BILANGAN BASIS

Bilangan Basis.kotak { box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); padding: 10px; border: 1px solid grey; } .kuning { border: 4px #FFE500 double; padding: 10px;background-color: yellow; box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); }

Bilangan yang sering digunakan untuk menghitung banyaknya suatu objek atau benda itu merupakan bilangan basis 10. Kita akan mengenal bilangan basis $n$ dalam bentuk umumnya, serta bagaimana cara mengubah ke basis lain. Berikut ini bentuk umum suatu bilangan dalam basis $n$ yang diubah ke dalam basis 10:

$$(a_ka_{k-1}…a_1a_0)_n$$ yang jika diubah ke dalam basis 10 menjadi: $$=a_k.n^k+a_{k-1}.n^{k-1}+…+a_1.n+a_0$$ dimana:
$a_ka_{k-1}…a_1a_0$ disebut batang.
$k=0,~1,~2,~…$
$a_k$ adalah bilangan bulat non negatif.
$n$ adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1 yang disebut sebagai basis bilangan.
min ($a_0,~a_1,~a_2,~…,~a_k$) = 0.
max ($a_0,~a_1,~a_2,~…,~a_k$) = $n-1$.

Catatan: Khusus bilangan basis 10 dapat ditulis tanpa tanda basisnya ataupun dapat ditulis dengan tanda basisnya. Contoh $25=(25)_{10}$.

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Contoh 1:
Ubahlah bilangan $(102)_4$ kedalam bilangan basis 10.
Penyelesaian:
$(102)_4=$$1.(4^2)+0+2=18$

Contoh 2:
Ubahlah bilangan basis 2 (bilangan biner) ini $(10011)_2$ ke dalam bilangan basis 10.
Penyelesaian:
$=2^4+2+1=19$

Contoh 3:
Ubahlah bilangan $(52311)_6$ ke dalam basis 10.
Penyelesaian:
$=5.(6^4)+2.(6^3)+$$3.(6^2)+1.(6^1)+1.(6^0)$
$=6480+432+108$$+6+1$
$=7027$

Pada contoh di atas pengubahan basisnya hanya ke basis 10. Lalu bagaimana cara mengubah bilangan basis $n$ ke basis $m$?, misalnya mengubah bilangan basis 6 ke basis 4, basis 3 ke basis 9, dan lain-lain. Untuk hal ini, kita harus mengubahnya ke basis 10 baru bisa ke basis yang lain. Ya, basis 10 merupakan basis tumpu dalam mengubah ke basis yang lain. Caranya, bagikan saja bilangan basis 10 itu dengan basis tujuan secara berulang sampai lebih kecil dari basis tujuan kemudian kita tulis (dari bawah ke atas) hasilnya yaitu sisa pembagiannya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut:
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Contoh 4:
Ubahlah bilangan $(324)_5$ ke dalam bilangan basis 3.
Penyelesaian:
Terlebih dahulu kita harus mengubahnya ke basis 10, yakni:
$=3.(5^2)+$$2.(5^1)+4.(5^0)$
$=75+10+4$$=89$.
Kemudian hasil 89 ini kita bagi 3 maka hasilnya 29 bersisa 2, lalu 29 dibagi 3 hasilnya 9 sisa 2, lalu 9 dibagi 3 hasilnya 3 sisa 0, lalu 3 dibagi 3 hasilnya 1 sisa 0. Kemudian yang paling terpenting dalam contoh ini adalah memperhatikan gambar berikut ini:

Hasilnya adalah dengan menuliskan bilangan yang dilingkari dari bawah ke atas, yakni $(10022)_3$.

Kemudian bagaimana menuliskan sisa pembagian yang lebih dari satu digit?. Sebagai contoh suatu bilangan basis 13 pasti bisa memiliki batang bernilai 12 (ada 2 digit angka) maka ini tidak dapat kita tuliskan langsung dengan batang yang lain sebab bisa dianggap terpisah sebagai batang bernilai 1 dan bernilai 2. Lalu bagaimana menuliskan batang yang lebih dari 1 digit?, caranya dengan membuat huruf berindeks misalnya $10=c_0$, $11=c_1$, $12=c_2$, dan seterusnya. Akan tetapi perlu diingat bahwa bilangan basis yang sering dipakai adalah bilangan basis 2 (biner), basis 8 (oktal), basis 10 (desimal), dan basis 16 (hexa desimal). Dalam penulisan basis 16, batang 10=A, batang 11=B, batang 12=C, batang 13=D, batang 14=E, dan batang 15=F.

Demikianlah postingan tentang bilangan basis, semoga bermanfaat. MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\$‘,’\$’]]} });

BILANGAN TITIK KAMBANG

Bilangan Titik Kambang.kotak { box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); padding: 10px; border: 1px solid grey; } .kuning { border: 4px #FFE500 double; padding: 10px;background-color: yellow; box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); }

Untuk memahami galat pembulatan lebih rinci, kita perlu mengerti cara penyimpanan bilangan riil di dalam komputer. Format bilangan riil di dalam komputer berbeda-beda bergantung pada piranti keras dan compiler bahasa pemrogramannya. Bilangan riil di dalam komputer umumnya disajikan dalam format bilangan titik kambang. Bilangan titik kambang $a$ ditulis sebagai:

$$a=\pm m \text{x} B^p$$ $$=\pm 0,d_1d_2d_3…d_n \text{x} B^p$$ yang dalam hal ini,
$m=$ mantisa (riil), $d_1d_2d_3…d_n$ adalah digit atau bit mantisa yang nilainya dari 0 sampai $B-1$ dan $n$ adalah panjang digit (bit) mantisa.
$B=$ basis sistem bilangan yang dipakai (2, 8, 10, 16, dan sebagainya).
$p=$ pangkat (berupa bilangan bulat), nilainya dari $-P_{min}$ sampai $+P_{maks}$.

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Sebagai contoh, bilangan riil 245,7654 dinyatakan sebagai 0,2457654 x $10^3$ dalam format bilangan titik kambang dengan basis 10. Cara penyajian seperti itu serupa dengan cara penulisan ilmiah. Penulisan ilmiah termasuk ke dalam sistem bilangan titik kambang.
Sistem bilangan yang kita gunakan setiap hari menggunakan basis sepuluh (disebut juga sistem desimal), $B=10$. Umumnya komputer menggunakan sistem biner ($B=2$), tapi beberapa komputer menggunakan basis 8 dan 16. Untuk memudahkan pemahaman dan juga karena kita lebih terbiasa sehari-hari dengan bilangan desimal, kebanyakan contoh-contoh bilangan titik kambang di dalam bahasan ini disajikan dalam sistem desimal.
Bilangan titik kambang di dalam sistem biner direpresentasikan oleh komputer dalam bentuk word seperti ditunjukkan pada gambar berikut:

Gambar 1

Bit pertama menyatakan tanda ($+/-$), deretan bit berikutnya menyatakan pangkat bertanda, dan deretan bit terakhir untuk mantisa.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Setiap komputer memiliki panjang word yang berbeda-beda. Pada komputer IBM PC, bilangan titik kambang berketelitian tunggal (single precission) disajikan dalam 32 bit yang terdiri atas 1 bit sebagai tanda, 8 bit untuk pangkat, dan 23 bit untuk mantisa. Jika dalam bentuk ternormalisasi (akan dijelaskan kemudian), maka bit pertama pada mantisa harus 1, sehingga jumlah bit mantisa efektif adalah 24. $$a=\pm 0,1b_1b_2…b_23\text{x}B^p$$ yang dalam hal ini $b$ menyatakan bit biner (0 atau 1).
Sedangkan pada komputer IBM 370, bilangan titik kambang berketelitian tunggal disajikan dalam 32 bit yang terdiri dari 1 bit tanda, 7 bit pangkat (basis 16), dan 24 bit mantisa (setara dengan 6 sampai 7 digit desimal).

