m^n=p$$ maka $$m=p^{\frac{1}{n}}$$ dari sifat perpangkatan ini maka: $$a=b^{^blog(a)}$$ $$a=a$$ (Terbukti).
Selanjutnya sifat:
Perhatikan pengubahan bentuk aljabarnya menjadi: $$^alog(b)=\frac{^alog(c)}{^blog(c)}$$ Kemudian ubah ke bentuk perpangkatan, menjadi: $$a^{\frac{^alog(c)}{^blog(c)}}=b$$ dari sifat sebelumnya maka menjadi: $$(a^{^alog(c)})^{^clog(b)}=b$$ $$c^{^clog(b)}=b$$ $$b=b$$ (Terbukti).
Selanjutnya sifat:
Kita kali silang menjadi: $$^alog(b).^xlog(a)=~^xlog(b)$$ Dari sifat-sifat sebelumnya maka menjadi: $$\left(\frac{1}{^blog(a)}\right)\left(\frac{1}{^alog(x)}\right)=~^xlog(b)$$ $$\frac{1}{^blog(a).^alog(x)}=~^xlog(b)$$ $$\frac{1}{^blog(x)}=~^xlog(b)$$ $$^xlog(b)=~^xlog(b)$$ (Terbukti).
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Selanjutnya sifat:
Untuk membuktikannya, coba ubah ke bentuk pangkat, maka menjadi: $$(a^b)^{\frac{1}{b}.^alog(c)}=c$$ $$a^{b.\frac{1}{b}.^alog(c)}=c$$ $$a^{^alog(c)}=c$$ $$c=c$$ (Terbukti).
Selanjutnya sifat:
Pembuktian: ubah ke bentuk perpangkatan, maka menjadi: $$a^{^alog(b)+^alog(c)}=b.c$$ ingat sifat perpangkatan $x^{m+n}=x^m.x^n$. Sehingga bentuk logaritma di atas menjadi: $$a^{^alog(b)}.a^{^alog(c)}=b.c$$ $$b.c=b.c$$ (Terbukti).
kita dapat juga menympulkan bahwa: $$^alog\left(\frac{b}{c}\right)=^alog(b)-^alog(c)$$
coba buktikan!
Itulah sifat-sifat dan pembuktiannya pada materi logaritma.
Berikut ini diberikan contoh soal hots:
Penyelesaian:
Dari $$^{x.y}log(y)=3$$ kita peroleh: $$\frac{1}{^ylog(x)+^ylog(y)}=3$$ $$\frac{1}{1+^ylog(x)}=3$$ $$^ylog(x)=\frac{1}{3}-1$$ $$^ylog(x)=-\frac{2}{3}$$ Kemudian ubah ke bentuk perpangkatan, maka menjadi: $$x=y^{-\frac{2}{3}}$$ Sehingga: $$x^y=(y^{-\frac{2}{3}})^y$$ $$x^y=(y^y)^{-\frac{2}{3}}$$ $$x^y=8^{-\frac{2}{3}}$$ $$x^y=2^{-2}=\frac{1}{4}$$
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Penyelesaian:
Dari $$^4log(3x+\frac{73}{4})=y-1$$ maka $$\frac{^2log(3x+\frac{73}{4})}{^2log(4)}=y-1$$ $$^2log(3x+\frac{73}{4})=2(y-1)$$ Ubah ke bentuk perpangkatan, menjadi: $$(2^{y-1})^2=3x+\frac{73}{4}$$ $$\frac{(2^y)^2}{4}=3x+\frac{73}{4}$$ Karena $y=~^2log(x+9)$ maka menjadi: $$(x+9)^2=12x+73$$ $$x^2+6x+8=0$$ $$(x+2)(x+4)=0$$ $$x=-2,~~x=-4$$ Jadi nilai $y$ terbesar itu ketika $x=-2$ atau $y=^2log(7)$.
Demikianlah postingan ini tentang logaritma. Sampai jumpa di postingan lainnya dan semoga bermanfaat.. MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\\(‘,’\\)’]]} });
PERPANGKATAN BILANGAN REAL
Perpangkatan bilangan real.kotak { box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); padding: 10px; border: 1px solid grey; }
Perpangkatan merupakan penulisan singkat dari perkalian berulang. Sebagai contoh $(2).(2).(2)=2^3$, dimana 3 merupakan banyaknya bilangan 2 yang dikalikan. Akan tetapi pangkat bukan hanya bilangan asli, melainkan pangkat dapat berupa bilangan real, sebagai contoh $2^{3,12574}$ dimana bentuk ini tidak dapat diubah ke dalam bentuk perkalian. Tetapi hal yang lebih penting adalah mengetahui sifat-sifat perpangkatan.
$$\underbrace{a.a.\cdots.a}_{\mbox{n kali}}=a^n$$
Selanjutnya akan diberikan sifat-sifat perpangkatan lengkap.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Berikut ini diberikan sifat-sifat perpangkatan:
1. Berdasarkan definisi, jelas bahwa $$\underbrace{a.a.\cdots.a}_{\mbox{m kali}}.\underbrace{a.a.\cdots.a}_{\mbox{n kali}}$$ yang berakibat menjadi $a$ sebanyak $m+n$.