1. Bilangan Titik Kambang Ternormalisasi

Representasi bilangan titik kambang jauh dari unik, karena sebagai contoh kita juga dapat menulisnya sebagai:
$a=\pm (mb)$ x $B^{p-1}$ Misalnya, 245,7654 dapat ditulis sebagai
0,2457654 x $10^3$ atau
2,457654 x $10^2$ atau
0,02457654 x $10^4$, dan sebagainya.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Agar bilangan titik kambang dapat disajikan secara seragam, kebanyakan sistem komputer menormalisasikan formatnya sehingga semua digit mantisa selalu angka bena. Karena alasan itu, maka digit pertama mantisa tidak boleh nol. Bilangan titik kambang yang dinormalisasi ditulis sebagai:

$a=\pm m$ x $B^p$ $=\pm 0,d_1d_2d_3…d_n$ x $B^p$ yang dalam hal ini, $d_1d_2d_3…d_n$ adalah digit (atau bit) mantisa dengan syarat $1 \le d_1 \le b-1$ dan $0 \le d_k \le B-1$ untuk $k>1$.
Pada sistem desimal,
$1 \le d_1 \le 9$ dan $0 \le d_k \le 9$,
sedangkan pada sistem biner,
$d_1=1$ dan $0 \le d_k \le 1$

Sebagai contoh, 0.0563 x $10^{-3}$ dinormalisasi menjadi 0.563 x $10^{-4}$. Sebagai konsekuensi penormalan, nilai $m$ adalah $$\frac{1}{B} \le m < 1$$ Pada sistem desimal ($B=10$), $m$ akan berkisar dari 0.1 sampai 1, dan pada sistem biner ($B=2$) $m$ akan berkisar dari 0.5 sampai 1.
Sebagai catatan, nol adalah kasus khusus. Nol disajikan dengan bagian mantisa seluruhnya nol dan pangkatnya nol. Nol semacam ini tidak dinormalisasi.
Contoh:

Tulislah bilangan $e$ dalam format bilangan titik kambang ternormalisasi dengan basis 10, basis 2, dan basis 16.
Penyelesaian:
Dalam basis 10 (menggunakan 8 angka bena),
$e \approx 2.7182818=$ $0.27182818$ x $10^1$ (bilangan titik kambang desimal ternormalisasi).

Dalam basis 2 (menggunakan 30 bit bena),
$e \approx$ 0.101011011111100001010100010110$_2$ x $2^2$ (bilangan titik kambang biner ternormalisasi)

Dalam basis 16 (gunakan fakta bahwa $16=2^4$, sehingga $$2^2=\frac{1}{4}\text{x}16^1$$ $e \approx$ 0.101011011111100001010100010110$_2$ x $2^2$
$=\frac{1}{4}$ x 0.101011011111100001010100010110$_2$ x $16^1$
$=$0.00101011011111100001010100010110_2 x $16^1$
$=$0.2B7E1516$_{16}$ x $16^1$
(bilangan titik kambang heksadesimal ternormalisasi).
Anda dapat mengubah bilangan antar basis dengan aplikasi yang banyak bertebaran di PlayStore atau AppStore sistem android ataupun apple.

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

2. Epsilon Mesin

Karena jumlah bit yang digunakan untuk representasi bilangan titik kambang terbatas, maka jumlah bilangan riil yang dapat direpresentasikan juga terbatas. Untuk ilustrasi, tinjau kasus bilangan titik kambang biner 6-bit word (1 bit tanda, 3 bit untuk pangkat bertanda, dan 2 bit mantisa) dengan $B=2$, dan nilai pangkat dari $-2$ sampai 3. Karena semua bilangan dinormalisasi, maka bit pertama harus 1, sehingga semua bilangan yang mungkin adalah berbentuk:
$\pm$0.10$_2$ x $2^p$ atau $\pm$ 0.11$_2$ x $2^p$, $~-2 \le p \le 3$
Pada komputer IBM PC, bilangan titik kambang berketelitian tunggal dinyatakan dalam 32-bit word (1 bit tanda, 8 bit pangkat, dan 24 bit mantisa). Rentang nilai-nilai positifnya diperlihatkan pada gambar berikut:
Gambar

Gambar 2

Satu ukuran yang penting di dalam aritmetika komputer adalah seberapa kecil perbedaan antara dua buah nilai yang dapat dikenali oleh komputer. Ukuran yang digunakan untuk membedakan suatu bilangan riil dengan bilangan riil berikutnya adalah epsilon mesin. Epsilon mesin distandardisasi dengan menemukan bilangan titik kambang terkecil yang bila ditambahkan dengan 1 memberikan hasil yang lebih besar dari 1. Dengan kata lain, jika epsilon mesin dilambangkan dengan $\epsilon$ maka $1+\epsilon >1$ (bilangan yang lebih kecil dari epsilon mesin didefinisikan sebagai nol di dalam komputer).
Epsilon mesin pada sistem bilangan riil yang ditunjukkan pada gambar 2 adalah:
$\epsilon =$ 1.000000119$-$1.0$=0.119$ x $10^{-6}$
Gap ($\Delta x$) atau jarak antara sebuah bilangan titik kambang dengan bilangan titik kambang berikutnya, yang besarnya adalah: $\Delta x=\epsilon$ x $R$
yang dalam hal ini $R$ adalah bilangan titik kambang sekarang. Contohnya, gap antara bilangan positif terkecil pertama 0.29 x $10^{-38}$ dengan bilangan titik kambang terkecil kedua pada gambar 2 adalah:
$\Delta x=$(0.119 x $10^{-6}$) x (0.29 x $10^{-38}$)$=$0.345 x $10^{-45}$
dan dengan demikian bilangan titik kambang terkecil kedua sesudah 0.29 x $10^{-38}$ adalah
0.29 x $10^{-38}+$0.345 x $10^{-45}$
Keadaan underflow terjadi bila suatu bilangan titik kambang tidak dapat dinyatakan di antara 0 dan bilangan positif terkecil (atau antara 0 dan bilangan negatif terbesar). Keadaan overflow terjadi bila suatu bilangan titik kambang lebih besar dari bilangan positif terbesar (atau lebih kecil dari bilangan negatif terkecil).
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Jika kita mengetahui jumlah bit mantisa dari suatu bilangan titik kambang, kita dapat menghitung epsilon mesinnya dengan rumus: $$\epsilon = B^{1-n}$$ yang dalam hal ini $B$ adalah basis bilangan dan $n$ adalah banyaknya digit (atau bit) bena di dalam mantisa.
Epsilon dapat digunakan sebagai kriteria berhenti kekonvergenan pada prosedur lelaran yang konvergen. Nilai lelaran sekarang dibandingkan dengan nilai lelaran sebelumnya. Jika selisih keduanya sudah kecil dari epsilon mesin, lelaran dihentikan, tetapi jika tidak maka lelaran diteruskan.
MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\$‘,’\$’]]} });

INTEGRAL NUMERIK SIMPSON 1/3

Integral Numerik Simpson 1/3.kuning { border: 4px #FFE500 double; padding: 10px;background-color: yellow; box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); }

Perlu anda ketahui bahwa tidak semua fungsi dapat kita cari nilai integralnya dengan rumus umum (metode analitik). Pada pembahasan kali ini akan diulas mengenai cara mencari hasil integral reimann dengan metode simpson. Metode simpson ini adalah metode yang sangat mendekati hasil aslinya (hasil dengan menggunakan metode analitik) yang tergantung dengan seberapa banyak kita mengambil iterasinya. Apa itu iterasi?, iterasi dalam matematika merupakan proses sistematik yang dilakukan berulang-ualang. Secara sederhana iterasi merupakan proses substitusi suatu nilai kedalam suatu fungsi. Pada pokok bahasan ini kita hanya memakai kaidah simpson 1/3 yang sering digunakan Berikut ini pola rumus integral numerik kaidah simpson 1/3:

$$\int_{b}^{a}f(x)~dx \approx \frac{h}{3}(f_0+K_f+f_n)$$ dimana: $n$ adalah bilangan asli yang bukan kelipatan 3.
$$h=\frac{a-b}{n}.$$ $$K_f=4.f_1+2.f_2+4.f_3+…$$ Koefisien 4, 2, 4, 2, …, 4 yang mana koefisien terakhir harus 4.