2. Kita habiskan penyebut, yakni $a^n$ maka akan bersisa $a^{m-n}$.
3. Melalui sifat 2, jika $m=n$ maka menghasilkan $a^0=1$.
4. $a^{-b}=a^{0-b}$ $=\frac{a^0}{a^b}=\frac{1}{a^b}$
5. Perhatikan bahwa perkalian $a^b$ sebanyak $c$, atau perkalian $a^c$ sebanyak $b$. Jadi berdasarkan sifat 1 maka $\underbrace{b+b+\cdots+b}_{\mbox{c kali}}=b.c$ atau sebaliknya.
6. Karena $a$ dan $c$ banyaknya sama maka mereka dapat dipasangkan menjadi $a.c$.
7. Pangkat $\frac{1}{c}$ merupakan bentuk akar/kebalikan pangkat /lawan dari pangkat. Perhatikan bentuk $a^{\frac{b}{c}}$ sama dengan $$(a^b)^{\frac{1}{c}}$$ karena pangkat $\frac{1}{c}$ merupakan bentuk akar maka jelas bahwa $$(a^b)^{\frac{1}{c}}=\sqrt[c]{a^b}$$
Kita sudah membuktikan ke tujuh sifat perpangkatan di atas.
Berikut ini akan diberikan beberapa contoh soal tentang perpangkatan:
Jawab:
$$=\left(a^{-2+2/3}b^{-2/3-4/3}\right)^{-3/4}$$ $$=(a^{-4/3} b^{-2})^{-3/4}$$ $$=a^{(-4/3).(-3/4)}.b^{-2.(-3/4)}$$ $$=a.b^{3/2}$$ $$=a.b^{1+1/2}=ab\sqrt{b}$$
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Jawab:
$$=(2^4)^{1/8}-(2^{-1})^{-1/2}$$ $$=2^{1/2}-2^{1/2}=0$$
Jawab:
Kita samakan basisnya: $$\to (\sqrt{4})^{2x+1}=(2^4)^{x-2}$$ $$2^{2x+1}=2^{4x-8}$$ sehingga: $$2x+1=4x-8$$ $$-2x=-9$$ $$x=\frac{9}{2}=4,5$$
Demikianlah materi tentang perpangkatan dan sifat-sifatnya, sampai jumpa di postingan lainnya dan semoga bermanfaat.. MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\\(‘,’\\)’]]} });
SOAL DAN PEMBAHASAN NOTASI SIGMA, BARISAN, DAN DERET
Soal dan Pembahasan Notasi Sigma, Barisan dan Deret .kotak { box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); padding: 10px; border: 1px solid grey; }
Sebelumnya kita harus tau rumus-rumus barisan dan deret aritmetika maupun geometri, sebagai berikut:
Rumus suku ke-$n$ barisan geometri: $$U_n=a.r^{n-1}$$ dengan,
$a=$ suku pertama,
$b=$ beda, dan
$r=$ rasio.
Rumus jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika: $$S_n=\frac{n}{2}.(a+U_n)$$
Rumus jumlah $n$ suku pertama deret geometri naik: $$S_n=\frac{a.(r^n-1)}{r-1}$$ Rumus jumlah $n$ suku pertama deret geometri turun: $$S_n=\frac{a.(1-r^n)}{1-r}$$ Rumus jumlah $n$ suku pertama deret geometri tak hingga: $$S_{\infty}=\frac{a}{1-r}$$
Anda dapat langsung menuju ke nomor soal yang diinginkan:
Soal 1, Soal 2, Soal 3, Soal 4, Soal 5, Soal 6, Soal 7, Soal 8, Soal 9, Soal 10, Soal 11, Soal 12, Soal 13, Soal 14, Soal 15, Soal 16, Soal 17, Soal 18, Soal 19, Soal 20,
A. $41~~~~~~$ D. 59
B. 49$~~~~~~$ E. 61
C. 51
Penyelesaian:
Jawaban D.
Ingat rumus:
$$1.~\sum^{h}_{n=r} k=k.(h-r+1)$$ $$2.~\sum^{c}_{n=j} a.n=a.\sum^{c}_{n=j} n$$ $$3.~\sum^{n}_{n=1}n=\frac{n^2+n}{2}$$ Dari rumus di atas, maka kita peroleh:
$$\sum^{k}_{n =1}(2n-1)$$ $$=2.\left(\frac{k^2+k}{2}\right)-k=3481$$ $$k^2=3481$$ $$k=\sqrt{3481}=59$$
A. $10~~~~~~$ D. 13
B. $11~~~~~~$ E. 14
C. 12
Penyelesaian:
Jawaban A.
Perhatikan bahwa $$\sum^{x}_{n=3}(6n+5)=\sum^{x}_{n=1}(6n+5)-11-17$$ ($-11$ dan $-17$ artinya pengurangan suku ke-1 dan suku ke-2, agar tepat dari suku ke-3). $$=6.\frac{x^2+x}{2}+5x-28$$ $$3x^2+8x-28=352$$ $$3x^2+8x=380$$ Dari bentuk terakhir ini, maka nilai $~x~$ yang tepat adalah 10.
A. $4(x^2+y)+1$
B. $4(x^2+y)-n+4$
C. $4(x+y)+n-4$
D. $4(x+y)+n+4$
E. $4(x+y)+1$
Penyelesaian:
Jawaban C.
Terlebih dahulu kita selesaikan $(2k+1)^2$, yakni $$(2k+1)^2=4k^2+4k+1$$ Kita sudah tahu sifat-sifat notasi sigma pada contoh 1, jadi: $$\sum^{n}_{k=5}(2k+1)^2$$ $$=4(y+x)+n-4$$
A. $-14~~~~~~$ D. $-17$
B. $-15~~~~~~$ E. $-18$
C. $-16$
Penyelesaian:
Jawaban E.
ingat bahwa rumus $U_n$ barisan aritmetika adalah: $$U_n=a+(n-1).b$$ dengan $~a~$ adalah suku pertama.
Sehingga diperoleh:
$a+6b=-2$
$a+9b=6$
Coba kurangkan kedua persamaan itu, maka diperoleh: $$3b=8$$ Jadi, $$a=-2-2(8)=-18$$
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
A. $U_n=2n-3$
B. $U_n=2n+3$
C. $U_n=2n-4$
D. $U_n=2n+4$
E. $U_n=2n-5$
Penyelesaian:
Jawaban A.
ingat hubungan $U_n$ dan $S_n$ sebagai berikut: $$U_n=S_n-S_{n-1}$$ dari rumus di atas, maka diperoleh: $$U_n=n^2-2n-[(n-1)^2-2(n-1)]$$ $$U_n=2n-3$$
A. $6~~~~~~$ D. 9
B. $7~~~~~~$ E. 10
C. 8
Penyelesaian:
Jawaban C.
Karena disisipkan 7 buah bilangan maka semua bilangannya ada 9 buah, sehingga $~n=9.~$ Perhatikan bahwa $a=4$ dan $U_9=20$, jadi: $$20=4+8b$$ $$b=2$$ $$U_3=4+2(2)=8$$
A. $108~~~~~~$ D. 138
B. $118~~~~~~$ E. 148
C. 128
Penyelesaian:
Jawaban C.
Rumus $U_n$ barisan geometri adalah: $$U_n=a.r^{n-1}$$ maka:
$U_5=a.r^4=32$
$U_2=a.r=4$
Kita bagikan kedua persamaan di atas, maka diperoleh:
$r^3=8~~\to r=2$,
lalu masukkan ke $U_2$ maka $a=2$.
Jadi, $U_7=2.2^{6}=128$
A. $3~~~~~~$ D. 81
B. $9~~~~~~$ E. 100
C. 27
Penyelesaian:
Jawaban A.
Karena disisipkan 3 buah bilangan maka semua bilangan ada 5 buah. Jadi, $$U_7=3.r^4=243$$ $$r^4=81~~\to r=3$$
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
A. $2~~~~~~$ D. 16
B. $4~~~~~~$ E. 32
C. 8
Penyelesaian:
Jawaban D.
$$U_4=[^xlog(4)].\left(\frac{3}{2}\right)^3=\frac{27}{16}$$ $$^xlog(4)=\frac{27(8)}{16(27)}$$ $$^xlog(4)=\frac{1}{2}$$ $$x=16$$
A. $7/5~~~~~~$ D. 4/5
B. $6/5~~~~~~$ E. 3/5
C. 1
Penyelesaian:
Jawaban E.
ingat rumus $S_n$ deret aritmetika dan geometri naik.
Rumus $S_n$ deret aritmetika naik: $$S_n=\frac{n}{2} (a+U_n)$$
Rumus $S_n$ deret geometri naik: $$S_n=\frac{a.(r^n-1)}{r-1}$$
Sehingga: $$S_6=S_4$$ $$3(1+U_6)=15$$ $$U_6=4$$ $$1+5b=4$$ $$b=\frac{3}{5}$$
$$A.~\frac{pn^2+2nU_1+pn}{2}$$ $$B.~\frac{n^2+2nU_1+pn}{2}$$ $$C.~\frac{pn^2+2nU_1+p}{2}$$ $$D.~\frac{n^2+2nU_1+p}{2}$$ $$E.~\frac{pn^2+2pnU_1+n}{2}$$ Penyelesaian:
Jawaban A.