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Langkah awal yang perlu kita tentukan adalah nilai $n$. Semakin banyak iterasi yang kita lakukan maka semakin tepat nilai integralnya.
Langkah kedua kita cari nilai $x_0=b$ sampai dengan $x_n=a$ dengan cara menjumlahkan hasilnya dengan $h$. Langkah terakhir kita cari hasilnya dengan rumus yang sudah ditentukan. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut:
Contoh 1:
Hitunglah $$\int_{1}^{3}x~dx$$ dengan menggunakan integrasi numerik kaidah simpson 1/3 dengan $n=10$ dan bandingkan hasilnya dengan metode analitik!
Penyelesaian:
Pada contoh 1 ini sengaja kita buat soal integral yang mudah karena untuk membandingkan dengan hasil asli (metode analitik). Secara analitik, hasil integral reimann tersebut adalah: $$\int_{1}^{3}x~dx=\frac{1}{2}x^2 \Bigr|_{1}^{3}$$ $$=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}=4$$ Kemudian akan kita cari hasil integralnya dengan cara integrasi numerik kaidah simpson 1/3 berikut:
$$h=\frac{3-1}{10}=0,2$$ Perhatikan bahwa substitusi batas bawah maupun batas atas sudah terdefinisi sehingga kita tidak mengubahnya lagi. Carilah nilai $x_0$ sampai $x_{10}$, sebagai berikut:
$x_0=b=1$
$x_1=1+h=1,2$
$x_2=1,2+0,2=1,4$
$x_3=1,4+0,2=1,6$
$x_4=1,6+0,2=1,8$
$x_5=1,8+0,2=2$
$x_6=2+0,2=2,2$
$x_7=2,2+0,2=2,4$
$x_8=2,4+0,2=2,6$
$x_9=2,6+0,2=2,8$
$x_{10}=a=3$
Kemudian jumlahkan hasil berikut:
$f(x_0)=1$
$4f(x_1)=4,8$
$2f(x_2)=2,8$
$4f(x_3)=6,4$
$2f(x_4)=3,6$
$4f(x_5)=8$
$2f(x_6)=4,4$
$4f(x_7)==9,6$
$2f(x_8)=5,2$
$4f(x_9)=11,2$
$f(x_{10})=3$
_______________ $+$
= 60
Kemudian kalikan dengan $h/3$. Jadi hasil akhirnya adalah 4. Perhatikan bahwa hasil akhir ini sama dengan cara menggunakan metode analitik. Tidak semua nilai $n$ dapat menghasilkan hasil integral yang sama dengan metode analitik.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Untuk selanjutnya kita akan mencari hasil integral reimann dengan fungsi yang lebih rumit dan ini mengharuskan kita menggunakan kalkulator saintifik ataupun software seperti Ms. Excel. Dalam hal ini penulis menggunakan Ms. Excel karena mudah digunakan di PC maupun android. Sekarang perhatikan contoh 2 berikut ini:
Contoh 2:
Tentukan hasil $$\int_{2}^{6}\frac{(\text{ln}x)(2+3x^2)^6}{\text{sin}(x^2+1)}~dx$$ dengan metode simpson 1/3 dan gunakan $n=16$.
Penyelesaian:
Anda dapat melihat dan mendownload file Ms. Excelnya di link ini:
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Hasil akhirnya memberikan nilai $-9,55$x$10^12$. Untuk mencari hasil otomatis tabel Ms. Excel itu anda cukup memasukkan rumus pada sel tertentu kemudian tarik/copy paste sampai hasil yang diinginkan. Untuk mengisi kolom fn maka terlebih dahulu kita harus mengisi kolom xn. Untuk mengisi kolom xn mula-mula sel awal diisi dengan nilai 2 dan sel kedua isi dengan =b2+0,25 sebagian versi Ms. Excel ada yang menggunakan simbol desimal dengan .
Kemudian tarik ke bawah sampai pada kolom n=16. Untuk mengisi kolom fn, pada sel pertamanya ketikkan fungsinya dengan variabelnya adalah sel pertama xn kemudian tarik/copy paste sampai n=16. Saya sara pembaca sudah sangat jelas dengan memperhatikan file Ms. Excel yang harus didownload terlebih dahulu. Mungkin sampai disini pertemuan kita, salam berbagi dan semoga bermanfaat. MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\$‘,’\$’]]} });

RENTE

Rente.kotak { box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); padding: 10px; border: 1px solid grey; } .kuning { border: 4px #FFE500 double; padding: 10px;background-color: yellow; box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); }

1. Pengertian dan Jenis Rente

Rente adalah deret modal yang dibayarkan dengan antar waktu yang tetap. Masing-masing modal itu disebut angsuran.

Berdasarkan saat pembayaran, rente ada 2 macam:

Rente Prenumerando, yaitu apabila pembayaran angsuran dilakukan pada tiap permulaan jangka waktu (misalnya tiap 1 Januari).
Rente Postnumerando, yaitu apabila pembayaran angsuran dilakukan pada tiap akhir jangka waktu (misalnya tiap 31 Desember).

Berdasarkan banyaknya angsuran, rente ada 2 macam:

Rente Kekal (Rente Abadi), yaitu apabila rente itu dibayar selama jangka waktu yang tidak terbatas.
Rente Terbatas, yaitu apabila rente itu dibayar selama jangka waktu yang terbatas (banyaknya angsuran yang terbatas).

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

2. Nilai Akhir Rente (NA)

Nilai akhir rente adalah jumlah nilai akhir dari semua angsuran, biasanya diperhitungkan ke akhir jangka waktu terakhir.

2.1. Nilai Akhir Rente Prenumerando

Rumus:

$$\text{NA }=\frac{M.(1+p).[(1+p)^n-1]}{p}$$ Dimana:
$M$ adalah modal/angsuran.
$p$ adalah persen bunga per priode.
$n$ adalah banyak priode.

Contoh: Pada 1 Januari 1980, Susi menyimpan uang Rp1 juta di bank. Selanjutnya tiap tanggal 1 Januari berturut-turut sampai dengan 1 Januari 1985 dia menambah tabungannya masing-masing Rp1 juta. Hitunglah simpanan Susi di bank itu pada tanggal 31 Desember 1985 apabila bank memberi bunga 12% setahun!
Jawab: $$\text{NA }=\frac{1.(1,12).(1,12^5-1)}{0,12}$$ $$\text{NA}=\text{Rp}7.115.189,-$$

2.2. Nilai Akhir Rente Postnumerando

Rumus:

$$\text{NA}=\frac{M}{p}.[(1+p)^n-1]$$ Dimana:
$M$ adalah modal/angsuran.
$p$ adalah persen bunga per priode.
$n$ adalah banyak priode.

Contoh: Pada setiap akhir tahun Tini menyimpan uang di bank sebesar Rp100.000,- berturut-turut selama 10 tahun. Hitunglah besar simpanan Tini pada akhir tahun ke 10 tepat sesudah angsuran terakhir dibayarkan dengan bunga bank 6% setahun!.
Jawab: $$\text{NA}=\frac{100000}{0,06}.(1,06^10-1)$$ $$\text{NA}=\text{Rp}1.318.079,- $$

3. Nilai Tunai Rente (NT)

Nilai tunai rente adalah jumlah nilai tunai dari semua angsuran, biasanya diperhitungkan ke permulaan jangka waktu pertama.

3.1. Nilai Tunai Rente Postnumerando

Rumus:

$$\text{NT}=\frac{M}{1+p}.\frac{(1+p)^n-1}{p.(1+p)^{n-1}}$$ Dimana:
$M$ adalah modal/angsuran.
$p$ adalah persen bunga per priode.
$n$ adalah banyak priode.

Contoh: Pada tanggal 1/1 Ali meminjam uang di bank. Pinjaman itu akan dikembalikan dengan angsuran yang sama besar, masing-masing Rp50.000,-. Pembayaran angsuran dilakukan setiap akhir bulan mulai tanggal 31/1 berturut-turut sampai dengan 31/12. Berapakah besar pinjaman Ali jika bungan 2% sebulan?
Jawab: $$\text{NT}=\frac{50000}{1,02}.\frac{1,02^{12}-1}{0,02.(1,02^{11})}$$ $$\text{NT}=\text{Rp}528.767,-$$
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

3.2. Nilai Tunai Rente Prenumerando

Rumus:

$$\text{NT}=M.\left(1+\frac{(1+p)^n-1}{p.(1+p)^{n-1}}\right)$$ Dimana:
$M$ adalah modal/angsuran.
$p$ adalah persen bunga per priode.
$n$ adalah banyak priode.