Perhatikan bahwa $$U_3=U_1+p$$ $$U_5=U_3+p=U_1+2p$$ $$U_7=U_5+p=U_1+3p$$ $$ …. $$ $$U_{2n+1}=U_1+\frac{(2n+1)-1}{2}p$$ $$U_{2n+1}=U_1+pn$$ Jadi, $$U_3+U_5+U_7+…+U_{2n+1}$$ $$=n.U_1+\frac{n^2+n}{2}p$$ $$=\frac{pn^2+2nU_1+pn}{2}$$
A. $1732~~~~~~$ D. 1735
B. $1733~~~~~~$ E. 1736
C. 1734
Penyelesaian:
Jawaban C.
Pertama kita cari jumlah bilangan genap antara 1 dan 101 (kita variabelkan $C_n$), kemudian kita kurangkan dengan jumlah bilangan genap antara 1 dan 101 yang habis dibagi 3 (kita variabelkan $D_n$).
Jumlah bilangan genap antara 1 dan 101 yaitu:
Sebelumnya cari dulu nilai $n$ atau banyak bilangan itu, $$U_n=a+(n-1)b$$ $$100=2+(n-1).2$$ $$n=50$$ Sehingga: $$C_n=\frac{50}{2}.(2+100)=2550$$
Untuk mencari $D_n$ yakni:
3(2)+3(4)+3(6)+…+3(32) = 3.(2+4+6+…+32)
banyak sukunya = $1+(32-2)/2=16$, maka: $$D_n=3.\frac{16}{2}.(2+32)$$ $$D_n=816$$ Jadi, $C_n-D_n=1734$.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
A. $2~~~~~~$ D. 5
B. $3~~~~~~$ E. 6
C. 4
Penyelesaian:
Jawaban D.
Anda harus mengingat kembali sifat-sifat logaritma.
Beda barisan itu adalah: $U_3-U_2=U_2-U_1$ atau $2U_2=U_1+U_3$, sehingga: $$^ylog(x+1)^2=^ylog[(x-1)(3x-1)]$$ $$x^2+2x+1=3x^2-4x+1$$ $$2x^2-6x=0$$ $$2x(x-3)=0$$ $$x=0,~~x=3$$ Kita ambil yang memenuhi nilai logaritma, yakni $x=3$. Karena jumlah ketiga bilangan itu adalah 6, maka $$^ylog[(2).(4).(8)]=6$$ $$^ylog(64)=6$$ $$y=2$$ Jadi, $x+y=5$.
A. $-4$ atau 68
B. $-52$ atau 116
C. $-64$ atau 88
D. $-44$ atau 124
E. $-56$ atau 138
Penyelesaian:
Jawaban A.
Diketahui $S_5=20$.
Berdasarkan kalimat ke-2 pada soal di atas, maka:
*$~U_1-U_3=$ $a-(a+2b)=-2b$
*$~U_2-U_3=$ $(a+b)-(a+2b)=-b$
*$~U_4-U_3=$ $(a+3b)-(a+2b)=b$
*$~U_5-U_3=$ $(a+4b)-(a+2b)=2b$
Berarti hasil kalinya adalah:
$(-2b)(-b)(b)(2b)$ = 324
$4b^4=324$
$b^4=81$ $~\to b=\pm 3$.
Karena $S_5=20$ maka $$S_5=\frac{5}{2}(2a+4b)=20$$ $$a+2b=4$$ * Untuk $b=3$ maka $a=-2$
* Untuk $b=-3$ maka $a=10$
Sehingga untuk pasangan $(a,~b)=(-2,~3)$ akan menghasilkan: $$S_8=\frac{8}{2}[2(-2)+7(3)]$$ $$S_8=68$$ dan untuk pasangan $(a,~b)=(10,~-3)$ maka diperoleh: $$S_8=4[2(10)+7(-3)]$$ $$S_8=-4$$ Jadi, jawabannya adalah $-4$ atau 68.
A. 1 dan 3$~~~~~~$ D. 2 dan 4
B. 2 dan 5$~~~~~~$ E. 1 dan 5
C. 1 dan 4
Penyelesaian:
Jawaban E.
Diketahui $U_3=a+2b=11$.