Contoh: Susi mempunyai kewajiban membayar cicilan ke bank sejumlah uang yang sama besar masing-masing Rp100.000,- pada setiap tanggal 1 selama delapan bulan. Apabila Susi ingin menyelesaikan kewajiban tersebut seluruhnyadari tanggal 1/1 sampai tanggal 1/8, maka berapa besar yang harus dibayarnya jika bunga bank 1,5% sebulan?
Jawab: $$\text{NT}=100000.\left(1+\frac{1,015^8-1}{0,015.(1,015^7)}\right)$$ $$\text{Rp}859.821,-$$

3.3. Nilai Tunai Rente Postnumerando Kekal

Rumus:

$$\text{NT}=\frac{M}{p}$$

Contoh: Jika PT “X” wajib menyetor kepada pemerintah tiap tanggal 31/12 sebesar Rp200.000,-. Kewajiban itu berlaku selama jangka waktu tak terbatas. Jika PT “X” ingin menyelesaikan kewajiban itu dengan membayar sekaligus pada permulaan tahun pertama dengan bunga 8% setahun, maka berapa yang harus dibayarnya? Jawab:$$\text{NT}=\frac{200000}{0,08}$$ $$\text{NT}=\text{Rp}2.500.000,-$$

3.4. Nilai Tunai Rente Prenumerando Kekal

Rumus:

$$\text{NT}=\frac{M}{p}.(1+p)$$

Jika PT “X” pada contoh bagian 3.3 tersebut menyetor setiap 1 Januari, berapa besar uang yang harus dibayar pada tanggal 1 Januari tahun pertama untuk mengganti seluruh kewajiban itu?
Jawab: $$\text{NT}=\frac{200000}{0,08}(1,08)$$ $$\text{NT}=\text{Rp}2.700.000,-$$

3.5. Nilai Tunai Rente Terbatas

Rumus:

$$\text{NT}=\frac{M}{(1+p)^m}.\frac{(1+p)^n-1}{p.(1+p)^{n-1}}$$

Contoh: Hitunglah NT pada tanggal 1/1-2003 dari suatu rente tahunan dengan angsuran sebesar Rp1.000,- jika angsuran pertama tanggal 1/1-2008 dan berakhir tanggal 1/1-2015 dengan bunga 4,5% setahun!
Jawab:
Rentang waktu dari 1/1-2003 sampai 1/1-2008 adalah 5 tahun, maka $m=5$. Jadi $$\text{NT}=\frac{1000}{1,045^5}.\frac{1,045^8-1}{0,045.(1,045^7)}$$ $$\text{NT}=\text{Rp}5.531,-$$ MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\$‘,’\$’]]} });

WAKTU, JARAK, KECEPATAN, DAN APLIKASINYA

Waktu, Jarak, Kecepatan dan Aplikasinya.kuning { border: 4px #FFE500 double; padding: 10px;background-color: yellow; box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); }

Materi

1. Hubungan Jarak, Waktu dan Kecepatan

Hubungan jarak, waktu, dan kecepatan berdasarkan rumus gerak lurus beraturan adalah:

$$s=v.t$$

dimana:
$s=$ panjang lintasan,
$t=$ waktu tempuh,
$v=$ kecepatan.

2. Kecepatan Rata-rata

Adalah besarnya perpindahan sebuah benda tiap satuan waktu. Kecepatan rata-rata diperoleh dengan cara membagi besarnya perpindahan total dengan waktu tempuh total.
Rumus:

$$\bar{v}=\frac{s_{total}}{t_{total}}=\frac{s_1+s_2+…+s_n}{t_1+t_2+…+t_n}$$

3. Rumus-rumus turunannya

a. Waktu untuk menyusul

Jika A bergerak dengan kecepatan $v_1$ dan B bergerak dengan kecepatan $v_2$ (dimana $v_2>v_1$) dalam lintasan dan arah yang sama tetapi dengan selisih waktu $\Delta t$ maka waktu yang diperlukan oleh B untuk menyusul A dirumuskan dengan:

$$t_{susul}=t_2=\frac{v_1.(\Delta t)}{v_2-v_1}$$

b. Waktu berpapasan

Jika A bergerak dengan kecepatan $v_1$ dan B bergerak dengan kecepatan $v_2$ dalam arah yang berlawanan dan memulai perjalanan dalam waktu yang sama maka waktu yang diperlukan oleh A dan B untuk berpapasan dirumuskan dengan:

$$t_{papasan}=\frac{s}{v_1+v_2}$$

4. Resultan Waktu

Jika $t_1$ adalah waktu yang dibutuhkan orang pertama untuk menyelesaikan sebuah pekerjaan, $t_2$ adalah waktu yang diperlukan oleh orang kedua untuk menyelesaikan pekerjaan yang sama, $t_3$ adalah waktu yang diperlukan oleh orang ketiga untuk menyelesaikan pekerjaan yang sama, dan seterusnya. Maka rumus resultan waktu adalah:

$$\frac{1}{t_R}=\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+\frac{1}{t_3}+…$$

Contoh penggunaan resultan waktu:
Arman membutuhkan waktu 8 jam untuk mengecat sebuah ruangan. Basuki hanya butuh waktu 6 jam untuk mengecat ruangan yang sama. Sedangkan Chandra bisa 2 jam lebih cepat dari Basuki untuk menyelesaikan pekerjaan yang sama. Jika pekerjaan tersebut diselesaikan oleh mereka bertiga, berapa lama waktu yang mereka perlukan?
Pembahasan:
$$\frac{1}{t_R}=\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+\frac{1}{t_3}$$ $$\frac{1}{t_R}=\frac{1}{8}+\frac{1}{6}+\frac{1}{4}$$ $$\frac{1}{t_R}=\frac{13}{24}$$ $$t_R=\frac{24}{13}=1\frac{11}{13}~\text{jam}$$

5. Resultan Kecepatan

Jika $v_1$ adalah kecepatan orang pertama untuk menyelesaikan sebuah pekerjaan, $v_2$ adalah kecepatan orang kedua untuk menyelesaikan sebuah pekerjaan yang sama, $v_3$ adalah kecepatan orang ketiga untuk menyelesaikan sebuah pekerjaan yang sama, dan seterusnya. Maka resultan kecepatan dirumuskan dengan:

$$v_R=v_1+v_2+v_3+…$$

Contoh penggunaan resultan kecepatan:
Mesin I dapat membuat 600 baut tiap 12 menit, sedangkan mesin II dapat membuat 450 baut tiap 15 menit. Tentukan berapa menit waktu yang diperlukan oleh kedua mesin untuk membuat 2.800 baut?
Pembahasan:
$$v_1=\frac{600~\text{baut}}{12~\text{menit}}=50~\frac{\text{baut}}{\text{menit}}$$ $$v_2=\frac{450~\text{baut}}{15~\text{menit}}=30~\frac{\text{baut}}{\text{menit}}$$ $$\text{Sehingga: }$$ $$v_{total}=v_1+v_2=80~\frac{\text{baut}}{\text{menit}}$$ Jadi:
$~80t=2800$
$~t=35$ menit.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Soal dan Pembahasan

1. Haikal berangkat dari kota A pukul 09.45 dan tiba di kota B pukul 12.40 dengan menggunakan bus antar kota. Di tempat peristirahatan, bus berhenti selama 15 menit. Berapa km jarak antara kota A dan kota B jika bus yang ditumpangi Haikal dipacu dengan kecepatan 66 km/jam?
A. 154 $\quad ~~$ D. 242
B. 166 $\quad ~~$ E. 244
C. 176

2. Anto berangkat dari kota P pukul 15.40 dan sampai di kota Q pukul 17.10. Jika Anto memacu mobilnya dengan kecepatan 80 km/jam dan selama perjalanan dia beristirahat seperempat jam. Berapa km jarak kota P ke kota Q?
A. 100 $\quad ~~$ D. 160
B. 120 $\quad ~~$ E. 170
C. 140

3. Seekor kambing dan seekor sapi dapat menghabiskan persediaan 10 karung rumput dalam waktu $x$ hari. Jika seekor kambing saja dapat menghabiskan persediaan rumput tersebut dalam $y$ hari, maka seekor sapi saja dapat menghabiskannya dalam waktu … hari.
$$\text{A. } \frac{x+y}{xy}$$ $$\text{B. } \frac{xy}{x+y}$$ $$\text{C. }\frac{xy}{x-y}$$ $$\text{D. }\frac{xy}{y-x}$$ $$\text{E. }\frac{x+y}{x-y}$$

4. Jika kecepatan rata-rata sebuah motor boat adalah 50 mil per jam, maka berapa menit yang dibutuhkan motor boat tersebut untuk menempuh 1 mil?
A. 1 1/3 $\quad ~~$ D. 1 1/6
B. 1 1/4 $\quad ~~$ E. 1 1/7
C. 1 1/5

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
5. Dodi meninggalkan kota A pada pukul 06.20 dan tiba di kota B pada pukul 11.20. Jika dia memacu kendaraannya dengan kecepatan 35 km/jam dan berhenti di jalan selama 1 jam, maka jarak dari kota A ke kota B adalah …
A. 150 km $\quad ~~$ D. 125 km
B. 140 km $\quad ~~$ E. 120 km
C. 130 km

6. Seorang anak bernama Intan setiap pagi selalu berolahraga memutari sebuah lapangan dengan keliling 0,5 km. Apabila dengan kecepatan lari 5 km/jam Intan mampu memutari lapangan sebanyak 5 kali, maka berapa lama Intan lari setiap paginya?
A. 10 menit
B. 30 menit
C. 50 menit
D. 40 menit
E. 20 menit

7. Jarak kota A dan B adalah 120 km. Jika $x=$ lama waktu tempuh dari A ke B dengan kecepatan 75 km/jam, dan $y=$ lama waktu tempuh dari A ke B dengan kecepatan 30 m/s, maka …
A. $x < y$
B. $x=y$
C. $x>y$
D. $2x>y$
E. hubungan $x$ dan $y$ tidak dapat ditentukan.

8. Seorang anak bernama Intan mengendarai sebuah motor dengan kecepatan 45 km/jam. Setelah 5 jam, motor tersebut melaju dengan kecepatan 60 km/jam. Jika kecepatan rata-rata motor selama perjalanan adalah 50 km/jam, maka lama perjalanan itu adalah …
A. 6 jam $\quad ~~$ D. 7,5 jam
B. 7 jam $\quad ~~$ E. 6,5 jam
C. 8 jam

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
9. Sebuah bus wisata melakukan perjalanan dari kota A ke kota B yang berjarak 120 km dengan kecepatan rata-rata 50 km/jam. Kemudian bus tersebut kembali lagi dari kota B ke kota A dengan rute yang sama. Total waktu perjalanan adalah 5 jam 24 menit. Kecepatan rata-rata bus tersebut pada saat menuju kota A adalah …

10. Sebuah bus berjalan dari kota P ke kota Q dengan kecepatan rata-rata 40 km/jam dan kembali lagi ke kota P dengan kecepatan rata-rata 60 km/jam. Jika jarak kota P ke Q adalah 120 km, maka kecepatan rata-rata untuk seluruh perjalanan adalah …
A. 46$\quad ~~$ D. 52
B. 48$\quad~~$ E. 54
C. 50

11. Seseorang mengendarai mobil ke tempat kerjanya selama 1 jam yang berjarak 30 km. Jika dia terlambat berangkat 10 menit, maka kecepatan yang harus digunakan agar sampai ke kantor adalah …
A. 36 km/jam
B. 33 km/jam
C. 35 km/jam
D. 39 km/jam
E. 40 km/jam

12. Jika Abu memacu motornya dari rumah ke kantor dengan kecepatan 24 km/jam maka ia akan terlambat 15 menit, tetapi jika ia memacu motornya dengan kecepatan 36 km/jam maka ia akan sampai 10 menit lebih awal. Berapa jarak tempuh rumah Abu ke kantor?
A. 32,5 km
B. 3 km
C. 30 km
D. 27 km
E. 28 km

13. Dua orang pengendara sepeda melakukan start pada suatu rute dari suatu titik yang sama dengan selisih waktu 3 jam. Pengendara kedua bersepeda dengan kecepatan 10 km/jam dan memulai perjalanannya 3 jam setelah pengendara pertama yang berkecepatan 6 km/jam. Waktu yang dibutuhkan pengendara kedua untuk menyusul pengendara pertama terhitung dari saat pengendara kedua memulai perjalanannya adalah …
A. 2 jam
B. 4$\frac{1}{2}$ jam
C. 5$\frac{3}{4}$ jam
D. 6 jam
E. 7 jam

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
14. Satu jam setelah kasino bersepeda dari lokasi A ke B, yang berjarak 360 km, Dono mulai bersepeda pada rute yang sama dari B ke A. Jika Kasino bersepeda dengan kecepatan 24 km/jam dan Dono bersepeda dengan kecepatan 32 km/jam, maka jarak yang ditempuh oleh Dono ketika ia bertemu Kasino adalah …
A. 192 km
B. 190 km
C. 186 km
D. 184 km
E. 180 km

15. Joko dapat menyelesaikan suatu pekerjaan dalam waktu 3 jam. Sedangkan Siti dan Raya dapat menyelesaikannya berturut-turut dalam waktu 4 jam dan 6 jam. Jika Joko dan Siti mengerjakan pekerjaan tersebut dalam 1 jam, kemudian Raya datang membantu maka lama pekerjaan tersebut yang dapat diselesaikan mulai dari awal pekerjaan adalah …
A. 1$\frac{2}{3}$ jam
B. 1$\frac{5}{9}$ jam
C. 1$\frac{4}{9}$ jam
D. 1$\frac{1}{3}$ jam
E. 1$\frac{2}{9}$ jam

16. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh Budi dalam waktu 2 jam. Sedangkan Candra dapat menyelesaikannya dalam waktu 4 jam. Jika setelah 1 jam mereka bekerja bersama-sama lalu Budi pergi karena sesuatu hal, maka lama waktu yang dibutuhkan Candra untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut adalah …
A. 30 menit
B. 40 menit
C. 45 menit
D. 60 menit
E. 70 menit

17. Mesin A memproduksi suatu komponen dengan kecepatan sebesar 120 komponen setiap 40 detik dan mesin B memproduksi komponen yang sama dengan kecepatan sebesar 100 komponen selama 20 detik. Jika kedua mesin tersebut digunakan bersama-sama, maka waktu yang diperlukan untuk memproduksi 400 komponen adalah …
A. 44 detik
B. 50 detik
C. 56 detik
D. 64 detik
E. 65 detik

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
18. Seorang anak bernama Intan dalam 1 menit dapat membuat 10 sampul pita, sedangkan Joko dapat membuat dua kali lipatnya. Jika Intan mulai bekerja 15 menit lebih awal dari Joko, dan keduanya selesai setelah Joko bekerja selama 1 jam, maka banyak simpul pita yang dihasilkan oleh keduanya adalah …
A. 450 simpul pita
B. 1950 simpul pita
C. 2700 simpul pita
D. 2250 simpul pita
E. 1800 simpul pita

19. Seseorang dapat mengepak buku 112 buah sehari, sedangkan pembantunya hanya dapat mengepak dengan kecepatan $\frac{1}{4}$ dari kecepatan orang tersebut. Lama waktu yang diperlukan bagi mereka berdua untuk mengepak 560 buah buku jika masing-masing bekerja sendiri-sendiri pada hari-hari yang berbeda adalah …
A. $\frac{1}{2}$ hari
B. 2 hari
C. 4 hari
D. 8 hari
E. 10 hari

20. Seorang petani dengan cara manual dapat menggarap sawah seluas 600 $m^2$ selama 6 jam dan bila dia menggunakan traktor maka waktu yang dibutuhkan hanya 3 jam saja. Pada suatu saat, setelah menggunakan traktor selama 1 jam 30 menit traktor tersebut rusak dan petani tersebut terpaksa harus menyelesaikan secara manual dengan menggunakan cangkul. Berapa lama waktu yang diperlukan petani itu untuk menyelesaikan sisa pekerjaan dengan cara manual?
A. 1 jam 30 menit
B. 3 jam
C. 2 jam 30 menit
D. 2 jam 40 menit
E. 3 jam 30 menit

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\$‘,’\$’]]} });

INEQUALITY MATERIAL, EXERCISE AND SOLUTION

Inequality, Exercise and Solution.kotak { box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); padding: 10px; border: 1px solid grey; } .kuning { border: 4px #FFE500 double; padding: 10px;background-color: yellow; box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); }

Inequality Material

A. Definition

Inequation is the open mathematic sentence containing the symbol: $>$, $<$, $\le$, or $\ge$.

B. Natures Inequality

If $a>b$ then it can be taken the nature of:
1. $a+c>b+c$
2. $a-c>b-c$
3. $a.c>b.c$ for $c$ positive number
$~~~a.c < b.c$ for $c$ negative number
4. $a:c>b:c$ for $c$ positive number
$~~~a:c < b:c$ for $c$ negative number
This applies to the other symbol of inequality. Specifically for multiplication or division of negative numbers then the symbol of change direction.

C. Kinds Inequality

1. Linear Inequality

General form:

$ax+b>c$

Steps completion:
a. Less both sides with the $b$
b. Divide both sides with the $a$, then be $$x>\frac{c-b}{a}~\text{for $a$ positive number}$$ $$x<\frac{c-b}{a}~\text{for $a$ negative number}$$ This also applies to symbols $\le$ and $\ge$.

2. Quadratic Inequality

General form:

$$ax^2+bx+c>0$$ $$ax^2+bx+c<0$$

Steps completion:
1. Search the roots quadratic equality
2. If this roots $x_1$ and $x_2$ with $x_1 < x_2$ then,
3. If inequation symbol “$>$” then: $x x_2$
4. If inequation symbol “$<$" then: $x_1 < x < x_2$.
This also applies to symbols $\le$ and $\ge$.