Karena jumlah suku ke-6 sampai ke-9 adalah 134, maka:
$U_6+U_7+U_8+U_9=134$
$(a+5b)+(a+6b)+$ $(a+7b)+(a+8b)=134$
$4a+26b=134$
$4(a+2b)+18b=134$
$4(11)+18b=134$
$b=5$. Kemudian substitusikan $b$ ke $U_3$, sehingga $a=1$. Jadi, $a$ dan $b$ adalah 1 dan 5.
A. 55$~~~~~~$ D. 64
B. 58$~~~~~~$ E. 67
C. 61
Penyelesaian:
Jawaban A.
Diketahui $U_1=a=5$. Karena $U_{10}=2.U_4$ maka: $$a+9b=2(a+3b)$$ $$5+9b=2(5+3b)$$ $$9b-6b=10-5$$ $$b=\frac{5}{3}$$ Dengan demikian, $$S_6=\frac{6}{2}\left[2(5)+5.\left(\frac{5}{3}\right)\right]$$ $$S_6=3.\left(10+\frac{25}{3}\right)$$ $$S_6=30+25=55$$
A. 118$~~~~~~$ D. 128
B. 122$~~~~~~$ E. 130
C. 126
Penyelesaian:
Jawaban D.
$$U_3+U_5=14$$ $$(a+2b)+(a+4b)=14$$ $$2a+6b=14$$ $$2a=14-6b…(i)$$ Kemudian, $$S_12=\frac{12}{2}(2a+11b)$$ $$129=6(14-6b+11b)$$ $$129=6(5b+14)$$ $$b=\frac{3}{2}$$ Substitusi $b$ ke $(i)$ diperoleh $$a=\frac{5}{2}$$ Jadi, $$U_n=a+(n-1)b$$ $$193=\frac{5}{2}+(n-1).\frac{3}{2}$$ $$n=\frac{381(2)}{2(3)}+1$$ $$n=128$$
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
A. 1/2$~~~~~~$ D. 1/8
B. 1/4$~~~~~~$ E. 1/16
C. 1/6
Penyelesaian:
Jawaban A.
ingat rumus deret geometri turun: $$S_n=\frac{a.(1-r^n)}{1-r}$$ Karena jumlah suku ke-4 sampai ke-6 adalah 20, maka: $$ar^3+ar^4+ar^5=20$$ $$ar^3(1+r+r^2)=20$$ $$r^3.\left(\frac{a.(1-r^3)}{1-r}\right)=20$$ $$r^3.S_3=20$$ $$r^3=\frac{20}{160}=\frac{1}{8}$$ $$r=\frac{1}{2}$$
A. 1/2$~~~~~~$ D. 1/8
B. 1/4$~~~~~~$ E. 1/16
C. 1/6
Penyelesaian:
Jawaban A.
$$S_{\infty}=\frac{a}{1-r}$$ $$320=\frac{a}{1-r}$$ kedua ruas kita kali $1-r^5$ maka diperoleh; $$320(1-r^5)=\frac{a(1-r^5)}{1-r}$$ $$320(1-r^5)=S_5$$ $$320(1-r^5)=310$$ $$1-r^5=\frac{31}{32}$$ $$r=\frac{1}{2}$$
A. 32 $~~~~~~$ D. 35
B. 33 $~~~~~~$ E. 36
C. 34
Penyelesaian:
Jawaban E.
$$\frac{n}{2}(1+n)=100x+10x+x$$ $$\frac{n}{2}(1+n)=111x$$ $$\frac{n}{2}(1+n)=(3x).(37)$$ Jadi: $~(1+n)=37$
$n=36$.
Itulah 20 soal + pembahasan materi barisan dan deret. Sampai jumpa di postingan lainnya,, MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\\(‘,’\\)’]]} });
Soal dan Pembahasan TPA materi Persamaan Linear
Soal dan Pembahasan TPA Materi Persamaan Linear dan Aplikasinya.kotak { box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); padding: 7px; border: 1px solid grey; }
Postingan ini berisi 25 soal + pembahasan secara langsung. Pembaca diharapkan menunggu tampilan kalimat matematis selesai sempurna, karena kode kalimat matematis ditulis dari Mathjax. Baiklah ini dia soal-soal dan pembahasannya:
A. $-4~~~~$ D. 16
B. 4 $~~~~~~$ E. 20
C. 9
Penyelesaian:
Jawaban D.
ingat kalau ada bentuk seperti $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$ maka bisa dikalikan silang menjadi $~a.d=b.c$. Ruas kanan pada soal itu penyebut atau pembaginya 1 karena semua yang dibagi dengan 1 akan tetap. Maka diperoleh: $$1+2.\sqrt{p}=21-3.\sqrt{p}$$ kemudian kita jumpakan yang bervariabel di sebelah kiri dan konstanta di sebelah kanan, maka diperoleh: $$5.\sqrt{p}=20$$ $$\sqrt{p}=4$$ $$p=16$$ Jadi, nilai $~p=16$.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
A. $32~~~~~~$ D. 18
B. 28 $~~~~~~$ E. 16
C. 24
Penyelesaian:
Jawaban B.
Perhatikan pada akar yang ke-2 itu nilainyakan sama saja dengan 8, sehingga persamaan pada soal itu menjadi: $$\sqrt{2x+8}=8$$ kedua ruas kita kuadratkan menjadi $$2x+8=64$$ $$2x=56$$ $$x=28$$
A. $-19~~~~~$ D. 19
B. $-17~~~~~$ E. 16
C. 17
Penyelesaian:
Jawaban B.
Bagikan $-189$ dengan $21$ pasti hasilnya akan sama dengan $333$ dibagi dengan $-37$ yakni $-9$ sebagai pembagi suku-suku yang diketahui. Jadi hasilnya adalah $$\frac{153}{-9}=-17$$.
A. $4~~~~~$ D. 16
B. $8~~~~~$ E. 18
C. 12
Penyelesaian:
Jawaban D.
Kita faktorkan menjadi: $~p(r+s)+q(r+s)=48$, kemudian substitusikan $~r+s=12$ maka diperoleh: $$12p+12q=48$$ kedua ruas dibagi 12 maka diperoleh: $$p+q=4$$. Jadi $~p+q+r+s=4+12$ = 16
A. $7~~~~~~~$ D. 8,5
B. $7,5~~~~~$ E. 9,5
C. 8
Penyelesaian:
Jawaban B.
Ingat perkalian distributif, maka menghasilkan $$6x-9=4x+6$$ selanjutnya $$6x-4x=6+9$$ $$2x=15$$ $$x=\frac{15}{2}=7,5$$
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
A. $m>n$
B. $m=n$
C. Hubungan $m$ dan $n$ tidak dapat ditentukan.
D. $m+n=a$
E. $m \le n$
Penyelesaian:
Jawaban C.
Tambahkan saja kedua persamaan itu maka menjadi $~m+n=0,~$ dari persamaan ini ada dua kemungkinan yakni lebih besar dan lebih kecil, contoh pasangan $m=2$ dan $n=-2$ atau pasangan $m=-2$ dan $n=2$.
A. $8~~~~~~$ D. 14
B. $33~~~~~$ E. 66
C. 9
Penyelesaian:
Jawaban B.
Jika kita jumlahkan kedua persamaan, maka diperoleh: $$2.\sqrt{x}=14$$ $$\sqrt{x}=7$$ $$x=49$$
Jika kita kurangkan kedua persamaan, maka diperoleh: $$2.\sqrt{y}=8$$ $$\sqrt{y}=4$$ $$y=16$$.
Jadi, $~x-y=33$.
A. $39~~~~~~$ D. 36
B. $38~~~~~~$ E. 35
C. 37
Penyelesaian:
Jawaban E.
Perhatikan bahwa $$\frac{3a-b}{b}=\frac{3a}{b}-1$$. dari $$\frac{3a}{6}=6b$$ kita kalikan kedua ruas dengan $~6/b~$ maka diperoleh $$\frac{3a}{b}=36$$. Jadi, $$\frac{3a-b}{b}=36-1=35$$.
A. $~x \le y$
B. $~x > y$
C. $~x=y$
D. Hubungan $x$ dan $y$ tidak dapat ditentukan.
E. $~y=\sqrt{x}$
Penyelesaian:
Jawaban B.
Kita kali silang, diperoleh: $$2y+\sqrt{x}=2.\sqrt{x}-2$$ selanjutnya, $$2y=\sqrt{x}-2$$ karena $~x~$ berada di dalam akar, maka jelas bahwa $~x>y$.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
A. $~x \le y$
B. $~x > y$
C. $~x=y$
D. Hubungan $x$ dan $y$ tidak dapat ditentukan.
E. $x+y=0$
Penyelesaian:
Jawaban C.
Jangan hiraukan $~4x-y \ne 0$, karena penyebut itu nilainya tidak 0, kalau 0 maka hasilnya tak hingga. Kita kali silang, menjadi: $$9x+6y=20x-5y$$ selanjutnya $$9x-20x=-5y-6y$$ $$-11x=-11y$$ $$x=y$$.
A. $360~~~~~$ D. 2.160
B. $540~~~~~$ E. 2.170
C. 720
Penyelesaian:
Jawaban B.
Misalkan tanah Pak Syukur mula-mula $x$, maka setelah diberikan kepada anak sulungnya menjadi: $$\left(1-\frac{1}{3}\right)x=\frac{2}{3}x$$. Kemudian setelah diberikan kepada anak bungsunya, sisa tanah Pak Syukur menjadi: $$\frac{2}{3}x-\frac{3}{5}.\left(\frac{2}{3}x\right)$$ $$=\frac{2}{3}x-\frac{2}{5}x=\frac{4}{15}x$$. Jadi, $$\frac{4}{15}x=144$$ $$x=144.\left(\frac{15}{4}\right)$$ $$x=540$$
A. Rp124.000,-
B. Rp128.000,-
C. Rp130.000,-
D. Rp144.000,-
E. Rp150.000,-
Penyelesaian:
Jawaban D.