3. Fractional Inequality

General form:

$$\frac{ax+b}{cx+d} > e$$

Steps completion:
a. Move $e$ to the left section, then $$\frac{ax+b}{cx+d}-e>0$$ $$\frac{(a-ce)x+(b-de)}{cx+d}>0$$ b. if $$\frac{de-b}{a-ce}>-\frac{d}{c}$$ then $x \ne -\frac{d}{c}$ and $$x \frac{de-b}{a-ce}$$ c. In contrast to $$\frac{de-b}{a-ce} < -\frac{d}{c}$$

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Exercise and Solution for Inequality Material

1. If $d>b$, $d>c$, and $b < c$ with $b, c, d < 0$, then …
$$\text{A. }\frac{d}{b}>\frac{c}{d}$$ $$\text{B. } \frac{b}{c} \frac{c}{d}$$ $$\text{D. } \frac{d}{b} < \frac{d}{c}$$ $\text{E. }b,~ c, \text{ and } d$ $\text{ relationship cannot be determined.}$

2. If $a < 7m < b$ and $b < 4n < c$ with $a < b < c$ then …
A. $m=n$
B. $m < n$
C. $m$ and $n$ relationship cannot be determined
D. $m>n$
E. $m < 4n/7$

3. If $a+2 < x+p < b+2$ and $b < y+p < c$ with $a < b < c$ then …
A. $x < y$
B. $x > y$
C. $x=y$
D. $x+y=0$
E. $x$ and $y$ relationship cannot be determined

4. If $0 < ab 0$ then the following a definite truth is …
A. $b>1/a$
B. $a>1/b$
C. $0 < 1/a < 1/b$
D. $0 < b < 1/a$
E. C and D is true.

5. If $0 < x < 1$, the following statement that the order increase is …
A. $\sqrt{x}$, $x$, $x^2$
B. $x^2$, $x$, $\sqrt{x}$
C. $x^2$, $\sqrt{x}$, $x$
D. $x$, $x^2$, $\sqrt{x}$
E. $x$, $\sqrt{x}$, $x^2$

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
6. If $3 < x < 5$ and $5 < y < 8$, then …
A. $x>y$
B. $x < y$
C. $x=y$
D. $x$ and $y$ relationship cannot be determined
E. $x+y=8$

7. If $-2 \le x \le 7$ and $4 \le y \le 9$, then $x$ and $y$ relationship is …
A. $x>y$
B. $x < y$
C. $x=y$
D. Cannot be determined
E. $x+y>16$

8. If $1 < a < 5$ and $1 < b < 5$ then $a$ and $b$ relationship is …
A. $a=b$
B. $a>b$
C. $a < b$
D. Cannot be determined
E. $a \ge b$

9. If $4 < x < 8$ dan $0 < y < 1,5$ then interval $x.y$ is …
A. $0 < x.y < 6$
B. $0 < x.y <12$
C. $1,5 < x.y < 4$
D. $1,5 < x.y < 8$
E. $1,5 < x.y < 6$

10. If $0 < x \le 5$ and $-4 \le y < 5$, then the following figures that are not included the set of value $x.y$ is …
A. $-20 \quad ~~$ D. 25
B. $-2 \quad ~~~$ E. $-4$
C. 0

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
11. Jika $-5 \le p \le 8$ dan $-1 < q < 5$, then …
A. $0 \le p^2+q^2 \le 89$
B. $0 \le p^2+q^2 < 89$
C. $26 \le p^2+q^2 < 89$
D. $26 \le p^2+q^2 \le 89$
E. $26 < p^2+q^2 \le 89$

12. If $-8 < x < 8$ and $-4 < y < 3$ then …
A. $-4 < x-y < 5$
B. $-4 < x-y < 12$
C. $-11 < x-y < 12$
D. $-11 < x-y < 5$
E. $0 < x-y < 12$

13. Given $7 < 3x+4 < 13$, the value $x$ is …
A. 0 $\quad ~$ D. 3
B. 1 $\quad ~$ E. Can’t be determined
C. 2,5

14. If $x$ is a positive integer from inequality $2x+1>3x-3$, then a lot of value $x$ is …
A. Not there
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
15. If $m^2-6m+5 < 0$ and $$\frac{n-7}{n-5} \le 0$$ $n \ne 5$ then …
A. $m=n$
B. $m+n=0$
C. $m$ and $n$ relationship can’t be determined
D. $m>n$
E. $m < n$

FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIKNYA

Fungsi Kuadrat dan Grafiknya.kotak { box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); padding: 10px; border: 1px solid grey; } .kuning { border: 4px #FFE500 double; padding: 10px;background-color: yellow; box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); }

Fungsi kuadrat disebut juga fungsi parabola karena grafik fungsinya melengkung seperti parabola. Kita akan membahas fungsi kuadrat yang melengkung vertikal dan horizontal. Berikut ini bentuk umum fungsi kuadrat.

Fungsi kuadrat melengkung vertikal: $$f(x)=ax^2+bx+c$$ dengan $a$, $b$ dan $c$ adalah bilangan real serta $a \ne 0$.
————————————-
Fungsi kuadrat melengkung horizontal: $$f(y)=ay^2+by+c$$ dengan $a$, $b$ dan $c$ adalah bilangan real serta $a \ne 0$.

Perhatikan gambar berikut:
Contoh Grafik fungsi kuadrat melengkung vertikal

Contoh Grafik fungsi kuadrat melengkung horizontal

Kemudian kita harus mengetahui rumus diskriminan yang sangat berpengaruh pada fungsi kuadrat. Berikut ini rumus diskriminan yang disingkat dengan $D$.

Rumus Diskriminan:
$$D=b^2-4ac$$

Kemudian kita pasti ingin tau bagaimana cara mendapatkan titik puncak suatu grafik parabola itu melalui fungsi kuadrat yang telah diketahui. Berikut ini rumus titik puncak suatu parabola:

Untuk puncak parabola melengkung vertikal: $$P(j,~k)$$ $$j=-\frac{b}{2a}$$ $$k=-\frac{D}{4a}$$

Untuk puncak parabola melengkung horizontal: $$P(g,~h)$$ $$g=-\frac{D}{4a}$$ $$h=-\frac{b}{2a}$$

Kemudian bagaimana cara mengetahui posisi arah lengkungan parabola itu apakah ke atas, ke bawah, ke kiri, atau ke kanan?. Caranya sangat mudah, untuk parabola vertikal yang melengkung ke atas itu nilai $a$ nya positif, sedangkan yang melengkung ke bawah itu nilai $a$ nya negatif. Kemudian untuk parabola horizontal yang melengkung ke kanan itu nilai $a$ nya positif, sedangkan yang melengkung ke kiri itu nilai $a$ nya negatif.

Kemudian bagaimana cara mengetahui apakah parabola vertikal menyinggung, memotong, atau tidak menyinggung maupun memotong sumbu $x$?, serta bagaimana cara mengetahui apakah parabola horizontal menyinggung, memotong, atau tidak menyinggung maupun memotong sumbu $y$?. Jawabannya adalah tergantung dari nilai diskriminannya. Untuk parabola vertikal, jika $D>0$ maka parabola itu memotong sumbu $x$, jika $D=0$ maka menyinggung sumbu $x$ dan jika $D < 0$ maka tidak memotong maupun menyinggung sumbu $x$. Hal yang serupa untuk parabola horizontal, bedanya hanya pada sumbunya saja, pada parabola horizontal itu bertumpu pada sumbu $y$.