Misalkan:
uang Badu mula-mula = $b$, dan
uang Umai mula-mula = $u$,
diketahui bahwa $~b-u=36000$. maka: $$b-\frac{1}{5}b=u+\frac{1}{5}b$$ $$\frac{3}{5}b=u$$ $$b-\frac{3}{5}b=36000$$ $$\frac{2}{5}b=36000$$ $$b=90000$$ sehingga $$u=54000$$ Jadi, jumlah uang mereka mula-mula adalah: $$90000+54000=144000$$ Untuk cara singkatnya: Misalkan dia memberikan $~a/b~$ bagian uangnya dan selisih uang mereka $x$, maka:
Jumlah uang mereka mula-mula = $$\frac{b-a}{a} \left(x\right)$$
A. $4~~~~~$ D. 16
B. $8~~~~~$ E. 18
C. 9
Penyelesaian:
Jawaban E.
Misalkan $~x~$ adalah jumlah botol Ani seluruhnya, maka secara logika diperoleh: $$40x+60=780$$ selanjutnya, $$40x=720$$ $$x=18$$
A. $90~~~~~$ D. 240
B. $150~~~~~$ E. 720
C. 180
Penyelesaian:
Jawaban A.
Misalkan luas seluruh tanah Parmin adalah $~x,~$ maka untuk kolam ikan = $$\frac{1}{3}\left(x-\frac{5}{8}x\right)$$ $$=\frac{1}{8}x$$. Kemudian luas tanah yang dijual adalah:
(Semua dikurang sawah dikurang kolam ikan) $$x-\frac{5}{8}x-\frac{1}{8}x$$ $$=\frac{1}{4}x$$. Jadi, $$\frac{1}{4}x.(420000)=75600000$$ $$\frac{21}{2}x=7560$$ $$x=\frac{(7560).(2)}{21}$$ $$x=720$$ Luas kolam ikan = 90 meter persegi.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
A. $10~~~~~$ D. 18
B. $12~~~~~$ E. 20
C. 15
Penyelesaian:
Jawaban E.
Misalkan kapasitas drum itu adalah $~x~$. Diketahui awalnya terisi minyak sebanyak $\frac{2}{5}x$ liter maka setelah ditambahkan 2 liter minyak, drum itu berisi $\frac{1}{2}x$ liter. Maka, kalimat matematisnya adalah: $$\frac{2}{5}x+2=\frac{1}{2}x$$ selanjutnya, $$\frac{2}{5}x-\frac{1}{2}x=-2$$ $$-\frac{1}{10}x=-2$$ $$x=20$$ Jadi, kapasitas drum itu adalah 20 liter.
A. $4~~~~~$ D. 5
B. $2~~~~~$ E. 6
C. 3
Penyelesaian:
Jawaban A.
Karena tembok itu berbentuk persegi panjang, maka tingginya = lebar.
Misalkan luas tembok itu $~x,~$ maka jelas bahwa kalimat matematisnya adalah: $$\frac{1}{3}x+5=\frac{3}{4}x$$ selanjutnya, $$\frac{3}{4}x-\frac{1}{3}x=5$$ $$\frac{5}{12}x=5$$ $$x=12$$ Jadi, panjang tembok itu = 4 meter.
A. Rp1.150.000,-
B. Rp1.725.000,-
C. Rp2.150.000,-
D. Rp2.300.000,-
E. Rp2.550.000,-
Penyelesaian:
Jawaban D.
Karena gaji lembur itu terpisah, maka kalimat matematisnya adalah: $$15x+6y=3450000$$ dengan $x$ adalah hari biasa, dan $y$ adalah hari lembur.
Kita sesuaikan pengali yang tepat untuk mendapatkan kalimat yang dicari yakni: $$10x+4y$$. Pengali yang tepat adalah $~2/3.~$ Jadi: $$10x+4y=2300000$$.
A. $0~~~~~$ D. 3
B. $1~~~~~$ E. 4
C. 2
Penyelesaian:
Jawaban A.
Misalkan umur Nia = $n$, dan
$~~~~$ umur Yanti = $y$, maka: $$(n-1)=14$$ (tanda negatif menunjukkan tahun lalu). Maka diperoleh: $~n=15$. Kemudian, $$(y+7)=22$$ maka $~y=15$. Jadi, selisih umur mereka adalah 0.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
A. $16~~~~~$ D. 22
B. $18~~~~~$ E. 24
C. 20
Penyelesaian:
Jawaban B.
Misalkan banyak kamar yang dimaksud adalah $~x,~$ selanjutnya kita buat persamaannya dengan menyatakan banyak siswa, maka: $$2x+12=3(x-2)$$ selanjutnya, $$2x+12=3x-6$$ $$x=18$$
A. $80~~~~~$ D. 110
B. $90~~~~~$ E. 120
C. 100
Penyelesaian:
Jawaban E.
Kita tetap memisalkan banyak tempat dan membuat persamaan dengan menyatakan banyak benda yang berada di tempat itu.
Misalkan banyak kandang = $~x~$
Maka: $$5(x+4)=6x$$ artinya 5 ekor sapi yang dimasukkan ke setiap kandang dengan banyak kandang $~x+4~$ akan sama dengan 6 ekor sapi dimasukkan ke setiap kandang dengan kandang sebanyak $~x.~$ Maka banyak kandang $~x=20.~$ Jadi banyak sapi = $$5(x+4)=6x=120$$.
A. Rp600,-
B. Rp900,-
C. Rp1.200,-
D. Rp1.650,-
E. Rp1.800,-
Penyelesaian:
Jawaban B.
Misalkan berat kaleng itu $~x~$ gram dan berat isi = $~y~$ gram, maka kalimat matematisnya adalah: $$x+y=660$$ dan $$x+\frac{1}{2}y=420$$ Kemudian kedua ruas kita kurangkan, maka diperoleh: $$\frac{1}{2}y=240$$ $$y=480$$ sehingga $$x=180$$. Jadi harga kaleng itu = $180.(5)=900$.
A. $1236~~~~~$ D. 2136
B. $1326~~~~~$ E. 2316
C. 1632
Penyelesaian:
Jawaban B.
Misalkan bilangan itu $abcd$. maka:
$a+b+c+d=12…(i)$
$a+c=d-b…(ii)$
$c=b-a…(iii)$
$d/b=c/a…(iv)$
$(ii)$ kita ubah menjadi $a+b+c=d$ kemudian substitusi ke $(i)$ maka diperoleh $d=6$. Kemudian $(iii)$ kita ubah menjadi $a+c=b$ lalu masukkan ke $(ii)$ maka diperoleh $b=3$. Kemudian masukkan nilai $d$ dan $b$ ke dalam $(iv)$ maka diperoleh $c=2a$, kemudian masukkan persamaan ini ke $(iii)$ maka diperoleh $a=1$, sehingga $c=2$. Jadi bilangan itu adalah 1326.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
A. $1~~~~~$ D. 4
B. $2~~~~~$ E. 5
C. 3
Penyelesaian:
Jawaban A.
Misalkan bilangan pertama $a$ dan bilangan kedua $b$ maka: $$\frac{1}{5}a=\frac{3}{10}b$$ $$a=\frac{3}{2}b$$ dan $ab=6$, maka: $$\frac{3}{2}b^2=6$$ $$b^2=4$$ $$b=2$$ sehingga $a=3$. Jadi selisihnya = 1.
A. 40850
B. 38750
C. 36500
D. 42500
E. 35000
Penyelesaian:
Jawaban D.
Misalkan uang Lisa dan Karsa masing-masing $L$ dan $K$. Maka: $L-K=7500…(i)$ dan
10%$L+K=80$%$L…(ii)$
$k=$70%$L$ maka
$$K=\frac{7}{10}L$$ Persamaan terakhir ini masukkan ke $(i)$ maka: $$L-\frac{7}{10}L=7500$$ $$\frac{3}{10}L=7500$$ $$L=25000$$ Jadi: $$L+K=\frac{17}{10}L$$ $$L+K=\frac{17}{10}\left(25000\right)$$ $$L+K=42500$$
A. 13 tahun
B. 15 tahun
C. 17 tahun
D. 18 tahun
E. 19 tahun
Penyelesaian:
Jawaban D.
Misalkan umur ayah = $a$ dan umur Karsa = $k$. Maka, $$(a-7)=6.(k-7)$$ $$(a+1)=3(k+1)+2$$ Persamaan pertama dan kedua disederhanakan menjadi: $$a-6k=-35$$ $$a-3k=4$$ Kita kurangkan, diperoleh: $$-3k=-39$$ $$k=13$$ Jadi, umur Karsa lima tahun yang akan datang = 18 tahun.
Itulah beberapa soal + pembahasan TPA (Tes Potensi Akademik) tipe soal SPL (Sistem Persamaan Linear) dan aplikasinya. Jika ada pertanyaan silahkan komentar dengan baik pada kolom komentar di bawah. Sampai jumpa pada postingan lain dan semoga bermanfaat.. MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\\(‘,’\\)’]]} });
Judul Situs 