Lalu apa itu sumbu simetri suatu parabola?, sumbu simetri suatu parabola adalah garis yang membelah dua suatu parabola. Ya, sangat mudah menentukan sumbu simetri jika kita telah mengetahui pengertian dari sumbu simetri itu sendiri. Lalu apa itu titik ekstrim suatu parabola?, titik ekstrim suatu parabola adalah nilai maksimum atau minimum dari $f(x)$. Jelas bahwa titik ekstrim dari parabola horizontal itu tidak ada karena dari definisi titik ekstrim itu sendiri, dan karena parabola horizontal itu dari $f(y)$, kecuali jika interval $x$ dibatasi. Biasanya titik ekstrim itu berlaku pada parabola vertikal.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Contoh 1:
Tentukan titik puncak dari parabola $f(x)=-2x^2+4x-1$ dan gambar grafiknya!
Penyelesaian: $$D=4^2-4(-2)(-1)=8$$ Parabola itu adalah parabola vertikal, titik puncaknya adalah: $$x=-\frac{4}{2(-2)}=1$$ $$y=-\frac{8}{4(-2)}=1$$ Puncak = $$P(1,~1)$$ Karena nilai $a$ negatif maka parabola melengkung ke bawah, dan karena $D>0$ maka parabola memotong sumbu $x$ di dua titik, cara mencari titik potongnya dengan $f(x)=0$ yakni menyelesaikan persamaan kuadrat, kita gunakan rumus $abc$ maka diperoleh: $$x_{1,2}=\frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2(-2)}$$ $$x_{1,2}=\frac{-2 \pm \sqrt{2}}{-2}$$ $$x_1=\frac{-2+\sqrt{2}}{-2} \approx 0,3$$ $$x_2=\frac{-2-\sqrt{2}}{-2} \approx 1,7$$ Berikut ini grafiknya:
Gambar contoh

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Contoh 2:
Tentukan titik puncak dari parabola $x=3y^2+5y-2$ dan gambar grafiknya!
Penyelesaian: $$D=5^2-4(3)(-2)=49$$ Puncak parabola: $$x=-\frac{49}{4(3)}=-\frac{49}{12}$$ $$y=-\frac{5}{2(3)}=-\frac{5}{6}$$ Puncak = $$P(-\frac{49}{12},~-\frac{5}{6})$$ Karena $D>0$ maka parabola memotong sumbu $y$ di dua titik yakni titik $$y_{1,2}=\frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2(3)}$$ $$y_{1,2}=\frac{-5 \pm 7}{6}$$ $$y_1=\frac{1}{3}$$ $$y_2=-2$$ Dan karena nila $a$ positif, maka parabola membuka ke kanan. Perhatikan gambar berikut:

Demikianlah penjelasan ringkas tentang fungsi kuadrat dan grafiknya, semoga bermanfaat.. MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\$‘,’\$’]]} });

Frekuensi Harapan Suatu Kejadian

Frekuensi Harapan Suatu Kejadian.kotak { box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); padding: 10px; border: 1px solid grey; } .kuning { border: 4px #FFE500 double; padding: 10px;background-color: yellow; box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); }

Apabila kita melakukan percobaan melempar sekeping mata uang sebanyak 200 kali, berapa kalikah akan muncul sisi angka?. Kita tidak mempunyai alasan untuk mengatakan bahwa munculnya angka akan lebih sering dari pada munculnya gambar, atau sebaliknya. Dan juga tidak wajar apabila pada percobaan tersebut munculnya sisi angka hanya 2 kali atau 3 kali saja.
Kalian tentu masih ingat, jika sekeping mata uang dilemparkan sekali maka peluang munculnya sisi angka adalah $P(A)=\frac{1}{2}$. Jika sekeping mata uang logam itu dilemparkan 200 kali maka kita mengharapkan munculnya sisi angka sebanyak = $\frac{1}{2}$ x 200 kali = 100 kali. Bilangan 100 ini disebut frekuensi harapan munculnya sisi angka pada pelemparan sekeping mata uang sebanyak 200 kali.
Berdasarkan uraian di atas, kita dapat mendefinisikan frekuensi harapan dari suatu percobaan adalah sebagai berikut:

Frekuensi harapan suatu percobaan = Peluang suatu kejadian x banyaknya percobaan.

Frekuensi harapan dari suatu percobaan dapat ditulis dengan notasi sebagai berikut:

$$f_h(A)=P(A)\text{ x }N$$ dengan:
$f_h(A)=$ frekuensi harapan dari suatu kejadian $A$.
$P(A)=$ Peluang kejadian $A$.
$N=$ Banyaknya percobaan.

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Contoh:
Pada pelemparan dadu sebuah dadu sebanyak 420 kali, berapakah frekuensi harapan munculnya bilangan 5?
Penyelesaian:
$$P(5)=\frac{1}{6} \text{ dan }N=420$$ $$f_h(5)=P(5).N$$ $$f_h(5)=\frac{1}{6}(420)$$ $$f_h(5)=70 \text{ kali}$$

Soal Latihan

Sebuah dadu dilempar sebanyak 900 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya
a. bilangan 3,
b. bilangan yang habis dibagi 3,
c. bilangan prima.
Dua buah dadu dilempar secara bersamaan sebanyak 288 kali. Berapa frekuensi harapan munculnya jumlah mata dadu:
a. sama dengan 2,
b. sama dengan 5,
c. merupakan bilangan ganjil.
Peluang seorang anak terjangkit penyakit adalah 0,18. Berapa diantara 1500 anak yang diperkirakan akan terjangkit penyakit tersebut?
Pada percobaan pelemparan 3 mata uang sebanyak 160 kali, tentukan frekuensi harapan muncul 2 angka.
Seperangkat kartu bridge ditos dan satu kartu diambil secara acak, kemudian dikembalikan. Jika percobaan diulang sampai 1040 kali, berapa frekuensi harapan munculnya kartu As?

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\$‘,’\$’]]} });

PERSEN DIATAS DAN DIBAWAH 100

Persen diatas dan dibawah 100.kotak { box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); padding: 10px; border: 1px solid grey; } .kuning { border: 4px #FFE500 double; padding: 10px;background-color: yellow; box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); }

Penjelasan berikut ini harus melalui contoh langsung agar lebih mudah dipahami. Perhatikan contoh berikut ini:

1. Ali menjual barangnya dengan harga Rp1.000,-. Ali untung 10% dari harga beli. Berapa rupiah keuntungan ali?
Penyelesaian:
harga beli = 100% dari harga beli
untung = 10% dari harga beli
harga jual = harga beli + Untung
harga jual = 110% dari harga beli = Rp1.000,-

$$\text{Keuntungan }=\frac{10}{110}\text{ x }1000$$ $$=\text{Rp }90,909$$

Jika dari kegiatan menjual barang dengan keuntungan $P$% dari harga beli, maka keuntungan itu adalah: $$\frac{P}{100+P}\text{ x harga jual}$$ Bentuk ini disebut persen diatas 100

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

2. Budi membeli barang dengan harga Rp850,-. Budi untung 15% dari harga jual. Berapa rupiah keuntungan Budi dan berapa harga jualnya?
Penyelesaian:
harga jual = 100% dari harga jual
untung = 15% dari harga jual
harga beli = harga jual $-$ untung
harga beli = 85% dari harga jual = Rp850,-

$$\text{Keuntungan }=\frac{15}{85}\text{ x }850$$ $$=\text{Rp }150$$ harga jual = harga beli + untung
harga jual = Rp850 + Rp150 = Rp1000

Jika dari kegiatan membeli barang dengan keuntungan $P$% dari harga jual, maka keuntungan itu adalah: $$\frac{P}{100-P}\text{ x harga beli}$$ Bentuk ini disebut persen dibawah 100

Demikianlah penjelasan ringkas di atas, sekian dan terima kasih. MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\$‘,’\$’]]} });

PERBANDINGAN

Perbandingan.kotak { box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); padding: 10px; border: 1px solid grey; } .kuning { border: 4px #FFE500 double; padding: 10px;background-color: yellow; box-shadow: inset 3px 3px 4px rgba(0,0,0,0.4); } .hide{ overflow: hidden; text-indent: 100%; white-space: nowrap; }

Berikut ini akan disajikan materi, soal, dan pembahasan tentang perbandingan secara singkat, padat, dan jelas.

Materi:

A. Pengertian Perbandingan

Perbandingan adalah membandingkan 2 besaran yang sejenis. Perbandingan dinyatakan dalam bentuk:

$$a:b=\frac{a}{b}$$

Perbandingan dapat disederhanakan dengan cara mengali atau membagi dengan bilangan yang sama.

$$a:b=ma:mb=\frac{a}{m}:\frac{b}{m}$$

Contoh:
1. umur A : umur B = 16 tahun : 24 tahun = 2 : 3
2. uang C : uang D = Rp28.000,- : Rp20.000,- = 7 : 5
3. Berat E : berat F = 0,12 gr : 0,1 gr = 6 : 5

B. Jenis-jenis Perbandingan

1. Perbandingan Lurus (Perbandingan Senilai)

Ciri-ciri:
Jika besaran pertama makin membesar maka besaran kedua juga ikut membesar, dan sebaliknya jika besaran pertama makin mengecil maka besaran kedua juga ikut mengecil.
Contoh:
Dengan 1 liter bensin sebuah mobil dapat menempuh jarak 30 km. Berapa liter bensin yang dibutuhkan mobil tersebut untuk menempuh jarak 135 km?
Jawab:
1 liter $\to$ 30 km
$x$ liter $\to$ 135 km
Rumus:
$$\frac{1}{30}=\frac{x}{135}$$ $$30x=135$$ $$x=\frac{9}{2}\text{ liter}$$

2. Perbandingan Terbalik (Perbandingan Berbalik Nilai)

Ciri-ciri:
Jika besaran pertama makin membesar maka besaran kedua makin mengecil dan sebaliknya jika besaran pertama makin mengecil maka besaran kedua makin membesar.
Contoh:
Jarak 2 buah kota dapat ditempuh dalam waktu 3 jam dengan mobil berkecepatan rata-rata 50 km/jam. Jika waktu yang tersedia hanya 2 jam, berapa kecepatan mobil harus dipacu agar sampai ditujuan tepat waktu?
Jawab:
50 km/jam $\to$ 3 jam
$x$ km/jam $\to$ 2 jam
Rumus: $$\frac{50}{x}=\frac{2}{3}$$ $$x=75\text{ km/jam}$$

3. Perbandingan Variasi

Ciri-ciri:
Jika melibatkan 3 buah besaran dan didalamnya terdapat perbandingan lurus sekaligus terdapat perbandingan terbalik.
Rumus:

$$\frac{O_1}{S_1.t_1}=\frac{O_2}{S_2.t_2}$$

dimana:
$t=$ time (waktu)
$S=$ subjek (pelaku)
$O=$ objek (dikenai pekerjaan)
Contoh:
Tiga buah rumah dapat diselesaikan oleh 5 orang tukang dalam waktu 36 hari. Tentukan banyak tukang yang diperlukan untuk menyelesaikan 8 rumah dalam waktu 60 hari!
Jawab:
misalkan $x$ adalah banyak tukang, maka: $$\frac{3}{5(36)}=\frac{8}{x(60)}$$ $$x=\frac{5(36)(8)}{3(60)}=8$$

C. Aplikasi Perbandingan

1. Skala Peta

Misalkan sekala peta adalah $s$, jarak pada peta adalah $j$ dan jarak sebenarnya adalah $k$, maka rumus skala peta adalah:

$$s=\frac{j}{k}=\frac{1}{x}$$

perhatikan bahwa bentuk umum skala peta adalah 1 : $x$.

2. Skala Model

Rumus skala model sama saja dengan rumus skala peta. Perbedaan skala model dengan skala peta adalah pada kondisinya. Skala peta digunakan khusus untuk peta, sedangkan skala model digunakan khusus untuk model pada benda seperti model bangunan, badan pesawat, dan lain-lain.
Rumus:

$$m=\frac{a}{b}=\frac{1}{c}$$

dimana:
$m$ adalah skala model,
$a$ adaalah ukuran pada model,
$b$ adalah ukuran sebenarnya,
1 : $c$ adalah bentuk umum skala model.

Soal dan Pembahasan:

1. Jika $pq$ tidak sama dengan 0 dan $p=\frac{1}{3}q$, maka $p:3q=….$
A. $1:3 \quad ~$ D. $1:15$
B. $1:6 \quad ~$ E. $1:21$
C. $1:9$

2. Perbandingan antara pegawai laki-laki dan perempuan di dalam sebuah kantor adalah 8 : 7. Di antara yang berikut ini manakah yang tidak mungkin merupakan jumlah pegawai di kantor tersebut?
A. 15$ \quad ~$ D. 85
B. 60$ \quad ~$ E. 90
C. 75

3. Jika $x:y=3:4$ dan $z:y=5:6$ maka nilai $z:x=…$
A. 8/5$ \quad ~$ D. 5/8
B. 10/9$ \quad ~$ E. 6/7
C. 9/10

4. Jika A : B = 2 : 5 dan B : C = 4 : 7 maka A : B : C = …
A. $2:5:7$
B. $4:5:7$
C. $8:5:35$
D. $8:20:35$
E. $5:20:30$

5. Dalam suatu penelitian, diambil kesimpulan bahwa perbandingan hewan dengan sifat $x$ dan yang tidak bersifat $x$ adalah 5 : 3. Diketahui 3/8 dari hewan dengan sifat $x$ adalah jantan. Berapa perbandingan populasi hewan $x$ betina terhadap populasi total?
A. $15:64 \quad ~$ D. $23:64$
B. $17:64 \quad ~$ E. $25:64$
C. $21:64$

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
6. Perbandingan jumlah permen coklat dan permen susu dalam suatu toples adalah 5 : 7, sedangkan perbandingan permen kopi dan permen coklat adalah 6 : 2. Jika selisih permen susu dan coklat adalah 8, maka jumlah ketiga jenis permen dalam toples tersebut adalah …
A. 102$ \quad ~$ D. 128
B. 112$ \quad ~$ E. 108
C. 120

7. Sebotol sirup dapat dibuat 80 gelas minuman jika dilarutkan dalam air dengan perbandingan 1 bagian sirup untuk 4 bagian air. Berapa gelas minuman yang diperoleh dari sebotol sirup jika perbandingan larutannya 1 bagian sirup untuk 5 bagian air?
A. 100 gelas
B. 96 gelas
C. 92 gelas
D. 84 gelas
E. 82 gelas

8. Jika 16 orang pekerja dapat menyelesaikan sebuah pekerjaan dalam 3 jam, maka berapa lamakah pekerjaan tersebut dapat diselesaikan oleh 5 orang pekerja?
A. 4 jam
B. 5 jam
C. $7 \frac{1}{16}$ jam
D. $9 \frac{3}{5}$ jam
E. 10 jam

9. Proyek pembangunan yang dikerjakan oleh 12 orang pekerja dapat diselesaikan dalam waktu 20 hari. Berapa tambahan orang yang diperlukan jika proyek tersebut ingin diselesaikan dalam waktu 16 hari?
A. 15 $\quad ~$ D. 5
B. 12 $\quad~$ E. 3
C. 8

10. Pembangunan sebuah gedung direncanakan akan selesai dalam waktu 30 hari oleh 25 orang pekerja. Setelah dikerjakan selama 20 hari, pekerjaan dihentikan selama 8 hari karena ada sesuatu hal. Jika kemampuan bekerja setiap orang sama dan agar gedungnya selesai tepat waktu, maka banyak pekerja tambahan yang dibutuhkan adalah …
A. 25 orang
B. 50 orang
C. 100 orang
D. 33 orang
E. 75 orang

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
11. Sebuah pekerjaan dapat diselesaikan oleh 8 orang dalam waktu 15 hari. Jika setelah 7 hari bekerja pekerjaan berhenti selama 3 hari karena hujan. Berapa pekerja tambahan agar pekerjaan tersebut selesai 1 hari lebih cepat dari yang dijadwalkan?
A. 8 orang
B. 7 orang
C. 6 orang
D. 5 orang
E. 4 orang

12. Terdapat 12 nelayan yang akan menyewa kapal dengan harga sewa $x$ rupiah. Harga sewa tersebut akan dibagi rata diantara 12 nelayan tersebut. Namun kemudian, 3 nelayan membatalkan keikutsertaannya menyewa kapal. Berapa kenaikan biaya sewa kapal?
A. $x/36 \quad ~$ D. $3x/4$
B. $x/12 \quad ~$ E. $5x/6$
C. $x/9$

13. Untuk menanggulangi luberan lumpur, warga sebuah desa di Sidoarja mengoperasikan 6 buah pompa dengan kecepatan konstan dan sama yang mampu memindahkan lumpur sebanyak 67,5 m$^3$ setiap menit. Dengan kecepatan yang sama, berapa banyak lumpur yang dapat dipindahkan oleh 10 buah pompa selama 4 menit?
A. 162 m$^3 \quad ~$ D. 2700 m$^3$
B. 450 m$^3 \quad ~$ E. 2800 m$^3$
C. 675 m$^3$

14. Ukuran sebuah kota pada suatu peta adalah berbentuk persegi panjang dengan panjang 12 cm dan lebar 9 cm. Apabila peta tersebut mempunyai skala 1 : 200, maka luas sebenarnya dari kota tersebut adalah … m$^2$.
A. 108 $\quad ~$ D. 432
B. 216 $\quad ~$ E. 433
C. 420

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
15. Seorang anak yang tingginya 150 cm difoto dalam ukuran kecil dengan skala 1 : 30, kemudian foto tersebut ukurannya diperbesar dengan skala 4 : 1, maka tinggi anak dalam foto yang terakhir adalah …
A. 20 cm $\quad ~$ D. 50 cm
B. 30 cm $\quad ~$ E. 60 cm
C. 40 cm

Demikianlah pembahasan tentang perbandingan yang dilengkapi dengan soal dan pembahasan. Sampai jumpa di postingan lainnya dan semoga bermanfaat.. MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [[‘$’,’$’], [‘\$‘,’\$’]]} });